Meetkundige berekeningen 5HAVO hfst 7

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

Vlakke meetkunde

5HAVO

Herhaling van hfst 7 uit boek 2

Onderlinge ligging van lijnen

Afstand tussen 2 punten

Gegeven A(x_A,y_A) en B(x_B, y_B)

• Gebruik de stelling van Pythagoras voor de afstand                       (d:distance) tussen A en B:

d(A,B)=√​(yB−yA)​2​​+(xB−xA)​2​​​​​

Bereken d( A,B)
Geef je antwoord in 2
decimalen nauwkeurig.

Antwoord + uitwerking

d(A,B)= 

√​(4−2)​2​​+(5−1)​2​​​​​≈4,47

Afstand punt-lijn d(A,k)

•  Stel de vergelijking op van de lijn l door A loodrecht op k
  

   -> als de vergelijking in de vorm y=ax+b staat

        dus a = 

   en anders k: ax+by=c ->l: bx-ay=d
   A invullen om de ontbrekende waarde te berekenen (b/d)

• Bereken de coordinaten van het snijpunt B van k en l.
• Gebruik d(A,k)=d(A,B) om d(A,k) te berekenen.

rcl⋅rck=−1

rc​l​​=−​rc​k​​​​1​​

Bereken d(A,f) en rond af
op 2 decimalen.

Antwoord + uitwerking

• vergelijking lijn l loodrecht op lijn f: 

       7x+3y=c door (2,4) geeft:
       l: 7x +3y = 26

• snijpunt S van lijn l en lijn f:
  

       3x-7y=4

       7x+3y=26

       Dit stelsel vergelijkingen oplossen geeft x= 2,93 en y=1,83

• d(A,f) =d (A,S) = 
  

7⋅2+3⋅4=26

√​(1,83−4)​2​​+(2,93−2)​2​​​​​≈2,36

Hoek tussen 2 krommen

• Stel een vergelijking op van de raaklijnen l en k aan de           krommen in het snijpunt 
  
• 
  
• 
  
• gevraagde hoek:
  

       of

tan(β)=rck

ϕ=α−β

ϕ=180°−(α−β)

tan(α)=rcl

vraag 17 blz 98

Cirkelvergelijking herschrijven

Gegeven: een cirkelvergelijking in de vorm

• Herschrijven tot:

Zodat je weet: M(2,4) en straal r =

x​2​​−4x+y​2​​−8y+10=0

(x−2)​2​​−4+(y−4)​2​​−16+10=0

(x−2)​2​​+(y−4)​2​​=10

√​10​​​

Ligt punt A buiten binnen of op de gegeven cirkel?

• Cirkelvergelijking zo schrijven dat je M en r af kunt lezen
• bereken d(A,M)

• vergelijk d(A,M) met de straal
  

         * d(A,M) < straal : A ligt binnen de cirkel

         * d(A,M) = straal: A ligt op de cirkel

         * d(A,M) > straal: A ligt buiten de cirkel

Gegeven: de cirkel c met vergelijking:


Ligt punt A(6,2) buiten, binnen of op de cirkel?

x​2​​+y​2​​−2x+6y=26

1. buiten
2. binnen
3. op

Uitwerking

• 
  

      dus M(1,-3) en straal=6

•     d(M,A)  met M(1,-3) en A(6,2)

•  7,07>6 (straal), dus punt A ligt buiten de cirkel
  

x​2​​+y​2​​−2x+6y=26

(x−1)​2​​−1+(y+3)​2​​−9=26

(x−1)​2​​+(y+3)​2​​=36

√​(2−−3)​2​​+(6−1)​2​​​​​≈√​50​​​≈7,07

Cirkels en raaklijnen

Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

Raaklijnprobleem 1

Stel vgl op van c met M(x_m, y_m) die lijn k raakt

• Gebruik M om de cirkelvgl op te stellen:

• stel vgl op van lijn m door M en loodrecht op k
• bereken snijpunt m en k (S)
• r =d(M,k) = d(M,S)
  

(x−x​m​​)​2​​+(y−y​m​​)​2​​=r​2​​

Raaklijnprobleem 2

Stel vgl op van raaklijn l: y=ax+b aan cirkel c in punt B

• Bereken rc van de lijn k door M en B

      rck=

•  lijn l staat loodrecht op k, dus geldt

       bereken hiermee rc_l=a

• Bereken b door B in te vullen.
  

​(x​B​​−x​M​​)​​(y​B​​−y​M​​)​​

rc​l​​⋅rc​k​​=−1

Raaklijnprobleem 3

Stel een vergelijking op van raaklijn k: y=ax+b aan c, waarbij a gegeven is.

- Bereken het snijpunt van k en c door middel van substitutie

- je krijgt dan een vergelijking in de vorm 

waarvan je discriminant D kunt berekenen

- Als k aan c raakt, is er 1 oplossing voor de vergelijking, dus moet gelden D=0 -> hieruit volgt b

ax​2​​+bx+c=0

D=b​2​​−4⋅a⋅c

De cirkels c1 en c2 snijden elkaar in de punten A en B.
Toon algebraisch aan dat geldt dat hoek OAM een hoek van 90 graden is.

c1→x​2​​+y​2​​=16

c2→x​2​​−10x+y​2​​+16=0

Uitwerking

• De straal r1 van c1 is 4

       Dus M(5,0) en straal r2 van c2 = 3

• In OAM geldt
• Omdat de stelling van Pythagoras geldt, is hoek OAM een           hoek van 90 graden
  

x​2​​−10x+y​2​​+16=0

(x−5)​2​​−25+y​2​​+16=0

(x−5)​2​​+y​2​​=9

OA​2​​+AM​2​​=OM​2​​want4​2​​+3​2​​=5​2​​

Lijn l met vergelijking
l:

raakt c2 (zie vorige vraag) in punt P.
Bereken exact de coordinaten van P

y=−​12​​1​​√​6​​​⋅x+​3​​5​​√​6​​​

Uitwerking

• k gaat door M en staat loodrecht op l dus

       k:y=ax+b

       a=

      M invullen om b te berekenen:  geeft b =

       k:

•  k snijden met l geeft x =              en y=
  
• dus P(       ,              )
  

r​k​​⋅rc​l​​=−1

rc​k​​=−​​12​​√​6​​​​​​​1​​=​√​6​​​​​12​​⋅​√​6​​​​​√​6​​​​​=2√​6​​​

−10√​6​​​

y=2√​6​​​⋅x−10√​6​​​

5​5​​3​​

1​5​​1​​√​6​​​

5​5​​3​​

1​5​​1​​√​6​​​

Cirkels en afstanden

• Afstand punt A tot cirkel c met M en r

        * A binnen c: d(A,c)=r-d(M,A)

        * A buiten  c:d(A,c)=d(M,A)-r

•  Afstand tussen 2 cirkels c1 met middelpunt M en c2 met  

        middelpunt N

        * d(c1,c2) = d(M,N)-r1-r2

Gegeven: c1 met M(4,2). Op c liggen A(5,-1) en B(7,1). Lijn l gaat door B en staat loodrecht op AB. P is het snijpunt van l met de x-as. Bereken de afstand van punt P tot de cirkel

Uitwerking