Meetkundige berekeningen

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

driehoeken en cirkels

Havo 5 wiskunde B

SOSCASTOA

•                                                           o = overstaande rechthoekszijde

•                                                           a = aanliggende rechthoekszijde
  

•                                                           s = schuine zijde
  

sin(α)=​s​​o​​

cos(α)=​s​​a​​

tan(α)=​a​​o​​

Sinusregel:

zijde +overstaande hoek moet gegeven/te berekenen zijn!

vb : bereken a, zie het figuur hiernaast

​sin(α)​​a​​=​sin(β)​​b​​=​sin(γ)​​c​​

γ=180°−48°−76°=56°

​sin(48°)​​a​​=​sin(56°)​​12​​

a=​sin(56°)​​12⋅sin(48°)​​≈10,8

cosinusregel

2 zijden + ingesloten hoek gegeven -> zijde tegenover hoek gevraagd

3 zijden gegeven -> hoek gevraagd

a​2​​=b​2​​+c​2​​−2bc⋅cos(α)

b​2​​=a​2​​+c​2​​−2ac⋅cos(β)

c​2​​=a​2​​+b​2​​−2ab⋅cos(γ)

hoeveel keer heb je de sinusregel en of de cosinusregel nodig om BC te berekenen?

Antwoord met uitwerking

In driehoek ACD cosinusregel om AC te berekenen

In driehoek ACD hoek CAD berekenen met de sinusregel

In driehoek ABC cosinusregel om BC te berekenen

AC​2​​=4​2​​+6​2​​−2⋅4⋅6⋅cos(130°)

AC≈9,10....

​sin(130°)​​9,10...​​=​∠CAD​​6​​

∠CAD≈30,3...dus∠BAC≈70−30,3...≈39,67....

BC​2​​=9,10​2​​+10​2​​−2⋅9,10⋅10⋅cos(39,67)

BC≈6,54

Bijzondere rechthoekige driehoeken

•  De zijden van een gelijkbenige
  

rechthoekige driehoek verhouden

zich als 1:1:

•  De zijden van een driehoek met
  

hoeken van

verhouden zich als 1:2:

√​2​​​

°

30°en60°

√​3​​​

Gegeven is de vierhoek ABCD met :


bereken exact AB en CD

∠A=60°en∠C=45°

∠ADB=∠CBD=90°

Afstand tussen 2 punten

Gegeven A(xA,yA) en B(xB, yB)

• Gebruik de stelling van Pythagoras voor de afstand                       (d:distance) tussen A en B:

d(A,B)=√​(yB−yA)​2​​+(xB−xA)​2​​​​​

Bereken d( A,B)
Geef je antwoord in 2
decimalen nauwkeurig.

Antwoord + uitwerking

d(A,B)= 

√​(4−2)​2​​+(5−1)​2​​​​​≈4,47

Bereken d(A,f) en rond af
op 2 decimalen.

Antwoord + uitwerking

• vergelijking lijn l loodrecht op lijn f: 

       7x+3y=c door (2,4) geeft:
       l: 7x +3y = 26

• snijpunt S van lijn l en lijn f:
  

       3x-7y=4

       7x+3y=26

       Dit stelsel vergelijkingen oplossen geeft x= 2,93 en y=1,83

• d(A,f) =d (A,S) = 
  

7⋅2+3⋅4=26

√​(1,83−4)​2​​+(2,93−2)​2​​​​​≈2,36

Cirkelvergelijking herschrijven

Gegeven: een cirkelvergelijking in de vorm

• Herschrijven tot:

Zodat je weet: M(2,4) en straal r =

x​2​​−4x+y​2​​−8y+10=0

(x−2)​2​​−4+(y−4)​2​​−16+10=0

(x−2)​2​​+(y−4)​2​​=10

√​10​​​

Ligt punt A buiten binnen of op de gegeven cirkel?

• Cirkelvergelijking zo schrijven dat je M en r af kunt lezen
• bereken d(A,M)

• vergelijk d(A,M) met de straal
  

         * d(A,M) < straal : A ligt binnen de cirkel

         * d(A,M) = straal: A ligt op de cirkel

         * d(A,M) > straal: A ligt buiten de cirkel

Gegeven: de cirkel c met vergelijking:


Ligt punt A(6,2) buiten, binnen of op de cirkel?

x​2​​+y​2​​−2x+6y=26

1. buiten
2. binnen
3. op

Uitwerking

• 
  

      dus M(1,-3) en straal=6

•     d(M,A)  met M(1,-3) en A(6,2)

•  7,07>6 (straal), dus punt A ligt buiten de cirkel
  

x​2​​+y​2​​−2x+6y=26

(x−1)​2​​−1+(y+3)​2​​−9=26

(x−1)​2​​+(y+3)​2​​=36

√​(2−−3)​2​​+(6−1)​2​​​​​≈√​50​​​≈7,07

Cirkels en raaklijnen

Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

De cirkels c1 en c2 snijden elkaar in de punten A en B.
Toon algebraisch aan dat geldt dat hoek OAM een hoek van 90 graden is.

c1→x​2​​+y​2​​=16

c2→x​2​​−10x+y​2​​+16=0