NATFUF_Quantummechanica_2

• Natuurkunde
• HBO
• Studiejaar 3

Fundamentele Natuurkunde

NATFUF04X - voltijd
Gabriele Panarelli
[e-mail]

Lesplan

•             Week 1 + 2: relativiteit
•             Week 3: lesopdrachten relativiteit
•             Week 4+5: kwantummechanica
•             Week 6: lesopdrachten kwantummechanica
•             Week 7: recap + uitloop

Voorkennis activeren

Noem een experimenteel bewijs van het deeltje-gedrag van licht.

Noem een experimenteel bewijs van het licht-gedrag van deeltjes.

Sommige experimenten duiden erop dat licht zich als een golf gedraagt, terwijl andere erop duiden dat het zich gedraagt als een stroom deeltjes. Het lijkt erop dat licht een complexer verschijnsel is dan een eenvoudige golf of een eenvoudige straal deeltjes.

Soms kunnen experimenten verklaard worden door gebruik te maken van de golftheorie, en soms door gebruik te maken van de deeltjestheorie

λ = h / p

Deeltje-golfdualiteit

Complementariteits-principe

Golflengte van De Broglie

Voor licht onder de grensfrequentie worden geen elektronen uitgezonden vanaf het metaaloppervlak.

Leg uit hoe deze waarneming over het foto-elektrisch effect de deeltjestheorie ondersteunt, maar niet de golftheorie van licht.

Compton effect
Een energierijk foton met een golflengte van 3,00.10^-12 m
botst op deze manier met een stilstaand elektron. De hoek
Θ van het foton na de botsing blijkt gelijk te zijn aan 120°.
Leg uit hoe je de energie van foton na botsing zou
berekenen.

Uitleg:

Verstrooid foton na botsing;

E_f  ' = h. c/lambda'

Alles is bekend, behalve E'_f

Controle:

3,00.10^-14 J

Broglie
Je fietst met een snelheid van 36 km/h.
Leg uit waarom jouw golflengte (fiets + persoon) niet gemeten kan worden.

lamda = h/(m.v) = 6,63.10^-34/(100.10) = 6,63 ^-37 m

Dit is veel te klein om te kunnen meten

Waar is de golf?

Wat is zijn golflengte?

Waar is de golf?

Wat is zijn golflengte?

Kenbare golflengte = onkenbare positie

Onkenbare golflengte = kenbare positie

20 golfen opgeteld

60 golfen opgeteld

Onzekerheidsrelatie van Heisenberg

• Er is een grens aan de nauwkeurigheid van bepaalde metingen.

• Deze grens heeft niets te maken met de kwaliteit van instrumenten.

• Het is een grens die inherent is aan de natuur.

Onzekerheidsrelatie van Heisenberg

Onzekerheidsrelatie van Heisenberg: positie-impuls versie

Onzekerheidsrelatie van Heisenberg: energie-tijd versie

Elektron door kleine opening

Maak de volgende opgave met een groepje van 3.

Zorg dat iedereen van het groepje het antwoord goed kan presenteren (spinner).

Een dunne horizontale plaat (in x,y-vlak) heeft een kleine opening met een diameter van 1,0 µm.

Een elektron beweegt in de z-richting en heeft geen snelheidscomponenten in de x-richting en de y-richting (v_x = v_y = 0 m/s).

Dit elektron beweegt door het gat in de horizontale plaat (zonder de plaat te raken).

a) Leg uit waarom op het moment dat het elektron door het gat is gaat het niet zeker meer is dat v_x en v_y  gelijk zijn aan 0 m/s.

b) Kan je (a) gebruiken om de diffractie van deeltjes bij een enkele spleet de verklaren?

Tekening van situatie maken.

a) Als het elektron door het gat gaat, is de onzekerheid in x en y positie (delta x en delta y) kleiner geworden (het is immers door het gat gegaan).

Dan moet volgens Heisenberg de onbepaaldheid in impuls (en dus de snelheid) groter zijn geworden.

Binnen grenzen kan elektron dus een (kleine) v_x en v_y component hebben.

b) Beschouw elektron in midden opening. Delta x gaat dan van midden naar rand opening; delta x = 1/2 diameter (tekening)

delta p_x . delta h groter gelijk h/(4pi)

Dus:

delta p_x minimaal gelijk aan h/(4pi . delta x)

delta (m.v_x) = h/(4pi.delta x)

delta v_x = h/(4pi.delta x . m)

delta v_x = 6,63.10^-34 / (4pi.0,50.10^-6 . 9,11.10^-31)

delta v_x = 116 m/s

v_x = o +/- 116 m/s

Waarschijnlijkheids-

interpretatie van Born

Klassikale mechanica = deterministisch

• Positie én impuls zijn tegelijkertijd kenbaar
• de theorie voorspelt de waardes van x, p

Waarschijnlijkheids-

interpretatie van Born

Kwantummechanica = probabilistisch

• Positie en impuls zijn tegelijkertijd niet kenbaar
• de theorie voorspelt de waarschijnlijkheid van de waardes van x, p

