wi V4 3.1 Berekeningen in driehoeken

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

3V: Goniometrische verhoudingen

Je kent de goniometrische verhouding 

SOS CAS TOA

Deze kun je gebruiken om hoeken of zijden te berekenen
in rechthoekige driehoeken.

sinus van een hoek =

1. 
2. 
3. 

Kies:

1. Sinus
2. Cosinus
3. Tangens
4. Pythagoras

Kies

1. Sinus
2. Cosinus
3. Tangens
4. Pythagoras

Kies:

1. Sinus
2. Cosinus
3. Tangens
4. Pythagoras

Kies:

1. Sinus
2. Cosinus
3. Tangens
4. Pythagoras

Kies:

1. Sinus
2. Cosinus
3. Tangens
4. Pythagoras

Kies:

1. Sinus
2. Cosinus
3. Tangens
4. Pythagoras

Kies:

1. Sinus
2. Cosinus
3. Tangens
4. Pythagoras

Opgave 3
op bladzijde 142.

Gegeven is de rechthoek ABCD in figuur 4.4. 

en M is het midden van AB.

Bereken 

Aanpak: Bepaal met welke verhouding we hoek BMC  kunnen berekenen.

BC=4,∠BAC=28°

∠BMC

Bepaal hoe we hoek BMC kunnen berekenen.

=

(∠BMC)

tan

sin

cos

AB

AC

AM

BC

BM

CM

Waarom:

en niet:

?

Je kunt CM niet berekenen zonder de gevraagde hoek BMC.

tan(∠BMC)=​BM​​BC​​

sin(∠BMC)=​CM​​BC​​

Waarom:

en niet:

?

Je kunt CM niet berekenen zonder de gevraagde hoek BMC.

Dus we moeten BM berekenen om de gevraagde hoek te kunnen berekenen.

tan(∠BMC)=​BM​​BC​​

sin(∠BMC)=​CM​​BC​​

Om BM te weten, hebben we de nog een goniometrische verhouding nodig. 

We  kunnen AB berekenen met behulp van hoek A.

tan(∠BMC)=​BM​​BC​​

Wat is de lengte van AB?

Nu kunnen we de gevraagde hoek BMC berekenen:

tan(∠BMC)=​BM​​BC​​=​3,76...​​4​​

tan(∠BMC)=​BM​​BC​​=​3,76...​​4​​

∠BMC=tan​−1​​(​3,76...​​4​​)≈46,8°

3.1B: Gelijkvormigheid

ΔABC∼ΔDEC

3.1B: Gelijkvormigheid

ΔABC∼ΔDEC

Bereken zijde DE.

Bereken de zijde DE.

Zijde DE

AB	AC
DE	AD

14	8
DE	5

8⋅DE=14⋅5

8⋅DE=70

DE=​8​​70​​=8,75

3.1B: Gelijkvormige driehoeken

niet aangegeven dat driehoeken gelijkvormig zijn? Dan moet je dit aantonen!

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze twee paar gelijke hoeken hebben.

voorbeeld

 Dus 

∠A=∠A

∠C​1​​=∠D (rechte hoek)

△ABC∼△AED (hh)

Gelijke hoeken zoeken.

3.1C: Stellingen en definitiets

• stelling van Thales
  
• Def. raaklijn aan cirkel
• Stelling raaklijn aan cirkel
  Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op "de straal".
• Def. afstand punt tot lijn
• Stelling raaklijn in gemeenschappelijk raakpunt.
• Stelling afstand punt tot raakpunten

De stelling van Thales

Voorbeeld

Bereken de lengte van QR.

De stelling van Thales geldt ook omgekeerd:

Stap 1:

Stap 2:  

Stap 3: Gebruik Pythagoras om aan te tonen dat BM=CM

ΔABC∼ΔMBN

BN=CN

Cirkels en raaklijnen

Stelling

Raaklijn aan cirkel
Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de verbindingslijn van het middelpunt van de cirkel en het raakpunt

Definitie

Afstand punt tot lijn
De afstand (kortste verbinding) van een punt tot een lijn is de lengte van het loodlijnstuk neergelaten vanuit dat punt op die lijn.

Stelling

Raaklijn in gemeenschappelijk raakpunt
De raaklijn in een gemeenschappelijk raakpunt van twee elkaar rakende cirkels staat loodrecht op de verbindingslijn van de midddelpunten.

Stelling

Afstand punt tot raakpunten
Als vanuit een punt twee raaklijnen aan een cirkel getrokken worden, dan zijn de afstanden van dat punt tot de twee raaklijnen gelijk