MH2 - H7 Les 2: Gelijkvormige driehoeken

• Wiskunde
• Middelbare school
• mavo
• Leerjaar 2

Gelijkvormige driehoeken

Na deze les:

• Weet je wat gelijkvormige driehoeken zijn.
• Weet je hoe je bewijst dat driehoeken gelijkvormig zijn.
• Weet je hoe je met gelijkvormigheid zijdes kunt berekenen.

Wat weet je al?

Driehoekensom:

De drie hoeken van elke driehoek zijn samen altijd 360°.

Bijzondere driehoeken:

• Een rechthoekige driehoek heeft een hoek van 90°.
• Een gelijkbenige driehoek heeft twee gelijke benen. De basishoeken zijn even groot.
• Van een gelijkzijdige driehoek zijn de drie zijden allemaal even lang en 

       de drie hoeken allemaal even groot: 60°.

Sleep de omschrijvingen naar de juiste driehoek.

Gelijkzijdige driehoek

Gelijkbenige driehoek

Rechthoekige driehoek

Gelijkvormige driehoeken

• Driehoeken kunnen dezelfde vorm hebben, maar wel verschillen in grootte en/of

       gespiegeld of gedraaid zijn ten opzichte van elkaar.

• Deze driehoeken noemen we gelijkvormig. 

       We geven dit aan met het sybool: ~

• Driehoeken zijn gelijkvormig als de drie hoeken even groot zijn.

       De zijden van de driehoeken hebben dan dezelfde verhouding. 

       De zijden zijn bijvoorbeeld allemaal twee keer zo lang.

Gelijkvormige driehoeken

Driehoek KLM en driehoek NOP zijn gelijkvormig want de hoeken zijn even groot.

We noteren:         ∆ KLM ~ ∆ NOP

De volgorde van de letters is heel belangrijk. Hieruit volgt namelijk dat:

  ∠K = ∠N, (staan beide op de eerste positie)

  ∠L = ∠O en

  ∠M = ∠P

Los van elkaar tekenen

Om na te gaan of twee driehoeken gelijkvormig zijn, kan het handig zijn deze los van elkaar te tekenen. 

 ∆ PQR ~ ∆ SQT

 ∠P = ∠S,  ∠Q = ∠Q en ∠R = ∠T

In dezelfde stand tekenen

Behalve los van elkaar, kan het ook handig zijn om de driehoeken in dezelfde stand te tekenen. Je vergist je dan minder snel in de overeenkomstige hoeken.

 ∆ BAE ~ ∆ CDE

 ∠B = ∠C,  ∠A = ∠D en ∠E = ∠E

Overeenkomstige zijden

∆ KLM ~ ∆ NOP

Aan de lettervolgorde kun je ook zien welke zijden een vergroting van elkaar zijn:

NO is een vergroting van KL,

OP is een vergroting van LM en

NP is een vergroting van KM.

De twee driehoeken zijn gelijkvormig.

Wat is de juiste lettervolgorde?

1. ∆ PQR ~ ∆ STU
2. ∆ PQR ~ ∆ TUS
3. ∆ PQR~ ∆ UST
4. ∆ PQR~ ∆ SUT

∆ KLM ~ ∆ RSQ

Sleep de gelijke hoeken naar elkaar.

∠K

∠L

∠M

∠R

∠S

∠Q

∆ KLM ~ ∆ FGH

Van welke zijde is FH een vergroting?

1. KL
2. KM
3. LK
4. LM

Verhoudingstabel

De zijden van gelijkvormige driehoeken passen altijd in een verhoudingstabel. Zet de overeenkomstige zijden boven elkaar.

Als geldt:    ∆ KLM ~ ∆ FGH

Dan ziet de tabel er zo uit:

∆ KLM	KL	LM	KM
∆ FGH	FG	GH	FH

Rekenen met de verhoudingstabel

Onbekende zijden kun je met behulp van de verhoudingstabel uitrekenen. Je moet dan de vegrotingsfactor weten.

Voorbeeld:

∆ ABC ~ ∆ QRP

∆ ABC	AB = 1,8	BC = ...	AC = 3
∆ QRP	QR = ?	RP = ...	QP = 1,5

QP : AC = 0,5. 

De vergrotingsfactor is 0,5

QR = AB x 0,5 = 1,8 x 0,5 = 0,9 m

Oefenopgave

Dakkapel STU is een vergroting van zolder PQR. 

Hoe lang is TU?

Teken eerst in dezelfde stand

∆ PQR ~ ∆ TUS

Bereken met een verhoudingstabel

∆ PQR ~ ∆ TUS

∆ PQR	PQ= 400	QR = 280	PR =
∆ TUS	TU = ?	US = 182	QP = 1,5

US : QR = 182 : 280 = 0,65

De vergrotingsfactor is 0,65

TU = 0,65 x 400 = 260 cm

Extra uitleg

In de video op de volgende sheet wordt alles nog een keer uitgelegd.

Het is een zeer uitgebreide uitleg met duidelijke voorbeelden. De video duurt misschien wat lang, maar is zeker de moeite waard.

Zijde DE is evenwijdig met zijde BC.

Bereken de lengte van zijde DE.

Zijde DE is evenwijdig met zijde BC.

Bereken de lengte van zijde DE.

Zijde DE is evenwijdig met zijde BC.

Bereken de lengte van zijde DE.

Ik weet wat gelijkvormige driehoeken zijn.

1. Ja.
2. Ja, maar ik moet nog wel oefenen.
3. Nee, ik heb nog wat hulp nodig.
4. Nee, ik snap er eigenlijk nog niets van.

Ik kan bewijzen dat driehoeken gelijkvormig zijn.

1. Ja.
2. Ja, maar ik moet nog wel oefenen.
3. Nee, ik heb nog wat hulp nodig.
4. Nee, ik snap er eigenlijk nog niets van.

Ik weet hoe ik met gelijkvormigheid zijdes kan berekenen.

1. Ja.
2. Ja, maar ik moet nog wel oefenen.
3. Nee, ik heb nog wat hulp nodig.
4. Nee, ik snap er eigenlijk nog niets van.