Hoofdstuk 6: dynamische modellen

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Discrete Dynamische Modellen

Webgrafieken

met

1. Bereken U0 t/m U5

2. Maak een assenstelsel waarbij je op beide assen U0 t/m U5 uitzet.

3. Teken de volgende punten in je assenstelsel:

(U0, U1), (U1, U2), (U2, U3), etc. 

4. Welke formule hoort er bij de lijn waar deze punten op liggen?

U​n​​=2U​n−1​​+1

U​0​​=1

Webgrafieken

Mét y = x, zonder rekenwerk

Dekpunt 

x- coördinaat van het snijpunt van y = ax + b en y = x

GR 

2nd - zoom (format) - Web

Formule invoeren

Trace - pijltjes - tadaa :-)

Aan de slag

Maak zelf 9, 10, 11, 12, 13

Directe formules 

Even ophalen

Bij de recursieve formule                                             (U0, U1), (U1, U2) etc. in een assenstelsel zetten gaf welke lijn? 

Een directe formule bij                                                met                        geeft (met gewoon 'U' en 'n' op de assen):

U​n​​=2U​n−1​​+1

U​n​​=U​n−1​​⋅1,08

U​0​​=100

Stapje moeilijker

                                                   met

De directe formule hiervoor heeft de vorm 

Met       het dekpunt en A een constante.

U​n​​=U​n−1​​⋅1,08+500

U​0​​=100

u​n​​=A⋅a​n​​+ ​u​​​

​u​​​

Bewijs

De recursieve formule is 

De directe formule heeft dan de vorm 

Dit geeft 

Substitueren geeft: 

Dus 

Dit volgt ook uit de recursieve formule, dus de formule is correct

u​n​​=a⋅u​n−1​​+b

u​n​​=A⋅a​n​​+​u​​​

u​n−1​​=A⋅a​n−1​​+​u​​​

A⋅a​n​​+​u​​​=a⋅(A⋅a​n−1​​+​u​​​)+b

A⋅a​n​​+​u​​​=A⋅a​n​​+a⋅​u​​​+b

​u​​​=a⋅​u​​​+b

Praktischer

                                                   met

Stap 1: bereken het dekpunt met 1,08ū + 500 = ū

Stap 2: vul ū, U0, n en a in, in de standaard directe formule: 

Stap 3: bereken A en geef de formule

U​n​​=U​n−1​​⋅1,08+500

U​0​​=100

u​n​​=A⋅a​n​​+ ​u​​​

Uitgewerkt

                                                   met

1,08ū+500 = ū dus 0,08ū = -500 dus ū = - 6250

A = 6350

U​n​​=U​n−1​​⋅1,08+500

U​0​​=100

100=A⋅1,08​0​​−6250

100=A−6250

u​n​​=6350⋅1,08​n​​−6250

Aan de slag

20, 21, 22, 23

Differentievergelijkingen bij logistische groei

Stel de recursieve formule op

Een populatie van 4000 herten neemt jaarlijks met 5% toe. 

Even opsplitsen

0,05 (de jaarlijkse toename) noemen we ook wel de groeivoet.

Is het reëel om te denken dat de populatie herten altijd blijft groeien?

U​n​​=U​n−1​​+0,05U​n−1​​

Remfactor

- Heeft alleen invloed op de groeivoet

- Wordt sterker naarmate de populatie een bepaalde grenswaarde benadert

Logistische groei:

G = grenswaarde

U​n​​=U​n−1​​+0,05U​n−1​​⋅(1−​G​​U​n−1​​​​)

Aan de slag

25 , 26, 30

Webgrafieken bij logistische groei

Herhaling webgrafieken

Hoe tekende ik ook alweer een webgrafiek bij

met

Hoe berekende ik ook alweer het dekpunt?

Wanneer is er sprake van een grenswaarde?

U​n​​=2U​n−1​​+1

U​0​​=1

Webgrafieken bij logistische groei

Welke formule hoort er bij de punten (P0, P1), (P1, P2) enz.?

Hoe zou je hier een webgrafiek bij kunnen tekenen?

Hoe vind je het dekpunt van deze webgrafiek?

P​t​​=P​t−1​​+0,5P​t−1​​⋅(1−​20​​P​t−1​​​​)

Aan de slag

34, 35a, 37

Prooi-roofdiermodellen

Gedachte-experiment

In een gebied leven prooidieren (hazen) en roofdieren (lynxen).

 Als je alle andere factoren buiten beschouwing laat, hoe zou de populatie van beide groepen zich in de tijd ontwikkelen denk je?

Een voorbeeld

We bekijken een situatie waarbij er in het begin 700 prooidieren zijn en 200 roofdieren. De formules voor beide groepen zijn:

x min = 0, x max = 250, y min = 0, y max = 2250

P​t​​=1,25P​t−1​​−0,0015R​t−1​​P​t−1​​

R​t​​=0,97R​t−1​​+0,00004P​t−1​​R​t−1​​

Rekenen met prooi-roofdiermodellen

       en         geven de evenwichtsstanden aan. 

Bereken         en 

​P​​​

​R​​​

​P​​​=1,25​P​​​−0,0015​R​​​⋅​P​​​

​R​​​=0,97​R​​​+0,00004​P​​​⋅​R​​​

​P​​​

​R​​​

Aan de slag

Maak hierbij opdracht 39, 42