Basisvaardigheden - Grafieken

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 4

Basisvaardigheden

Grafieken

Hoofdstuk Basisvaardigheden

Basisvaardigheden - Grafieken

Basisvaardigheden - Grootheden & eenheden

Basisvaardigheden - Wetenschappelijke notatie & voorvoegsels

Basisvaardigheden - Significante cijfers

Basisvaardigheden - Volume, massa & dichtheid

Basisvaardigheden - Formules omschrijven

Basisvaardigheden - Eenheiden afleiden

Natuurkunde!

y=a⋅x+b

→ y=365⋅x+99700

Omgekeerd evenredig of kwadratisch verband

y=​x​​a​​ ?    of     y=​x​2​​​​a​​ ?

Omgekeerd evenredig of kwadratisch verband

y=​x​​a​​ ?    of     y=​x​2​​​​a​​ ?

y=​x​​a​​ ?    of     y=​x​2​​​​a​​ ?

y=​x​​a​​      of     y=​x​2​​​​a​​ 

/

\

Grafieken

Een goede manier om metingen weer te geven is met behulp van tabellen en grafieken. Hieronder zien we bijvoorbeeld een tabel met daarin de valtijd van een voorwerp bij verschillende hoogten. Belangrijk is om bij elke kolom de grootheid te schrijven en daarachter tussen haakjes de eenheid.

Van deze tabel kunnen we de volgende grafiek maken:

Regels voor grafieken

Er zijn een aantal belangrijke regels voor het maken van grafieken in de natuurkunde:

• Schrijf altijd de grootheden en tussen haakjes de eenheden bij de assen.
  
• Verdeel de assen in gelijke stapjes. Maak de stapjes niet te ingewikkeld. Neem dus bijvoorbeeld niet 0 13 26 39 52 65. Dit is lastig aflezen. Neem hier bijv. 0 20 40 60 80.
• Zet alle meetpunten zo precies mogelijk in het diagram. Het maakt hier niet uit als sommige meetpunten niet mooi op een lijn liggen. 
• Trek dan een vloeiende lijn die zo goed mogelijk door de meetpunten loopt. We noemen dit ook wel de trendlijn.

Het komt regelmatig voor dat een aantal punten niet op de vloeiende lijn ligt. Dit komt doordat zo goed als alle metingen in zekere mate onnauwkeurig zijn. Hoe verder het punt van de lijn af ligt, hoe groter de meetfout.

Regels voor grafieken

Hieronder zien we nog een voorbeeld van een trendlijn. Wederom zien we hier een vloeiende lijn. Merk op dat deze lijn niet recht
hoeft te lopen. Ook in dit voorbeeld zien we een paar meetfouten. De meetwaarde met de grootste meetfout
is omcirkeld.

Belangrijk:

Als je de grafiek afleest, dan is het belangrijk niet naar de meetpunten te kijken, maar naar de trendlijn zelf. De individuele meetpunten kunnen immers meetfouten bevatten.

Lineair verband

Een ander soort verband is het lineair verband. Als een grafiek recht is en niet door de oorsprong gaat, dan spreken we van een lineair verband. De bijbehorende formule heeft de volgende vorm:

De constante a is hier gelijk aan de helling van de grafiek. In de wiskunde wordt dit ook wel de richtingscoëfficiënt genoemd. De helling kunnen we bepalen door eerst de waarde van b te bepalen. Wanneer x = 0, krijgen we:

In de grafiek hieronder kunnen we dus bepalen dat b gelijk is aan 40, zie rode pijl. Om de helling te bepalen, moeten we een waarde van 1 op de x-as toenemen en zien hoeveel de waarde op de y-as toeneemt.

In het geval van deze grafiek is 

dat een waarde van 20 op de

y-as. Dus de helling a = 20.

Dat maakt de formule voor dit 

lineair verband:

y=a⋅x+b

y=a⋅x+b→y=a⋅0+b→y=b

y=20x+40

Recht evenredig verband

Van een grafiek kunnen we een formule maken. Als een grafiek recht is en door de oorsprong gaat, dan spreken we van een recht evenredig verband. De bijbehorende formule heeft de volgende vorm:

In vergelijking met het lineair verband is hier de constante b gelijk aan nul. De constante a is hier gelijk aan de helling van de grafiek. In de wiskunde wordt dit ook wel de richtingscoëfficiënt genoemd. De helling wordt gegeven door:

Dit geeft een helling a van:

Dus de formule voor dit recht evenredig verband is:

y=a⋅x

a=​x​2​​−x​1​​​​y​2​​−y​1​​​​

a=​6,0−0​​3,5−0​​=0,58

y=0,58⋅x

Overige verbanden (HAVO)

Op onderstaande afbeelding zijn meerdere verbanden afgebeeld met hun bijbehorende formules, deze moet je allemaal kunnen herkennen.

