H14: Mathematische statistiek

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 6

Mathematische statistiek

Wat gaan we doen vandaag

Theorie correlatie

Regressiemodellen op de GR

SE's terug

Correlatie = samenhang

                     is het zwaartepunt van de puntenwolk

(​X​​​,​Y​​​)

Regressiemodellen

Residu = 

Kleinste kwadraten methode

Pak je GR

X	50	100	150	200	250	300	350
Y	30	35	35	45	40	40	50

Y−​Y​^​​

Aan de slag

Hoofdstuk 14, paragraaf 1

Opdracht 2, 3 en 4

(On)afhankelijke variabelen en kleinste kwadraten methode

Wat gaan we doen vandaag

Afhankelijke en onafhankelijke variabelen van plek laten wisselen

De best passende lijn bepalen met de kleinste kwadraten methode

Regressie van Y op X en van X op Y

Best passende lijn zoeken

Bij de tabel hiernaast hoort 

x = 1 geeft                           dus 

a) Wat zijn de residuen voor x = 2 t/m 5?

b) Toon aan dat de som van de residuen gelijk is aan 

c) Bereken zowel het minimum voor a als voor b en toon aan dat a = 0,8 en b = 1,6

​Y​^​​=aX+b

​Y​^​​=a+b

(residu)​2​​=(a+b−2)​2​​

55a​2​​+5b​2​​+30ab−136a−40b+88

In het algemeen

a=​n∑X​2​​−(∑X)​2​​​​n∑XY−∑X⋅∑Y​​

b=​Y​¯​​−a​X​¯​​

Hoe ziet dat er dan uit?

a=​n∑X​2​​−(∑X)​2​​​​n∑XY−∑X⋅∑Y​​

b=​Y​¯​​−a​X​¯​​

Aan de slag

Opdracht 5, 6 en 10

Covariantie en productmoment-correlatiecoëfficiënt

Wat gaan we doen vandaag

Hoe je de covariantie berekent

Waarom je de covariantie eigenlijk nooit (los) gebruikt

Hoe je de productmoment-correlatiecoëfficiënt berekent

Correlatie en kwadranten

In de tabel hiernaast staan toetsresultaten voor 

wiskunde (X) en natuurkunde (Y) van 5 leerlingen.

Covariantie en pmcc

cov(X,Y)=σ​XY​​=​n​​∑(X−​X​¯​​)(Y−​Y​¯​​)​​

r=​σ​X​​⋅σ​Y​​​​σ​XY​​​​

Waarom r?

1 = volkomen correlatie

-1 = volkomen negatieve correlatie

0 = geen correlatie

Aan de slag

Opdracht 13, 14, 16, 19

Richtingscoëfficiënt van een regressielijn

Wat gaan we doen vandaag

Hoe je de richtingscoëfficiënt van een regressielijn bepaalt m.b.v. r en de standaardafwijkingen

Wat blijkt:

Voor                                     geldt 

Voor                                    geldt 

Waaruit volgt dat 

​Y​^​​=aX+b

a​Y​​=r⋅​σ​X​​​​σ​Y​​​​

​X​^​​=aY+b

a​X​​=r⋅​σ​Y​​​​σ​X​​​​

a​X​​⋅a​Y​​=r​2​​

Aan de slag

Opdracht 23, 28, 29, 30

Betrouwbaarheidsintervallen

Wat gaan we doen vandaag

Hoe je een 68% en een 95% betrouwbaarheidsinterval kunt opstellen

Kennen jullie deze nog?

Standaardschattingsfout

68% betrouwbaarheidsinterval

95% betrouwbaarheidsinterval

σ​d​​=σ​Y​​⋅√​1−r​2​​​​​

Aan de slag

Opdracht 35, 36

Beslissingsvoorschriften en significantieniveau

Wat gaan we doen vandaag

Wat een beslissingsvoorschrift is en wanneer je het gebruikt

Hoe je een beslissingsvoorschrift opstelt

Wat het significantieniveau is en hoe je die gebruikt

Nulhypothese en alternatieve hypothese

Een machine in de fabriek van Remia vult flessen frietsaus met gemiddeld 600 ml. De inhoud van de flessen is normaal verdeeld met een standaardafwijking van 4 ml. De fabrikant wil weten of de machine opnieuw afgesteld moet worden en neemt een steekproef van 40 flessen. 

