Relativiteit - Ruimtetijddiagram

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 5,6

Relativiteit

Ruimtetijd-diagram

Hoofdstuk Relativiteit

Relativiteit - Ruimte-tijddiagram

Relativiteit - Tijdrek & lengtekrimp

Relativiteit - Gelijktijdigheid

Relativiteit - Zwarte gaten

****Hier vind je het boek in pdf-vorm****

****Hier vind je het antwoordenboek in pdf (alleen download)****

Leerdoelen

Aan het eind van de les kun je...

... 

Op een hoogte van 10 km in onze atmosfeer ontstaan muonen. Ondanks dat deze deeltjes met 99,9% van de lichtsnelheid voortbewegen, bestaan zo kort (2,2 μs) dat het onmogelijk lijkt om ze nog op zeeniveau te detecteren. Toch meet je muonen op het aardoppervlak. 

Hoe is dat mogelijk?

Voorbeeld Muonen

Δt​b​​=​√​1−​c​2​​​​v​2​​​​​​​​​Δt​eigen​​​​

Laten we wat gegevens noteren:

v = 0,999·c

ℓ_eigen = ?

ℓ_b = ?

Δt_eigen = 2,2 μs = 2,2·10^-6 s

Δt_b = ?

ℓ​b​​=ℓ​eigen​​⋅√​1−​c​2​​​​v​2​​​​​​​

Δt=​√​1−​c​2​​​​v​2​​​​​​​​​Δt​eigen​​​​

→Δt​eigen​​=Δt⋅√​1−​c​2​​​​v​2​​​​​​​=5,3⋅√​1−​c​2​​​​(0,80c)​2​​​​​​​=3,2 jaar

Δt​eigen​​=​v​​ℓ​b​​​​=​0,80⋅2,99792⋅10​8​​​​2,4⋅10​16​​​​=3,2 jaar

Voegen we een assenstelsel toe, kunnen we de boom in de oorsprong zetten. Nu is de boom de referentie voor alle plaatsen. Dit stelsel noemen we nu het referentiestelsel. 

Het huis beweegt niet ten opzichte van de boom, dus het huis bevindt zich in het ruststelsel van de boom.

In een ruimtetijd-diagram kan je tegelijkertijd laten zien hoe een stilstaande waarnemer en een bewegende waarnemer verschijnselen ervaren.

Ruimtetijd-diagram

De hond gaat lopen, dus zijn plaats verandert in de tijd. Hieronder is de positie van de hond na 10 seconden weergegeven. Zijn snelheid was dus:

Ruimtetijd-diagram

v=​Δt​​Δx​​=​10​​−12−(4)​​=−1,6 m⋅s​−1​​

Wereldlijnen en gebeurtenissen

Wereldlijnen en gebeurtenissen

Wereldlijnen en gebeurtenissen

Stel nu dat we de hond op de tijd-as zetten. Nu is de hond met zijn ruststelsel de referentie, en bewegen de boom en het huis langs de hond. 

Wereldlijnen en gebeurtenissen

Stel nu dat we de hond op de tijd-as zetten. Nu is de hond met zijn ruststelsel de referentie, en bewegen de boom en het huis langs de hond. 

Wereldlijnen en gebeurtenissen

Stel nu dat we de hond op de tijd-as zetten. Nu is de hond met zijn ruststelsel de referentie, en bewegen de boom en het huis langs de hond. 

Wereldlijnen en gebeurtenissen

Om relativistische wereldlijnen goed zichtbaar te kunnen weergeven in een ruimtetijd-diagram, vermenigvuldig je de eenheid van de tijd-as met de lichtsnelheid c. Op de tijd-as krijg je dan c·t, met als eenheid:

Houdt er rekening mee dat dit nog steeds te beschouwen is als een tijd-as! Elke tijd is nu eenmaal vermenigvuldigd met c, dus de grootheid c·t kan je zien als zijnde tijd met een constante vermenigvuldigt, dus nog steeds een vorm van tijd.

Voor een foton dat vanuit de oorsprong in positieve richting beweegt, geldt:

Dus waarden van x en ct zijn dus gelijk aan elkaar. De wereldlijn van een foton is dus een rechte lijn door de oorsprong onder een hoek van 45°. Het gebied tussen de wereldlijnen van beide fotonen noemen we de lichtkegel van de waarnemer in de oorsprong.

Als een voorwerp niet beweegt ten opzichte van een referentiestelsel, is de wereldlijn van dat voorwerp evenwijdig aan de tijd-as. Hoe sneller een voorwerp beweegt, des te groter de hoek tussen wereldlijn en tijd-as.

Lichtkegel

[c⋅t]=m⋅s​−1​​⋅s=m

x=c⋅t

Opgave 10: supernova

In het stelsel van Esmay en Jorn zijn de gebeurtenissen B & D gelijktijdig. Alle punten op de horizontale lijn BD vinden in het stelsel van Esmay & Jorn plaats. Gebeurtenissen die gelijktijdig plaatsvinden liggen dus op een lijn evenwijdig aan de ruimte-as.

