MCAWIS lj 3h dt 1 les 8

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 3

Vandaag

Start van de les

Herhaling

Werktijd

Afsluiting van de les

Exponentiële formule

De standaardformule die hoort bij exponentiële groei is:

b is het begingetal

g is de groeifactor

t is de tijd

B=b⋅g​t​​

Tabellen

Als je in een tabel iedere keer met dezelfde factor moet vermenigvuldigen om de volgende uitkomst te krijgen, is er sprake van exponentiele groei.

De factor waarmee je vermenigvuldigt is de groeifactor.

                                                                                        de groeifactor is 1,5

De factor bij procenten

Als iets met een aantal procenten toe- of afneemt kan je het beginaantal vermenigvuldigen met een factor. 

De factor: 

​100​​100+of−procentverandering​​

De factor bij procenten

Als een hoeveelheid meerdere keren procentueel verandert,  kan je dat uitrekenen door de factoren met elkaar te vermenigvuldigen. 

Een hoeveelheid neemt eerst met 18% toe, daarna met 5% af. Met hoeveel % verandert de hoeveelheid? 

                                   

de hoeveelheid neemt  12,1 % toe. 

  

1,18⋅0,95=1,121

1,121⋅100=112,1

112,1−100=12,1

De factor bij procenten

De groeifactor: 

​100​​104​​=1,04

Je krijgt per jaar 4% rente

Dan heb je na een jaar 104%

De groeifactor is:

​100​​94​​=0,94

Het aantal haaien neemt met 6% per jaar af

Na een jaar is er nog 94% over

De groeifactor is:

​100​​100+of−procentverandering​​

Exponentiële formule

De standaardformule die hoort bij exponentiële groei is:

uitkomst=begingetal⋅groeifactor​tijd​​

B=b⋅g​t​​

Exponentiële formule

Je zet €453 op de bank, je krijgt 4% rente. 

Hoeveel heb je na 10 jaar?

 

uitkomst=begingetal⋅groeifactor​tijd​​

Exponentiële formule

Je zet €453 op de bank, je krijgt 4% rente. 

Hoeveel heb je na 10 jaar?

begingetal = 453

groeifactor =

tijd = 10 

Na 10 jaar heb je € 670,55 op je rekening staan. 

uitkomst=begingetal⋅groeifactor​tijd​​

​100​​104​​=1,04

uitkomst=453⋅1,04​10​​=670,55

Exponentiële formule

Er zijn nog 2250 panda's, ieder jaar neemt dat aantal met 6% af.

Hoeveel panda's zijn er nog na 15 jaar? 

uitkomst=begingetal⋅groeifactor​tijd​​

Exponentiële formule

Er zijn nog 2250 panda's, ieder jaar neemt dat aantal met 6% af.

Hoeveel panda's zijn er nog na 15 jaar? 

begingetal = 2250

groeifactor =

tijd = 15 

Na 15 jaar zijn er nog 889 panda's

uitkomst=begingetal⋅groeifactor​tijd​​

​100​​94​​=0,94

uitkomst=2250⋅0,94​15​​=889,41

Standaardvorm of 

wetenschappelijke notatie

Manier om grote en kleine getallen meer overzichtelijk op te schrijven.

Grote getallen

Duizend     1 000

Miljoen       1 000 000    

Miljard        1 000 000 000

Biljoen        1 000 000 000 000

Biljard         1 000 000 000 000 000 

10​3​​

10​6​​

10​9​​

10​12​​

10​15​​

Grote getallen in de wetenschappelijke notatie

1 duizend = 1000 =

1760 = 1,76 x 1000 =

 13 245 864 = 1,32 x 10 000 000 =

 

1,0⋅10​3​​

1,76⋅10​3​​

1,32⋅10​7​​

Kleine getallen

Duizendste    0,001

Miljoenste      0,000 001

Miljardste       0,000 000 001

10​−3​​

10​−6​​

10​−9​​

Kleine getallen in de wetenschappelijke notatie

1 duizendste =               = 0,001 = 

0 , 000 007 65 = 

​1000​​1​​

10​−3​​

7,65⋅10​−6​​

Kwadratische verbanden

Na deze les kan je...

...eigenschappen en vormen van een parabool herkennen,

 ...de coördinaten van de top van een parabool op meerdere manieren berekenen 

...een parabool tekenen

Weet je nog? Haakjes wegwerken

  

4(x+5)=4x+20

4(x−5)=4x−20

−4(x−5)=−4x+20

Weet je nog? Ontbinden in factoren 

  

3w​2​​+6w=3w(w+2)

2x+6=2(x+3)

Weet je nog? Dubbele haakjes wegwerken

  

x​2​​−5x+3x−15

(x+3)(x−5)

x​2​​−2x−15

Weet je nog? som-product methode

de som van 4 en 5 is 9 (4 + 5 = 9)

het product van 4 en 5 is 20 (4 x 5 = 20)

  

(x+4)(x+5)

x​2​​+9x+20

Weet je nog? som-product methode

de som van -2 en 8 is  6 (-2 + 8 = 6)

het product van -2 en 8 is -16 (-2 x 8 = -16)

  

(x−2)(x+8)

x​2​​+6x−16

Weet je nog? 

           

  

x​2​​=9

x​2​​=−9

x=3

heeft geen oplossing (g.o.)

x=√​9​​​

of

x=−3

Weet je nog?

