Kwantummechanica - Deeltje in een doos

Kwantummechanica

Deeltje in een doos

1 / 32

Slide 1: Tekstslide

NatuurkundeMiddelbare schoolhavo, vwoLeerjaar 5,6

In deze les zitten 32 slides, met tekstslides.

Lesduur is: 45 min

Onderdelen in deze les

Kwantummechanica

Deeltje in een doos

Slide 1 - Tekstslide

Hoofdstuk Kwantummechanica

Kwantummechanica - Deeltje in een doos

Kwantummechanica - Deeltjesverschijnselen

Kwantummechanica - Golfverschijnselen

Kwantummechanica - Het atoommodel

Kwantummechanica - Onzekerheid

Kwantummechanica - Tunneling

Slide 2 - Tekstslide

Leerdoelen

Aan het eind van de les kun je...

...

Slide 3 - Tekstslide

Beschouw een deeltje in een doos (afgesloten ruimte)

Het simpelste kwantumsysteem

Slide 4 - Tekstslide

Beschouw een deeltje in een doos (afgesloten ruimte)

Als de doos groot is ten opzichte van de kansgolf van het deeltjes, dan zal de kansgolf zich als een deeltje gedragen. De kansgolf zal dan heen en weer botsen in het doosje alsof het een deeltje is

Het simpelste kwantumsysteem

Slide 5 - Tekstslide

Als de doos echter klein is ten opzichte van de kansgolf, dan beginnen we golfverschijnselen te merken.

Het simpelste kwantumsysteem

Slide 6 - Tekstslide

Als de doos echter klein is ten opzichte van de kansgolf, dan beginnen we golfverschijnselen te merken.

Golf reflecteert tegen de wanden

Het simpelste kwantumsysteem

Slide 7 - Tekstslide

Als de doos echter klein is ten opzichte van de kansgolf, dan beginnen we golfverschijnselen te merken.

Golf reflecteert tegen de wanden → interfereert met zichzelf

Het simpelste kwantumsysteem

Slide 8 - Tekstslide

Als de doos echter klein is ten opzichte van de kansgolf, dan beginnen we golfverschijnselen te merken.

Golf reflecteert tegen de wanden → interfereert met zichzelf

→ staande golf met knopen en buiken

Het simpelste kwantumsysteem

Slide 9 - Tekstslide

Als de doos echter klein is ten opzichte van de kansgolf, dan beginnen we golfverschijnselen te merken.

Golf reflecteert tegen de wanden → interfereert met zichzelf

→ staande golf met knopen en buiken

Het simpelste kwantumsysteem

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} λ n

Slide 10 - Tekstslide

Als de doos echter klein is ten opzichte van de kansgolf, dan beginnen we golfverschijnselen te merken.

Golf reflecteert tegen de wanden → interfereert met zichzelf

→ staande golf met knopen en buiken

Met natuurlijk:

n = 1 voor de grondtoestand

n = 2 of hoger de aangeslagen toestanden

Het simpelste kwantumsysteem

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} λ n

Slide 11 - Tekstslide

Hieronder een aantal toestanden van een deeltje in de doos

Hoe groter de amplitude van de kansgolf, hoe meer kans dat je het deeltje daar zal aantreffen

Het simpelste kwantumsysteem

Slide 12 - Tekstslide

Om de energie van een kwantumdeeltje in een doos af te leiden, wordt gebruik gemaakt van de volgende formules:

De energie van het simpelste kwantumsysteem

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} λ n

λ = \frac{​ h ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​}

Slide 13 - Tekstslide

Om de energie van een kwantumdeeltje in een doos af te leiden, wordt gebruik gemaakt van de volgende formules:

{

De energie van het simpelste kwantumsysteem

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} λ n

λ = \frac{​ h ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​}

Slide 14 - Tekstslide

Om de energie van een kwantumdeeltje in een doos af te leiden, wordt gebruik gemaakt van de volgende formules:

{

De energie van het simpelste kwantumsysteem

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} λ n

λ = \frac{​ h ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​}

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​} n

Slide 15 - Tekstslide

Om de energie van een kwantumdeeltje in een doos af te leiden, wordt gebruik gemaakt van de volgende formules:

{

De energie van het simpelste kwantumsysteem

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} λ n

λ = \frac{​ h ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​}

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​} n

\to L = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m v ​}

Slide 16 - Tekstslide

Om de energie van een kwantumdeeltje in een doos af te leiden, wordt gebruik gemaakt van de volgende formules:

{

De energie van het simpelste kwantumsysteem

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} λ n

λ = \frac{​ h ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​}

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​} n

\to L = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m v ​}

\to v = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m L ​}

Slide 17 - Tekstslide

Om de energie van een kwantumdeeltje in een doos af te leiden, wordt gebruik gemaakt van de volgende formules:

