Progresiones Aritméticas

• pre-calculus
• Tertiary Education

Progresion aritmética

Aquellas sucesiones que se obtienen al sumar un mismo valor a cada término anterior.

Progresión arimtética

A= {2,4,6,8,10,12,...}

Va de 2 en dos, entonces si le sumo 2 a un término obtengo el siguiente.

Terminología:

• Primer término =
• Término "n" = 
• Diferencia entre términos = d
• Cantidad de términos =  n

a​1​​

a​n​​

Regla de correspondencia:

A={5,7,9,11,13,...}

a​1​​=5

a​2​​=5+2

a​3​​=5+2(2)

a​1​​=5

a​2​​=a​1​​+d

a​3​​=a​1​​+d(2)

a​4​​=5+2(3)

a​4​​=a​1​​+d(3)

Regla de correspondencia:

a​n​​=a​1​​+d(n−1)

Ejemplo:

Calcule el viigésimo término de una progresión aritmética con valor inicial 2 y diferencia de 7

a​n​​=a​1​​+d(n−1)

a​1​​=2n=20d=7

a​20​​=2+7(20−1)

a​20​​=135

Ejemplo:

Calcule el término 81 de una progresión artimética con valor inicial -100 y una diferencia de 4

a​n​​=a​1​​+d(n−1)

a​1​​=−100n=81d=4

a​81​​=−100+4(81−1)

a​81​​=220

No siempre se tienen todos los términos desde un inicio,

o no siempre queremos el valor final.

Ejemplo:

Determine el termino 20 de la progresión aritmética dada por:

a​n​​=a​1​​+d(n−1)

a​1​​=?n=20d=?

A={7,9,11,13,15,...}

Ejemplo:

Determine el termino 20 de la progresión aritmética dada por:

a​n​​=a​1​​+d(n−1)

a​1​​=7n=20d=2

a​20​​=7+2(20−1)

a​20​​=45

A={7,9,11,13,15,...}

Ejemplo:

Determine el termino 9 de la progresión aritmética dada por:

a​n​​=a​1​​+d(n−1)

a​1​​=?n=9d=?

A={​3​​1​​,​21​​10​​,​21​​13​​,...}

Ejemplo:

Determine el termino 9 de la progresión aritmética dada por:

a​1​​=​3​​1​​n=9d=​7​​1​​

a​9​​=​3​​1​​+​7​​1​​(9−1)=​3​​1​​+​7​​8​​=​21​​31​​

A={​3​​1​​,​21​​10​​,​21​​13​​,...}

Ejemplo:

Si el octavo término de una progresión aritmética es 17 y el primer término es -4, ¿Cuál es la diferencia?

a​8​​=a​1​​+d(8−1)

17=−4+d(8−1)

a​8​​=17

21=7d

d=3

Ejemplo:

Si el primer término de una progresión aritmética es 4 y tiene una diferencia de 11, qué término está más cerca del 100 (recuerda que no hay términos fracción)

100=4+11(n−1)

100−4=11(n−1)

a​1​​=4d=11

​11​​96​​=n−1

9=n−1

n=10

Es necesario saber despejar, ¿necesitamos verlo?

Busqué algunos videos para recordarlo pero ninguno me convenció...

Despejes:

Series Aritméticas

La suma de términos de una progresión aritmética

Serie aritmética

​i=1​∑​n​​f(n)=a​1​​+(a​1​​+d)+(a​1​​+2d)+...+(a​1​​+(n−2)d)+(a​1​​+(n−1)d)

​i=1​∑​n​​f(n)=a​1​​+a​2​​+a​3​​+...+a​n−1​​+a​n​​

Serie aritmética

​i=1​∑​n​​f(n)=a​1​​+(a​1​​+d)+(a​1​​+2d)+...+(a​1​​+(n−2)d)+(a​1​​+(n−1)d)

​i=1​∑​n​​f(n)=a​1​​+a​2​​+a​3​​+...+a​n−1​​+a​n​​

Si emparejamos al primero con el último, segundo con el penúltimo etc:

​i=1​∑​n​​f(n)=(a​1​​+a​n​​)+(a​1​​+d+a​1​​+(n−2)d)+...

Serie aritmética

​i=1​∑​n​​f(n)=a​1​​+(a​1​​+d)+(a​1​​+2d)+...+(a​1​​+(n−2)d)+(a​1​​+(n−1)d)

​i=1​∑​n​​f(n)=a​1​​+a​2​​+a​3​​+...+a​n−1​​+a​n​​

Si emparejamos al primero con el último, segundo con el penúltimo etc:

​i=1​∑​n​​f(n)=(a​1​​+a​n​​)+(a​1​​+d+a​1​​+(n−2)d)+...

Sumamos las "d" de nuestro paréntesis:

​i=1​∑​n​​f(n)=(a​1​​+a​n​​)+(a​1​​+a​1​​+(n−1)d)+...=(a​1​​+a​n​​)+(a​1​​+a​n​​)+...

Serie aritmética

​i=1​∑​n​​f(n)=(a​1​​+a​n​​)+(a​1​​+a​n​​)+...

​i=1​∑​n​​f(n)=​2​​n(a​1​​+a​n​​)​​

Serie aritmética

​i=1​∑​n​​f(n)=​2​​n(a​1​​+a​n​​)​​=​2​​n​​(a​1​​+a​n​​)

​i=1​∑​n​​f(n)=​2​​n​​(2a​1​​+(n−1)d)

Fórmulas si contamos con el valor inicial y el final.

Fórmula si no contamos con el valor final.

Ejemplo:

Obtener la serie aritmética hasta el término 11 de la siguiente progresión

A={2,6,10,14,...}

a​1​​=2n=11d=4

​i=1​∑​n​​f(n)=​2​​n​​(2a​1​​+(n−1)d)

​i=1​∑​n​​f(11)=​2​​11​​(2(2)+(11−1)4)=​2​​11​​(4+(10)⋅4)=​2​​11​​(44)=242

Ejemplo:

Si la serie aritmética de 20 términos  es 590 y la distancia 3, Calcula valor inicial

a​1​​=?n=20d=3∑=590

​i=1​∑​n​​f(n)=​2​​n​​(2a​1​​+(n−1)d)

590=​2​​20​​(2a​1​​+(20−1)3)

590=10(2a​1​​+57)

​10​​590​​=(2a​1​​+57)

59=(2a​1​​+57)

59−57=2a​1​​

​2​​2​​=a​1​​

a​1​​=1