  

51+x​2​​=100

x​2​​=100−51=49

x=√​49​​​

x=7

of

x=−7

Weet je nog? tweetermen oplossen

  

x(x+6)=0

x​2​​+6x=0

x=0

x=0

of

of

x+6=0

x=−6

Weet je nog? tweetermen oplossen

  

7b(b−3)=0

7b​2​​−21b=0

7b=0

b=0

of

of

b−3=0

b=3

Weet je nog? eerst naar 0 herleiden, dan oplossen

  

5x​2​​−25x=0

5x​2​​=25x

5x=0

5x(x−5)=0

x=0

of

of

x−5=0

x=5

Weet je nog? drietermen oplossen

  

(x−2)(x+8)=0

x​2​​+6x−16=0

x=2

x−2=0

of

of

x+8=0

x=−8

Weet je nog? drietermen oplossen

  

−2x​2​​+10x−8=0

10x−8=2x​2​​

x​2​​−5x+4=0

x=4

(x−4)(x−1)=0

x−4=0

x−1=0

x=1

of

of

Belangrijk:

• zet de formule in de juiste volgorde
• op '0' herleiden
• alles delen door de waarde voor x2

  

Een parabool

De grafiek bij een kwadratische formule is een parabool: 

als a > 0 dalparabool

als a < 0 bergparabool

Een parabool is altijd symmetrisch, de top ligt op de symmetrieas

 

y=ax​2​​+bx+c

Top van de parabool

snijpunten met de x-as berekenen

Top berekenen (snijpunten x-as)

Als er snijpunten met de x-as zijn, ligt de x coördinaat in het midden, op de symmetrieas. 

Je vindt de snijpunten op de x-as door de vergelijking op te lossen die eindigt op = 0

Top berekenen (snijpunten x-as)

x​2​​+4x−5=0

(x−1)(x+5)=0

x−1=0

x=1

symmetrieas:​2​​−5+1​​=−2

(−2)​2​​+4⋅−2−5=−9

Top(-2,-9)

y=x​2​​+4x−5

bereken de top: 

x+5=0

x=−5

of

of

Top berekenen (snijpunten x-as)

bereken de top: 

y=x​2​​+12x+20

Top berekenen (snijpunten x-as)

bereken de top: 

y=x​2​​+12x+20

x​2​​+12x+20=0

(x+10)(x+2)=0

x+10=0

x=−10

symmetrieas:​2​​−10+−2​​=−6

(−6)​2​​+12⋅−6+20=−16

Top(−6,−16)

x+2=0

x=−2

of

of

Parabool tekenen

1. Bereken de coördinaten van de top
2. Maak een tabel met 7 punten met de top in het midden
   (maak voor het invullen gebruik van symmetrie) 
3. Maak een assenstelsel met een goede verdeling op de assen 
4. Teken de punten in het assenstelsel en maak een vloeiende parabool

Vormen van een parabool

Standaardformule: 

a > 0 dalparabool 

hoe groter a is, hoe steiler de grafiek 

a < 0 bergparabool

hoe kleiner a is, hoe steiler de grafiek 

 

y=ax​2​​+bx+c

Vormen van een parabool

Standaardformule: 

b geeft de verschuiving over de x richting aan, 

bij b = 0 ligt de top op de y-as

c geeft de hoogte van de top aan, 

c = het snijpunt met de y-as

 

y=ax​2​​+bx+c

Drie verschillende vormen

Kwadratische formules kun je in verschillende vormen tegenkomen.

De standaardvorm van de kwadratische formule is:

y=ax​2​​+bx+c

Andere vorm

Deze formule kun je herschrijven naar de standaardvorm:

Voorbeeld:

Eerst de haakjes weg:

Tussen haakjes korter:

Vermenigvuldigen met

cijfer voor de haakjes:

y=a(x−s)(x−t)

y=3(x+2)(x−3)

y=3(x​2​​−3x+2x−6)

y=3(x​2​​−x−6)

y=3x​2​​−3x−18

Andere vorm

Je kunt heel snel de snijpunten met de x-as afleiden:

Dat is:                 en                 

Je vult bij s en t de tegengestelde waarde in.

Voorbeeld:

                                                    , coördinaten zijn (-2,0) en (3,0)

y=a(x−s)(x−t)

(s,0)

(t,0)

y=3(x+2)(x−3)

Andere vorm

Deze formule kun je herschrijven naar de standaardvorm:

Voorbeeld:

Eerst kwadraat weg:

Haakjes weg:

x met cijfer voor de haakjes:

Laatste waarde optellen:

y=a(x−p)​2​​−q

y=3(x+4)​2​​+2

y=3(x​​​+4)(x+4)+2

y=3(x​2​​+8x+16)+2

y=3x​2​​+24x+48+2

y=3x​2​​+24x+50

Andere vorm

Je kunt heel snel de coördinaten van de top afleiden:

Dat is:                             

Je vult bij p  de tegengestelde waarde in, bij q niet

Voorbeeld:

                                                    , coördinaten van de top (-4,2)

(p,q)

y=a(x−p)​2​​−q

y=3(x+4)​2​​+2

Werktijd

Zorg dat alle opdrachten af zijn, nagekeken en bij mij afgetekend.