{

De energie van het simpelste kwantumsysteem

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} λ n

λ = \frac{​ h ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​}

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​} n

\to L = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m v ​}

\to v = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m L ​}

→

}

Slide 18 - Tekstslide

Om de energie van een kwantumdeeltje in een doos af te leiden, wordt gebruik gemaakt van de volgende formules:

{

De energie van het simpelste kwantumsysteem

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} λ n

λ = \frac{​ h ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​}

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​} n

\to L = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m v ​}

\to v = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m L ​}

E^{​ k i n ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m v^{​ 2 ​ ​}

→

}

Slide 19 - Tekstslide

Om de energie van een kwantumdeeltje in een doos af te leiden, wordt gebruik gemaakt van de volgende formules:

{

De energie van het simpelste kwantumsysteem

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} λ n

λ = \frac{​ h ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​}

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​} n

\to L = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m v ​}

\to v = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m L ​}

E^{​ k i n ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m v^{​ 2 ​ ​}

→

E^{​ k i n ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m (\frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m L ​})^{​ 2 ​ ​}

}

Slide 20 - Tekstslide

Om de energie van een kwantumdeeltje in een doos af te leiden, wordt gebruik gemaakt van de volgende formules:

{

De energie van het simpelste kwantumsysteem

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} λ n

λ = \frac{​ h ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​}

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​} n

\to L = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m v ​}

\to v = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m L ​}

E^{​ k i n ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m v^{​ 2 ​ ​}

→

E^{​ k i n ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m (\frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m L ​})^{​ 2 ​ ​}

E^{​ k i n ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m \frac{​ h ^{​ 2 ​ ​} n ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 2 ^{​ 2 ​ ​} m ^{​ 2 ​ ​} L ^{​ 2 ​ ​} ​}

}

Slide 21 - Tekstslide

Om de energie van een kwantumdeeltje in een doos af te leiden, wordt gebruik gemaakt van de volgende formules:

{

De energie van het simpelste kwantumsysteem

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} λ n

λ = \frac{​ h ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​}

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​} n

\to L = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m v ​}

\to v = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m L ​}

E^{​ k i n ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m v^{​ 2 ​ ​}

→

E^{​ k i n ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m (\frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m L ​})^{​ 2 ​ ​}

E^{​ k i n ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m \frac{​ h ^{​ 2 ​ ​} n ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 2 ^{​ 2 ​ ​} m ^{​ 2 ​ ​} L ^{​ 2 ​ ​} ​}

E^{​ n ​ ​} = \frac{​ h ^{​ 2 ​ ​} n ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 8 m L ^{​ 2 ​ ​} ​}

}

Slide 22 - Tekstslide

Om de energie van een kwantumdeeltje in een doos af te leiden, wordt gebruik gemaakt van de volgende formules:

{

De energie van het simpelste kwantumsysteem

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} λ n

λ = \frac{​ h ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​}

L = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​} n

\to L = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m v ​}

\to v = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m L ​}

E^{​ k i n ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m v^{​ 2 ​ ​}

→

E^{​ k i n ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m (\frac{​ h n ​ ​}{​ 2 m L ​})^{​ 2 ​ ​}

E^{​ k i n ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m \frac{​ h ^{​ 2 ​ ​} n ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 2 ^{​ 2 ​ ​} m ^{​ 2 ​ ​} L ^{​ 2 ​ ​} ​}

E^{​ n ​ ​} = \frac{​ h ^{​ 2 ​ ​} n ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 8 m L ^{​ 2 ​ ​} ​}

}

Slide 23 - Tekstslide

Het elektron in het doosje kan niet zomaar elke kinetische energie en dus niet elke snelheid kan aannemen

Alleen de waarden die overeenkomen met de staande golven zijn mogelijk.

De energie is gekwantiseerd (heeft een vaste hoeveelheid).

Zelfs in grondtoestand heeft het deeltje nog energie → nulpuntsenergie

Consequenties

E^{​ n ​ ​} = \frac{​ h ^{​ 2 ​ ​} n ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 8 m L ^{​ 2 ​ ​} ​}

Slide 24 - Tekstslide

Antwoord:

q = e, het elementair ladingsquantum

In deze opdracht gaan we afleiden op welke afstanden de schillen zich bevinden in het waterstofatoom.

a. Voor het elektron in zijn baan om het proton in het waterstofatoom geldt:

Opdracht 3a van WS

F^{​ e l e k ​ ​} = F^{​ m p z ​ ​}

\frac{​ f q ^{​ 1 ​ ​} q ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ^{​ 2 ​ ​} ​} = \frac{​ m v ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​}

\to \frac{​ f q ^{​ 1 ​ ​} q ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​} = m v^{​ 2 ​ ​}

\to \frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​} = m v^{​ 2 ​ ​}

\frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​} = m v^{​ 2 ​ ​}

Slide 25 - Tekstslide

Antwoord:

Er past telkens een heel aantal golven in een schil. De omtrek van de schil is gelijk aan de

omtrek van een cirkel. Er geldt dus:

Als we dit combineren met , dan vinden we:

Als we dit omschrijven, dan vinden we:

b. Niels Bohr stelde het elektron in waterstof voor als een golf die rond het proton draaide (zie de onderstaande afbeelding).