Stel nu dat we drie waarnemers hebben, waarvan Esmay & Jorn stil staan en Tracy naar links beweegt. Dat is te vertalen naar het ruimtetijd-diagram rechts.

Daarin stuurt Esmay een lichtpuls naar Jorn (A) en die stuurt na ontvangst (B) een lichtpuls naar Esmay terug (C). 

Gelijktijdigheid in een ruimtetijd-diagram

Door een tweede assenstelsel in het diagram te tekenen, namelijk ct' en x', kan het stelsel van Esmay & Jorn ook in hetzelfde diagram van Tracy worden getekend. 

Nu is te zien dat de lijn BD wel evenwijdig loopt aan de x'-as en dus zijn 

B & D wel gelijktijdig

voor Esmay & Jorn.

Hoe ziet Tracy het gebeuren? Als we Tracy in het ruststelsel zetten, bewegen Esmay & Jorn van haar af. De lichtpuls wordt nog steeds vanaf Esmay naar Jorn onder een hoek van 45° gestuurd. 

Voor Tracy is de lijn BD niet evenwijdig aan de x-as, en dus zijn B & D 

niet gelijktijdig 

voor haar.

Gelijktijdigheid in een ruimtetijd-diagram

In het stelsel van Esmay en Jorn zijn de gebeurtenissen B & D gelijktijdig. Alle punten op de horizontale lijn BD vinden in het stelsel van Esmay & Jorn plaats. Gebeurtenissen die gelijktijdig plaatsvinden liggen dus op een lijn evenwijdig aan de ruimte-as.

Stel nu dat we drie waarnemers hebben, waarvan Esmay & Jorn stil staan en Tracy naar links beweegt. Dat is te vertalen naar het ruimtetijd-diagram rechts.

Daarin stuurt Esmay een lichtpuls naar Jorn (A) en die stuurt na ontvangst (B) een lichtpuls naar Esmay terug (C). 

Gelijktijdigheid in een ruimtetijd-diagram

Maken van D3 Ruimtetijd-diagram:

opgaven 6 t/m 10

Maken van D2 Gelijktijdigheid:

opgaven 11 t/m 13 & 15

Opgaven

Wereldbeeld

In het heelal draaien objecten vaak in cirkelbanen om elkaar heen. De formules die in dit hoofdstuk volgen kunnen goed gebruikt worden om objecten in het heelal beter te begrijpen. Een bekend voorbeeld is het bewegen van de aarde om de zon. De aarde maakt namelijk nagenoeg een cirkelvormige baan om de zon. 

Het werd niet altijd geloofd dat de aarde om de zon draait. Er werd geloofd dat de aarde zich in het centrum van het heelal bevond en dat alle hemellichamen om dit centrum heen draaide. Dit wordt het geocentrische wereldbeeld genoemd (zie afbeelding links). In de 16de eeuw vond Copernicus voor het eerst bewijs dat de aarde om de zon heen draait. Dit wordt het heliocentrische wereldbeeld genoemd (zie afbeelding onder). 

Opgaven

Opgave 1

Copernicus kwam als eerste met bewijs voor het heliocentrische model.

a. Wat is het heliocentrische model?

b. Welk bewijs vond hij? Gebruik in je antwoord in ieder geval het woord retrograde beweging.

Opgave 2

Galileo vond tevens een bewijs dat het geocentrische model verwierp. Welk bewijs vond hij en waarom verwierp dit het geocentrische model?

Opgave 3

Toen men nog geloofde dat de aarde niet om zijn eigen as draait, moest men aannemen dat de sterren elke 24 uur een rondje om de aarde maakten. Leg uit waarom men dit dacht.

Opgave 4

De maan draait in iets meer dan 27 dagen in een baan om de aarde.

a. Leg uit wanneer zons- en maansverduisteringen plaatsvinden tijdens deze beweging.

b. Leg uit waarom niet elke 27 dagen een zons- of maansverduistering plaatsvindt.

c. Leg uit of er in de middag een volle maan zichtbaar kan zijn.

Opgaven

Opgave 1

Copernicus kwam als eerste met bewijs voor het heliocentrische model.

a. Wat is het heliocentrische model?

b. Welk bewijs vond hij? Gebruik in je antwoord in ieder geval het woord retrograde beweging.

Opgave 2

Galileo vond tevens een bewijs dat het geocentrische model verwierp. Welk bewijs vond hij en waarom verwierp dit het geocentrische model?

Opgave 3

Toen men nog geloofde dat de aarde niet om zijn eigen as draait, moest men aannemen dat de sterren elke 24 uur een rondje om de aarde maakten. Leg uit waarom men dit dacht.

Opgave 4

De maan draait in iets meer dan 27 dagen in een baan om de aarde.

a. Leg uit wanneer zons- en maansverduisteringen plaatsvinden tijdens deze beweging.

b. Leg uit waarom niet elke 27 dagen een zons- of maansverduistering plaatsvindt.

c. Leg uit of er in de middag een volle maan zichtbaar kan zijn.