Het kwadratisch verband neemt de vorm aan van een parabool.

Het omgekeerd evenredig verband begint hoog, en daalt dan snel naar de x-as.

Het omgekeerd kwadratisch verband begint ook hoog, en daalt dan minder snel, maar wel dichter naar de x-as.

Het wortelverband klimt vanuit de oorsprong snel naar een hogere waarde, maar elke waarde waarmee het hierna stijgt neemt minder snel toe, en dus stijgt de lijn steeds langzamer.

y=a⋅x​2​​

y=​x​​a​​

y=​x​2​​​​a​​

y=a√​x​​​

Kwadratisch verband (VWO)

In de volgende grafiek zien we een kwadratisch verband. De formule hiervoor is:

Om ook hier de waarde voor a te vinden, moeten we van de grafiek eerst een rechte lijn maken. Dit wordt lineariseren of coördinatentransformatie genoemd. 

In dit voorbeeld doen 

we dit door als variabele 

voor de x-as niet de x te 

nemen, maar de x². Hier-

onder hebben we x² uit-

gerekend voor een aantal 

waarden. 

In de grafiek hieronder zien we
dat deze meetwaarden inderdaad een rechte lijn opleveren.

De helling van deze rechte lijn is:

De formule wordt dus:

y=a⋅x​2​​

a=​x​2​​−x​1​​​​y​2​​−y​1​​​​=​6,0−0​​1,5−0​​=0,25

y=0,25⋅x​2​​

Wortelverband (VWO)

Laten we een praktisch voorbeeld bespreken. Stel we willen de relatie tussen de lengte van een slinger en de slingertijd bestuderen. 

In een grafiek hieronder zien we een aantal metingen die horen bij dit experiment. Als je deze grafiek vergelijkt met de bovenstaande grafieken, dan herken je hier een wortelverband in. Er geldt dus:

Als we a willen bepalen, dan moeten we de grafiek lineariseren. Op de x-as schrijven we nu niet L, maar √L. Het resultaat hiervan zie we in de afbeelding rechtsboven. De helling is hier gelijk aan:

De formule wordt dus:

De formule voor de slingertijd wordt volgens BINAS gegeven door:

T=a√​L​​​

a=​x​2​​−x​1​​​​y​2​​−y​1​​​​=​3,0−0​​6,0−0​​=2,0

T=2,0√​L​​​

Wortelverband (VWO)

De formule voor de slingertijd wordt volgens BINAS gegeven door:

Wat we ook kunnen schrijven als:

De letter g is hier gelijk aan de zogenaamde valversnelling. Als we deze formule vergelijken met de formule die we gevonden hebben op basis van onze metingen, dan vinden we:

Als we deze formule omschrijven, dan kunnen we de valversnelling g uitrekenen:

Zoals je ziet komen we in de buurt van de correcte waarde van 9,81 m/s². Als we nog nauwkeuriger hadden gemeten, dan hadden we nog dichter bij deze waarde uitgekomen. 

T=2π√​​g​​L​​​​​

T=2π√​​g​​L​​​​​→T=2π⋅​√​g​​​​​√​L​​​​​→T=​√​g​​​​​2π​​⋅√​L​​​

a=2,0→a=​√​g​​​​​2π​​=2,0

a=​√​g​​​​​2π​​=2,0

→4π​2​​=4,0⋅g

→g=​4,0​​4π​2​​​​=9,9 m/s​2​​

→a=​g​​4π​2​​​​=4,0

Overige verbanden (VWO)

Op onderstaande afbeelding zijn kwadratisch en wortelverband met twee andere verbanden afgebeeld met hun bijbehorende formules, deze moet je ook moet kunnen herkennen.

Het kwadratisch verband neemt de vorm aan van een parabool.

Het omgekeerd evenredig verband begint hoog, en daalt dan snel naar de x-as.

Het omgekeerd kwadratisch verband begint ook hoog, en daalt dan minder snel, maar wel dichter naar de x-as.