Hij leidde hiermee af dat de snelheid van het elektron in de nde schil gelijk is aan:

Er geldt hier dat ℏ gelijk is aan .

Leid deze formule af.

Opdracht 3b van WS

2 π r = n λ

v^{​ n ​ ​} = \frac{​ n ℏ ​ ​}{​ m r ​}

ℏ = \frac{​ h ​ ​}{​ 2 π ​}

λ = \frac{​ h ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​}

(λ =) \frac{​ h ​ ​}{​ m v ​} = \frac{​ 2 π r ​ ​}{​ n ​}

h n = 2 π r m v

\to v = \frac{​ h n ​ ​}{​ 2 π m r ​}

\to v = \frac{​ h ​ ​}{​ 2 π ​} \frac{​ n ​ ​}{​ m r ​} = \frac{​ ℏ n ​ ​}{​ m r ​}

Slide 26 - Tekstslide

Antwoord:

Van vraag a hebben we:

Als we dit combineren met , dan vinden we:

voor n = 1:

c. Laat nu zien dat:

waarin:

Opdracht 3c van WS

r^{​ n ​ ​} = n^{​ 2 ​ ​} r^{​ 1 ​ 2 ​ ​}

r^{​ 1 ​ ​} = \frac{​ ℏ ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ f m e ^{​ 2 ​ ​} ​}

\frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​} = m v^{​ 2 ​ ​}

v^{​ n ​ ​} = \frac{​ n ℏ ​ ​}{​ m r ​}

\frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​} = m (\frac{​ n ℏ ​ ​}{​ m r ​})^{​ 2 ​ ​}

\to \frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​} = \frac{​ m n ^{​ 2 ​ ​} ℏ ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ m ^{​ 2 ​ ​} r ^{​ 2 ​ ​} ​}

\to f e^{​ 2 ​ ​} = \frac{​ n ^{​ 2 ​ ​} ℏ ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ m r ​}

\to r = \frac{​ n ^{​ 2 ​ ​} ℏ ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ f m e ^{​ 2 ​ ​} ​}

r^{​ 1 ​ ​} = \frac{​ ℏ ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ f m e ^{​ 2 ​ ​} ​}

\to f e^{​ 2 ​ ​} m r = n^{​ 2 ​ ​} ℏ^{​ 2 ​ ​}

Slide 27 - Tekstslide

Antwoord:

Met vinden we:

Met vinden we dan:

d. We gaan nu naar de energie van het elektron in het waterstofatoom kijken. Er geldt:

De eerste term is de bekende kinetische energie van het elektron en de tweede term de elektrische energie van het elektron.

Laat hiermee zien dat:

Opdracht 3d van WS

E^{​ t o t ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m v^{​ 2 ​ ​} - \frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​}

E^{​ n ​ ​} = - \frac{​ 1 ​ ​}{​ n ^{​ 2 ​ ​} ​} (\frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 2 r ^{​ 1 ​ ​} ​})

E^{​ t o t ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m v^{​ 2 ​ ​} - \frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​}

\frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​} = m v^{​ 2 ​ ​}

E^{​ t o t ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​} - \frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​} = - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​}

E^{​ t o t ​ ​} = - \frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 2 r ​}

r^{​ n ​ ​} = n^{​ 2 ​ ​} r^{​ 1 ​ 2 ​ ​}

E^{​ n ​ ​} = - \frac{​ 1 ​ ​}{​ n ^{​ 2 ​ ​} ​} (\frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 2 r ^{​ 1 ​ ​} ​})

E^{​ t o t ​ ​} = - \frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 2 n ^{​ 2 ​ ​} r ^{​ 1 ​ 2 ​ ​} ​}

Slide 28 - Tekstslide

Antwoord:

Met r₁ als a₀ voor de Bohrradius (BINAS T7)

In elektronvolt (eV)

e. Reken de constante tussen haakjes uit en laat hiermee zien dat deze formule geschreven kan worden als de formule uit de paragraaf:

Met E_n in eV.

