2.3 Bewijzen met gelijkvormigheid

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 3

2.4 Bewijzen met gelijkvormigheid

Definities

De eigenschap die vastlegt hoe een figuur er uit ziet.

Eigenschappen

Het is moeilijk aan te tonen dat een eigenschap een definitie is. Met een tegenvoorbeeld kun je aantonen dat een eigenschap geen definitie is.

Voorbeeld

Eigenschappen van figuren

Alle theorie op een rij...

Dit zou allemaal bekend moeten zijn en kun je nodig hebben om te bewijzen, je moet dan zelf bedenken welke theorie je wanneer gebruikt.

Hoeken-1

Overstaande hoeken: de overstaande 
hoeken bij twee kruisende lijnen zijn 
even groot. 
Hoek ABC = hoek DBE (overstaande hoeken).
F- en Z-hoeken: wanneer twee lijnen even
wijdig aan elkaar lopen, te herkennen aan 
bijvoorbeeld de pijltjes door de lijnen, kan 
je bewijzen dat hoek CAB = hoek BDE (Z-hoeken) 
en hoek CBF = hoek BED (F-hoeken).

Hoeken-2

Gestrekte hoek: dit is een hoek van 180 graden, 

oftewel een rechte lijn. 
In dit geval is hoek ABE + hoek DBE = 180 graden

(gestrekte hoek).
Rechte hoek: dit is een hoek van 90 graden. 
Een rechte hoek is te herkennen aan een 
soort vierkante in de hoek, zoals in de figuur 
te zien is bij hoek EBD.

Lijnen

• Middelloodlijn: een middelloodlijn deelt een lijn doormidden en geeft hoeken van 90 graden. De middelloodlijn door S en F verdeelt AB in twee gelijke stukken.
• Bissectrice: de bissectrice verdeelt een hoek in twee gelijke hoeken. Zo verdeelt de bissectrice van hoek B (de lijn BK) de hoek B in de twee gelijke hoeken hoek CBK en hoek ABK (bissectrice).
• Hoogtelijn: de hoogtelijn is een lijn vanuit een hoek loodrecht op de overstaande zijde. In het figuur is CE de hoogtelijn vanuit hoek C, die loodrecht op AB staat.
• Zwaartelijn: de zwaartelijn is de lijn die vanuit een hoek naar de overstaande zijde loop, waardoor die overstaande zijden in twee gelijke stukken verdeeld wordt. In het figuur in de lijn AD de zwaartelijn vanuit hoek A, zodat CD = BD (zwaartelijn).

Driehoeken

Hoekensom: dit is de som van alle drie de hoeken, die samen altijd 180 graden zijn.

Gelijkbenig: een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee gelijke zijden. De hoeken in een gelijkbenige driehoek zijn even groot. Hoek ABC = hoek ACB (gelijkbenige driehoek).

Gelijkzijdig: een gelijkzijdige driehoek is een driehoek, waarvan alle drie de zijden even lang zijn. Ook zijn alle hoeken even groot Volgens de hoekensom is elke hoek dan 60 graden.

Rechthoekig: een rechthoekige driehoek is een driehoek, waarvan één van de drie hoeken een rechte hoek is (90 graden).

Geodriehoek: een geodriehoek is een driehoek, waarvan één hoek een rechte hoek is en de andere twee hoeken gelijk zijn en dus beide 45 graden. Dit wordt ook wel een gelijkbenige rechthoekige driehoek genoemd.

Congruente driehoeken

Congruent: twee driehoeken zijn congruent (gelijk), wanneer ze aan één van onderstaande voorwaarden voldoen.

• HZH: een zijde en twee aanliggende hoeken gelijk hebben
• ZHH: een zijde, een aanliggende hoek en de tegenoverliggende hoek gelijk hebben
• ZHZ: twee zijden en de ingesloten hoek gelijk hebben
• ZZZ: alle zijden gelijk hebben
• ZZR: twee zijden en de rechte hoek tegenover één van die zijden gelijk hebben

Gelijkvormige driehoeken

Gelijkvormig: twee driehoeken zijn gelijkvormig, wanneer ze aan één van onderstaande voorwaarden voldoen.