Het wortelverband klimt vanuit de oorsprong snel naar een hogere waarde, maar elke waarde waarmee het hierna stijgt neemt minder snel toe, en dus stijgt de lijn steeds langzamer.

y=a⋅x​2​​

y=​x​​a​​

y=​x​2​​​​a​​

y=a⋅√​x​​​

Opgaven

Opgave 1
Een leerling laat water uit een grote bak stromen en meet om de paar seconden hoeveel water er nog in de bak zit. De leerling zet zijn metingen in het volgende diagram. 

a. Teken de grafiek in het bovenstaande diagram.

b. Omcirkel de twee grootste meetfouten.

Opgave 2

Geef bij de volgende diagrammen aan wat er ontbreekt of niet klopt: 

Opgaven

Opgave 3

Hieronder zien we een grafiek van de massa en het volume van een aantal stukjes van hetzelfde soort glas.

a. Wat is de dichtheid van dit glas?

b. Waarom staan de meetpunten niet helemaal precies op een lijn?

Opgave 4

Een leerling heeft vier voorwerpen van een onbekend materiaal. De leerling meet de massa en het volume van deze voorwerpen en schrijft de meetgegevens in deze tabel:

a. Maak een grafiek bij deze tabel met op de horizontale as de massa en op de verticale as het volume.

b. Van welk materiaal zouden deze voorwerpen gemaakt kunnen zijn?

Opgaven

Opgave 5

Een leerling heeft een aantal voorwerpen die van hetzelfde materiaal zijn gemaakt. Hij meet van deze voorwerpen de massa en het volume en zet deze gegevens in een tabel:

Opgave 5 (vervolg)

a. Maak een diagram van deze tabel met op de horizontale as de massa en op de verticale as het volume. 

b. Omcirkel de twee metingen met de grootste meetfout. 

c. Van welk materiaal kunnen deze voorwerpen gemaakt zijn?

Opgave 6

Teken een grafiek waarin je het verband weergeeft tussen de massa en het volume van lood. Zet op de horizontale as de massa in kg en laat dit lopen van 0 tot 30 kg in stapjes van 10 kg.

Opgaven

Opgave 7

Een heliumballon stijgt op in de atmosfeer. Bevestigd aan de ballon zit een klein apparaatje waarmee om de paar kilometer de dichtheid van de lucht in de atmosfeer gemeten wordt. De meetgegevens staan in de onderstaande tabel: 

Opgave 7 (vervolg)

a. Teken de grafiek met op de horizontale as de hoogte en op de verticale as de dichtheid.

b. Bepaal met behulp van de grafiek op welke hoogte de luchtdichtheid gehalveerd is.

c. De ballon heeft een massa van 2,0 gram en is met 3,0 liter helium gevuld. Bepaal met behulp van de grafiek hoe hoog de heliumballon maximaal zal opstijgen.

Opgaven

Opgave 8

Een persoon doet onderzoek naar de relatie tussen de uitwijking van een veer en de veerkracht. De metingen zijn hieronder weergegeven: 

Opgave 8 (vervolg)

De formule die de veerkracht beschrijft is: 

waarin:

F_v = veerconstante (N)

C = veerconstante (N/m)

u = uitwijking (m)

Bepaal met behulp van de grafiek de grootte van de veerconstante van de veer.

F​v​​=C⋅u

Opgaven

Opgave 9

Hieronder zien we een grafiek waarin het verband tussen de valtijd en valhoogte van een voorwerp is weergegeven.

Opgave 9 (vervolg)

a. Lineariseer de grafiek met een coördinatentransformatie en toon hiermee aan om welk verband het gaat.

b. De bijbehorende formule is:

waarin:

h = hoogte (m)

g = valversnelling (m/s²)

t = tijd (s)

Bepaal met behulp van de grafiek de valversnelling g.

h=​2​​1​​gt​2​​

Opgaven

Opgave 10

In het onderstaande diagram zijn een aantal meetpunten te zien waarbij gekeken wordt naar de relatie tussen de frequentie (f) en de energie (E) van fotonen (lichtdeeltjes):

Opgave 10 (vervolg)

a. De meetwaarden suggereren een recht evenredig verband. Leg uit hoe je dit kan zien.

De formule die bij deze grafiek hoort is:

waarin:

E = fotonenergie (J)

h = constante van Planck (J·s)

f  = frequentie (Hz)

b. Toon met eenheidsbepaling aan dat de eenheid van h J·s is. Gebruik daarbij het feit dat de eenheid Hz =  1/s.

c. Bepaal met behulp van de grafiek de constante h.

E=h⋅f

Millimeterpapier