Les 10 Wortels herleiden

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 2

Goedemorgen V2j 

Startklaar:

Telefoon in de telefoontas

Schrift, boek en etui op tafel

Jas uit

Tas op de grond

Schrift en boek open

Leerdoelen deze les (10)

- Je kunt kwadraten berekenen waarin wortels voorkomen. 

- Je kunt een product van wortels herleiden. 

- Je kunt een som en een verschil van gelijksoortige wortels herleiden.

- Je kunt een zo groot mogelijke factor voor het wortelteken brengen. 

- Je kunt een quotiënt van wortels en de wortel van een breuk herleiden.

Kortom, paragraaf 5.3

Wat is de oppervlakte
van dit vierkant?

3 cm

3 cm

Hoe lang is de zijde
van dit vierkant?

25 cm2

Hoe lang is de zijde
van dit vierkant?

7

Wortels kwadrateren

Van een vierkant, met oppervlakte 36 cm2 , is de lengte van de zijden 

 √36 cm.  Dus (√36)2 = 36. (Ga na! √36=6  en 6²= 6 ∙ 6 = 36)

We zeggen ook wel: kwadrateren en worteltrekken zijn tegengestelde bewerkingen en heffen elkaar op.

Het kwadraat van √𝒂 is 𝒂 dus (√𝒂)2 = 𝒂

Wortels kwadrateren

(𝒂𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 𝒃𝟐 

dus 

(a√b)2 = a2 (√b)2 = a2 b

Bijvoorbeeld

(5√2)2 = 

Bijvoorbeeld

(5√2)2 = 52∙(√2)2 = 

Bijvoorbeeld

(5√2)2 = 52∙(√2)2 = 25∙2 = 50

Of

(−3√5)2 = 

 

Of

(−3√5)2 = (−3)2∙(√5)2 

 

Of

(−3√5)2 = (−3)2∙(√5)2 = 9∙5 = 45

 

Bereken

1. -1
2. -53
3. 59
4. 209

Bereken

1. -64
2. 36
3. 86
4. -24

√3 + √3 = ?

1. √6
2. 2√3
3. 3
4. 6

Gelijksoortige wortels

• 3a + 5a = (3 + 5)a = 8a

• Stel a = √2  >>     3√2 + 5√2 = (3+5)√2 = 8√2
• 3√2 en 5√2 zijn gelijksoortig (= zelfde getal onder de wortel)

Een som en een verschil van gelijksoortige wortels

kun je herleiden.

Niet gelijksoortige wortels

• 3√2 + 5√3  is niet gelijksoortig 
  
• Som of verschil kun je daarom niet verder herleiden (vereenvoudigen) 
  

Gelijksoortig of niet gelijksoortig?

• 7√13 en 13√7
• 7√13 en 13√13
• 13√13 en 13

2√5 +7√5 = ?

2√3+3√2

Wortels vermenigvuldigen

Uit de regel                                             volgt

Verder weet je dat

Voor het vermenigvuldigen van wortels geldt:

(ab)​2​​=(a​2​​⋅b​2​​)

√​a​​​⋅√​b​​​=√​ab​​​

(√​a​​​⋅√​b​​​)​2​​=(√​a​​​)​2​​⋅(√​b​​​)​2​​=ab

(√​ab​​​)​2​​=ab

Wortels vermenigvuldigen

• Gelijksoortige en niet gelijksoortige wortels kan je wel vermenigvuldigen.
• Vermenigvuldig de factoren 

voor de wortels met elkaar.

• Vermenigvuldig de wortels 

met elkaar

Reken uit:

(√​50​​​)​2​​

(5√​2​​​)​2​​

(2√​6​​​)​2​​

(√​24​​​)​2​​

Factor voor het wortelteken brengen

Als getal onder het wortelteken een product is van een geheel getal en een kwadraat, dan kan je een factor voor het wortelteken brengen.

Handig om de kwadraten te kennen.

Factor voor het wortelteken brengen

Soms lijkt een wortel niet te herleiden, maar door bij beide termen een factor voor het wortelteken te brengen, zie je dat het toch kan.

√​18​​​+√​50​​​=

Afspraak

Bij de opdracht 'herleid' breng je een zo groot mogelijke factor voor het wortelteken.

Niet: 

Maar: 

√​32​​​=√​4​​​⋅√​8​​​=2√​8​​​

√​32​​​=√​16​​​⋅√​2​​​=4√​2​​​

Reken uit:

​2​​6​​=3,want...

​√​2​​​​​√​6​​​​​=√​3​​​

3⋅2=

√​3​​​⋅√​2​​​=√​6​​​

Wortels delen

Regel om wortels te delen:

​√​b​​​​​√​a​​​​​=√​​b​​a​​​​​

Wortels van een breuk herleiden

Dezelfde regen gebruiken we:

​√​b​​​​​√​a​​​​​=√​​b​​a​​​​​

√​​25​​4​​​​​=​√​25​​​​​√​4​​​​​=​5​​2​​

Samengevat

1. Het kwadraat van √a is a, dus 
   
2. De som of een verschil van gelijksoortige wortels kun je herleiden 3√2 + 5√2 = 8√2
3. Vermenigvuldigen van wortels : 
4. Een factor kan je voor het wortelteken brengen als er een kwadraat in het product onder de wortel staat. Grootste factor naar voor het wortelteken.
5. Voor het delen van wortels geldt:

​√​b​​​​​√​a​​​​​=√​​b​​a​​​​​

√​a​​​⋅√​b​​​=√​ab​​​

(√​a​​​)​2​​=a

Huiswerk vr 8 december

Opgave 42, 46, 47, 48, 49, 50                             Studiewijzer (w10)

Opgave 55, 56, 61, 62, 63                                     Studiewijzer (v11)

Klaar? Probeer opgave 43, 51, 57, 64, 65

Moeilijk? Oefen door opgave L5 en L6 te maken. 

Oefen door L7 en L8 te maken (en 53, 60).                                                

Leren H3, gebruik je leerdoelen.