Verwerpen of niet verwerpen

a) Wat is de kans dat er onterecht wordt bijgesteld bij een beslissingsvoorschrift van                          en                         ?

b) Bij welke ondergrens wordt H0 verworpen bij een significantieniveau van 0,05?

​X​¯​​≤598,5

​X​¯​​≥601,5

Aan de slag

Opdracht 39, 40, 41

Overschrijdingskans

Wat gaan we doen vandaag

Ophalen significantieniveau / beslissingsvoorschriften

Leren wat een overschrijdingskans is

Beslissingsvoorschrift

Een machine in de fabriek van Remia vult flessen frietsaus met gemiddeld 600 ml. De inhoud van de flessen is normaal verdeeld met een standaardafwijking van 4 ml. De fabrikant wil weten of de machine opnieuw afgesteld moet worden en neemt een steekproef van 40 flessen. 

Bij welke ondergrens wordt H0 verworpen bij een significantieniveau van 0,05?

Overschrijdingskans

In een bedrijf is de totale tijd in uren die per dag wordt overgewerkt normaal verdeeld met een gemiddelde van 9,3 uur en een standaardafwijking van 2.1 uur. Sinds kort is een systeem van flexibele werktijden ingevoerd. In een periode van 40 werkdagen bleek de gemiddelde overwerktijd 8,6 uur per dag te zijn. Onderzoek of bij een significantieniveau van 1% geconcludeerd kan worden dat het nieuwe systeem invloed heeft op de overwerktijd.

Aan de slag

Opdracht 43, 44, 45

Eenzijdig toetsen en enkelvoudige nulhypothese

Wat gaan we doen vandaag

Leren wat het verschil is tussen eenzijdig en tweezijdig toetsen

Overschrijdingskansen berekenen bij eenzijdige toetsen

Leren wat een enkelvoudige nulhypothese is

Eenzijdig toetsen

De afhandelingstijd in minuten van de bestellingen bij de Zara is normaal verdeeld met een gemiddelde van 12 en een standaardafwijking van 3. De directie van de Zara beweert dat door een interne reorganisatie de gemiddelde afhandelingstijd is teruggedrongen.

Formuleer een nulhypothese en alternatieve hypothese. 

Bij welk gemiddelde is er, bij een steekproef van 25 bestellingen en een significantieniveau van 5%, aanleiding om aan te nemen dat de afhandelingstijd inderdaad is afgenomen?

Enkelvoudige nulhypothese

Een kabelfabrikant beweert dat zijn remkabels voor toerfietsen gemiddeld een trekkracht van minstens 800 newton kunnen weerstaan. De redactie van een fietstijdschrift vindt dit erg optimistisch en neemt een steekproef.

Welke nulhypothese gebruiken ze?

Aan de slag

Opdracht 49, 50, 51, 53

Eenzijdige binomiale toetsen en beslissingsvoorschriften

Wat gaan we doen vandaag

Leren hoe je een overschrijdingskans berekent bij eenzijdige binomiale toetsen

Leren hoe je een beslissingsvoorschrift opstelt bij binomiale toetsen

Bijvoorbeeld

Coca cola beweert in een reclame dat 40% van de mensen Coca cola de lekkerste frisdrank vindt. Pepsi vindt dit sterk overdreven en vecht de uitspraak aan. De reclamecommissie neemt een steekproef van 100 mensen en een significantieniveau van 5%. 

a) Stel dat 28 mensen aangeven dat ze Coca cola inderdaad de lekkerste frisdrank vinden. Moet Coca cola hun advertentie dan herzien?

b) Vanaf hoeveel mensen moet Coca cola de advertentie wijzigen?

Aan de slag

Opdracht 57, 58, 59, 60

(55 en 56 prima oefening als je het lastig vindt)

Tweezijdig binomiaal toetsen

Wat gaan we doen vandaag

Hoe we beslissingen nemen bij tweezijdige binomiale toetsen

Bijvoorbeeld

Een nutsbedrijf beweert dat 30% van de particuliere gasafnemers de energiebespaarwijzer invult. Bij een aselecte steekproef onder 400 afnemers blijken er 138 de bespaarwijzer ingevuld te hebben. Is er bij een significantieniveau van 5% aanleiding om de bewering van het nutsbedrijf in twijfel te trekken?

Aan de slag

Opdracht 61, 62, 63, 65