• hh: twee hoeken gelijk hebben
• zhz: een hoek en de verhouding van de aanliggende zijden gelijk hebben
• zzz: de verhoudingen van alle zijden gelijk hebben
• zzr: een rechte hoek en de verhouding van twee niet-aanliggende zijden gelijk hebben

Vierhoeken

Hoekensom: de hoekensom van een vierhoek is de som van alle vier de hoeken, die samen altijd 360 graden moeten zijn.

Parallellogram: een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden, waarvan de overstaande zijden even lang zijn. In een parallellogram zijn ook de overstaande hoeken even groot. De diagonalen van een parallellogram delen elkaar middendoor

Ruit: een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden. De diagonalen van een ruit delen de hoeken middendoor en snijden elkaar loodrecht.

Rechthoek: een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken. De diagonalen van een rechthoek zijn even lang.

Vierkant: een vierkant is een vierhoek met vier even lange zijden en vier rechte hoeken.

Bewijzen

Met behulp van een definitie van een figuur kun je eigenschappen van die figuur bewijzen. Je kan daarbij gebruik maken van stellingen.

Afspraak

Achter een regel, die je net bewezen hebt, zet je altijd tussen haakjes de regel of stelling die je gebruikt hebt. 

Voorbeeld: hoek A + hoek B = 180 graden (gestrekte hoek) of in een driehoek hoek A + hoek B + hoek C = 180 graden (hoekensom driehoek).

Voorbeeld

F-hoeken, Z-hoeken en X-hoeken

Gelijkvormige driehoeken

Als aan één van de volgende voorwaarden is voldaan

• De OVEREENKOMSTIGE hoeken zijn gelijk.
• De OVEREENKOMSTIGE zijden zijn met dezelfde factor vermenigvuldigd.

hoek 1 en 3 zijn

1. tegenover elkaar liggende hoeken
2. overstaande hoeken
3. Gestrekte hoeken
4. Tegengestelde hoeken

Hoek 2 en 3 zijn samen

1. 360 graden
2. 180 graden
3. Gestrekte hoek
4. 90 graden

Alle hoeken van een vierhoek zijn samen

1. 180 graden
2. Altijd verschillend
3. 540 graden
4. 360 graden

Zijn deze vierhoeken gelijkvormig?

1. Ja, dat zie je zo.
2. Nee, dat kun je niet weten.
3. Ja, overeenkomstige hoeken zijn gelijk.
4. Ja, overeenkomstige hoeken zijn gelijk en de factor is 1,5.

hoe groot is hoek D1?

1. 104 graden
2. 76 graden
3. 50 graden
4. 256 graden

De hoeken A noemen we...

1. Evenwijdige hoeken
2. Dezelfde hoeken
3. f-hoeken
4. Z-hoeken

Deze hoeken A noemen we ....

1. Z-hoeken
2. Zigzaghoeken
3. Tegenovergestelde hoeken
4. Dezelfde hoeken

De figuur hiernaast heet een trapezium, omdat...

1. Heeft 4 hoeken, maar is geen rechthoek
2. 2 verschillende zijkanten heeft
3. 2 evenwijdige zijden heeft
4. Alle zijden evenwijdig lopen

Wat herken je in dit gebouw?

1. F-hoeken
2. Z-hoeken
3. Trapezium
4. Alle drie

Welke voorwaarde is waar voor het bewijzen van gelijkvormigheid bij vierhoeken?

1. Alléén voorwaarde 1 is waar
2. Voorwaarde 1 en 2 zijn waar
3. Alléén voorwaarde 2 is waar
4. Één van beide voorwaarden is voldoende

Als driehoeken gelijkvormig zijn, hebben ze altijd gelijke hoeken.

1. Waar
2. Niet waar

Congruent betekent:

1. Ze zijn gelijkvormig
2. Ze hebben dezelfde oppervlakte
3. De vorm is precies hetzelfde
4. Ze lijken op elkaar.

Opdracht

Maak opgave 44

Opdracht

Maak opgave 45, 46, 47

Opdracht

Maak opgave 49, 50 en 51

Einde les