Opdracht 3e van WS

E^{​ n ​ ​} = - \frac{​ 1 3 , 6 0 ​ ​}{​ n ^{​ 2 ​ ​} ​}

E^{​ n ​ ​} = - \frac{​ 1 ​ ​}{​ n ^{​ 2 ​ ​} ​} (\frac{​ f e ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 2 r ^{​ 1 ​ ​} ​})

\to E^{​ n ​ ​} = - \frac{​ 1 ​ ​}{​ n ^{​ 2 ​ ​} ​} (\frac{​ 8 , 9 8 7 5 5 \cdot 1 0 ^{​ 9 ​ ​} \cdot ( 1 , 6 0 2 1 \cdot 1 0 ^{​ - 19 ​ ​} ) ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 2 \cdot 5 , 2 9 1 7 7 2 1 0 9 2 \cdot 1 0 ^{​ - 11 ​ ​} ​})

\to E^{​ n ​ ​} = - \frac{​ 2 , 1 7 9 4 \cdot 1 0 ^{​ 18 ​ ​} ​ ​}{​ n ^{​ 2 ​ ​} ​}

\to E^{​ n ​ ​} = - \frac{​ 1 ​ ​}{​ n ^{​ 2 ​ ​} ​} (\frac{​ 2 , 1 7 9 4 \cdot 1 0 ^{​ 18 ​ ​} ​ ​}{​ 1 , 6 0 2 1 \cdot 1 0 ^{​ - 19 ​ ​} ​})

\to E^{​ n ​ ​} = - \frac{​ 1 3 , 6 0 ​ ​}{​ n ^{​ 2 ​ ​} ​}

Slide 29 - Tekstslide

Maken opgaven 1 t/m 7 van WS

Opgaven

Slide 30 - Tekstslide

Opgaven

Opgave 1

Copernicus kwam als eerste met bewijs voor het heliocentrische model.

a. Wat is het heliocentrische model?

b. Welk bewijs vond hij? Gebruik in je antwoord in ieder geval het woord retrograde beweging.

Opgave 2

Galileo vond tevens een bewijs dat het geocentrische model verwierp. Welk bewijs vond hij en waarom verwierp dit het geocentrische model?

Opgave 3

Toen men nog geloofde dat de aarde niet om zijn eigen as draait, moest men aannemen dat de sterren elke 24 uur een rondje om de aarde maakten. Leg uit waarom men dit dacht.

Opgave 4

De maan draait in iets meer dan 27 dagen in een baan om de aarde.

a. Leg uit wanneer zons- en maansverduisteringen plaatsvinden tijdens deze beweging.

b. Leg uit waarom niet elke 27 dagen een zons- of maansverduistering plaatsvindt.

c. Leg uit of er in de middag een volle maan zichtbaar kan zijn.

Slide 31 - Tekstslide

Opgaven

Opgave 1

Copernicus kwam als eerste met bewijs voor het heliocentrische model.

a. Wat is het heliocentrische model?

b. Welk bewijs vond hij? Gebruik in je antwoord in ieder geval het woord retrograde beweging.

Opgave 2

Galileo vond tevens een bewijs dat het geocentrische model verwierp. Welk bewijs vond hij en waarom verwierp dit het geocentrische model?

Opgave 3

Toen men nog geloofde dat de aarde niet om zijn eigen as draait, moest men aannemen dat de sterren elke 24 uur een rondje om de aarde maakten. Leg uit waarom men dit dacht.

Opgave 4

De maan draait in iets meer dan 27 dagen in een baan om de aarde.

a. Leg uit wanneer zons- en maansverduisteringen plaatsvinden tijdens deze beweging.

b. Leg uit waarom niet elke 27 dagen een zons- of maansverduistering plaatsvindt.

c. Leg uit of er in de middag een volle maan zichtbaar kan zijn.

Slide 32 - Tekstslide

Kwantummechanica - Deeltje in een doos

Onderdelen in deze les

Slide 1 - Tekstslide

Slide 2 - Tekstslide

Slide 3 - Tekstslide

Slide 4 - Tekstslide

Slide 5 - Tekstslide

Slide 6 - Tekstslide

Slide 7 - Tekstslide

Slide 8 - Tekstslide

Slide 9 - Tekstslide

Slide 10 - Tekstslide

Slide 11 - Tekstslide

Slide 12 - Tekstslide

Slide 13 - Tekstslide

Slide 14 - Tekstslide

Slide 15 - Tekstslide

Slide 16 - Tekstslide

Slide 17 - Tekstslide

Slide 18 - Tekstslide

Slide 19 - Tekstslide

Slide 20 - Tekstslide

Slide 21 - Tekstslide

Slide 22 - Tekstslide

Slide 23 - Tekstslide

Slide 24 - Tekstslide

Slide 25 - Tekstslide

Slide 26 - Tekstslide

Slide 27 - Tekstslide

Slide 28 - Tekstslide

Slide 29 - Tekstslide

Slide 30 - Tekstslide

Slide 31 - Tekstslide

Slide 32 - Tekstslide

Meer lessen zoals deze