Hoofdstuk 6: dynamische modellen

Discrete Dynamische Modellen
1 / 35
volgende
Slide 1: Tekstslide
WiskundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 5

In deze les zitten 35 slides, met tekstslides.

time-iconLesduur is: 60 min

Onderdelen in deze les

Discrete Dynamische Modellen

Slide 1 - Tekstslide

Webgrafieken

Slide 2 - Tekstslide

met
1. Bereken U0 t/m U5
2. Maak een assenstelsel waarbij je op beide assen U0 t/m U5 uitzet.
3. Teken de volgende punten in je assenstelsel:
(U0, U1), (U1, U2), (U2, U3), etc. 
4. Welke formule hoort er bij de lijn waar deze punten op liggen?

Un=2Un1+1
U0=1

Slide 3 - Tekstslide

Webgrafieken


Mét y = x, zonder rekenwerk

Slide 4 - Tekstslide

Dekpunt 

x- coördinaat van het snijpunt van y = ax + b en y = x


Slide 5 - Tekstslide

Slide 6 - Tekstslide

GR 
2nd - zoom (format) - Web

Formule invoeren

Trace - pijltjes - tadaa :-)

Slide 7 - Tekstslide

Aan de slag

Maak zelf 9, 10, 11, 12, 13

Slide 8 - Tekstslide

Directe formules 

Slide 9 - Tekstslide

Even ophalen
Bij de recursieve formule                                             (U0, U1), (U1, U2) etc. in een assenstelsel zetten gaf welke lijn? 

Een directe formule bij                                                met                        geeft (met gewoon 'U' en 'n' op de assen):




Un=2Un1+1
Un=Un11,08
U0=100

Slide 10 - Tekstslide

Stapje moeilijker
                                                   met

De directe formule hiervoor heeft de vorm 
Met       het dekpunt en A een constante.





Un=Un11,08+500
U0=100
un=Aan+ u
u

Slide 11 - Tekstslide

Bewijs
De recursieve formule is 
De directe formule heeft dan de vorm 
Dit geeft 
Substitueren geeft: 

Dus 
Dit volgt ook uit de recursieve formule, dus de formule is correct
un=aun1+b
un=Aan+u
un1=Aan1+u
Aan+u=a(Aan1+u)+b
Aan+u=Aan+au+b
u=au+b

Slide 12 - Tekstslide

Praktischer
                                                   met

Stap 1: bereken het dekpunt met 1,08ū + 500 = ū

Stap 2: vul ū, U0, n en a in, in de standaard directe formule: 

Stap 3: bereken A en geef de formule





Un=Un11,08+500
U0=100
un=Aan+ u

Slide 13 - Tekstslide

Uitgewerkt
                                                   met

1,08ū+500 = ū dus 0,08ū = -500 dus ū = - 6250


A = 6350





Un=Un11,08+500
U0=100
100=A1,0806250
100=A6250
un=63501,08n6250

Slide 14 - Tekstslide

Aan de slag

20, 21, 22, 23

Slide 15 - Tekstslide

Differentievergelijkingen bij logistische groei

Slide 16 - Tekstslide

Stel de recursieve formule op

Een populatie van 4000 herten neemt jaarlijks met 5% toe. 

Slide 17 - Tekstslide

Even opsplitsen


0,05 (de jaarlijkse toename) noemen we ook wel de groeivoet.

Is het reëel om te denken dat de populatie herten altijd blijft groeien?
Un=Un1+0,05Un1

Slide 18 - Tekstslide

Remfactor
- Heeft alleen invloed op de groeivoet

- Wordt sterker naarmate de populatie een bepaalde grenswaarde benadert

Slide 19 - Tekstslide

Logistische groei:



G = grenswaarde
Un=Un1+0,05Un1(1GUn1)

Slide 20 - Tekstslide

Aan de slag

25 , 26, 30

Slide 21 - Tekstslide

Webgrafieken bij logistische groei

Slide 22 - Tekstslide

Herhaling webgrafieken
Hoe tekende ik ook alweer een webgrafiek bij
met

Hoe berekende ik ook alweer het dekpunt?

Wanneer is er sprake van een grenswaarde?

Un=2Un1+1
U0=1

Slide 23 - Tekstslide

Webgrafieken bij logistische groei


Welke formule hoort er bij de punten (P0, P1), (P1, P2) enz.?

Hoe zou je hier een webgrafiek bij kunnen tekenen?

Hoe vind je het dekpunt van deze webgrafiek?
Pt=Pt1+0,5Pt1(120Pt1)

Slide 24 - Tekstslide

Aan de slag

34, 35a, 37

Slide 25 - Tekstslide

Prooi-roofdiermodellen

Slide 26 - Tekstslide

Gedachte-experiment
In een gebied leven prooidieren (hazen) en roofdieren (lynxen).

 Als je alle andere factoren buiten beschouwing laat, hoe zou de populatie van beide groepen zich in de tijd ontwikkelen denk je?

Slide 27 - Tekstslide

Een voorbeeld
We bekijken een situatie waarbij er in het begin 700 prooidieren zijn en 200 roofdieren. De formules voor beide groepen zijn:




x min = 0, x max = 250, y min = 0, y max = 2250
Pt=1,25Pt10,0015Rt1Pt1
Rt=0,97Rt1+0,00004Pt1Rt1

Slide 28 - Tekstslide

Rekenen met prooi-roofdiermodellen
       en         geven de evenwichtsstanden aan. 



Bereken         en 
P
R
P=1,25P0,0015RP
R=0,97R+0,00004PR
P
R

Slide 29 - Tekstslide

Aan de slag

Maak hierbij opdracht 39, 42

Slide 30 - Tekstslide

Griepepidemie

Slide 31 - Tekstslide

Griepepidemie
G = gezond

Z = ziek

I = Immuun

Gaat uit van een gesloten systeem (G + Z + I = N)

Slide 32 - Tekstslide

Model van een griepepidemie
In een dorp met 2000 inwoners geldt 




Kun je in woorden toelichten wat hier gebeurt?



Slide 33 - Tekstslide

Aan de slag

Maak hierbij opdracht 48, 49

Slide 34 - Tekstslide

Slide 35 - Tekstslide