• |A>, |N>, |S> zijn abstracte "kwantumtoestanden"
•  𝛙 zijn golffuncties
  

∣α⟩=ψ​N​​∣N⟩+ψ​S​​∣S⟩

Waarschijnlijkheids-

interpretatie van Born

• 𝛙(x) = waarschijnlijkheidsamplitude

• |𝛙(x)|² = kansdichtheid <->
  

•                                     = kans om een deeltje te vinden in positie x ± dx

• Totale kans moet 100% zijn:
  

∫​−∞​+∞​​∣ψ(x)∣​2​​dx=1

​N​tot​​​​N​x​​​​

∫​a​b​​∣ψ(x)∣​2​​dx

Waarschijnlijkheids-

interpretatie van Born

Experimenteel, de kans dat de atomen op de N-kant of S-kant vallen is 50%:

•    

•  
  

∣α⟩=ψ​N​​∣N⟩+ψ​S​​∣S⟩

∣ψ​N​​∣​2​​=∣ψ​S​​∣​2​​=​2​​1​​

ψ​N​​=ψ​S​​=​√​2​​​​​1​​

Golffunctie

Is gerelateerd aan de kans om een kwantumvoorwerp te meten ("observeren") in een bepaald toestand, zoals:

• positie,
• impuls(moment),
• energie,
• spin,
• etc...

Als je de golffunctie kent, kan je voorspellingen maken over je systeem.

Waarschijnlijkheid vs determinisme

Kopenhaagse interpretatie van kwantummechanica

=

Waarschijnlijkheid is inherent aan de natuur

=

Een grens aan ons vermogen om te meten

Klassieke mechanica, kwantummechanica... zijn beschrijvingen van de natuur, not the real thing!

Deeltje in een doos

• Stel je voor dat een deeltje is opgesloten in een beperkt ruimtegebied (de "doos"), gedefinieerd door de coördinaten                           x = 0 en x = L (de lengte van de doos).
• Binnen de doos heeft het deeltje nul potentiële energie (V = 0). De totale energie is dus de kinetische energie van het deeltje.
• Buiten de doos heeft het deeltje een oneindige potentiële energie (V = ∞). Met andere woorden: het deeltje zit voor altijd gevangen in de doos.

Deeltje in een doos

• De golffunctie van zo'n deeltje is:

waar n is het kwantumgetal van dit systeem.

• De kinetische energie van dit deeltje is:

ψ​n​​(x)=√​​L​​2​​​​​sin(​L​​nπ​​x)

Atoom = doosje

Klassikaal:

positie én impuls zijn altijd kenbaar

Quantum:

als we de impuls weten (dus energie), mogen we alleen de waarschijnlijkheid weten over de positie

Atoom = doosje

Klassikaal:

positie én impuls zijn altijd kenbaar

Quantum:

als we de impuls weten (dus energie), mogen we alleen de waarschijnlijkheid weten over de positie

Opgave

Een neutron bevindt zich in een eendimensionale ruimte met lengte L = 1 nm. Het wordt aangeslagen tot het toestand met n = 3.

Neem aan dat aan de twee uiteinden van de "put" (dus op L = 0 nm en L = 1 nm) de potentiele energie oneindig is (= model van het deeltje in een doos).

In de figuur hiernaast is de kansdichtheid van het neutron in dit toestand weergegeven.

1. Schrijf de golffunctie voor het neutron in dit toestand.
2. Schat de kans om het neutron de vinden tussen 0,45 en 0,50 nm.
3. Bereken de onzekerheid voor de snelheid van het neutron.
   

Verwerking 1

Schrijf de golffunctie voor het neutron in dit toestand.

De golffuncties voor een deeltje in een doos worden zo geschreven:

Dus als n = 3 en L = 1 nm:

ψ​n​​(x)=√​​L​​2​​​​​sin(​L​​nπ​​x)

ψ​3​​(x)=√​2​​​sin(3πx)

Verwerking 2

Schat de kans om het neutron de vinden tussen 0,45 en 0,50 nm.

De kans wordt gegeven door het gebied onder de kromme van de kansdichtheid |𝛙(x)|². Dit kunnen we grafisch doen als wij het aantal vierkanten bepalen onder de kromme tussen 0,45 en 0,50 nm.

Er zijn dus ongeveer 33 "volle" vierkanten en 6 "niet-volle" vierkanten die tellen ongeveer als 3,8. Dus in totaal hebben we 36,8 vierkanten.

Het oppervlak van elke vierkant is 0,05 * 0,05 = 0,0025.

Dit vermenigvuldigd door 36,8 geeft de kans, 0,092 of 9,2%.

Verwerking 3

Bereken de onzekerheid voor de snelheid van het neutron.

We hebben een 9,2% kans om het neutron te vinden in het gebied tussen 0,45 en 0,50 nm, dus Δx = 0,05 nm.

Door de onzekerheidsrelatie van Heisenberg kunnen we de onzekerheid berekenen van de impuls in dat gebied:

De massa van een neutron is 1.675*10^-27 kg, dus de onzekerheid over de snelheid is:

Δp​x​​=​Δx​​ℏ​​=​0,05⋅10​−9​​m​​1,055⋅10​−34​​Js​​=2,11⋅10​−24​​kg⋅m⋅s​−1​​

Δv​x​​=​1,675⋅10​−27​​​​2,11⋅10​−24​​​​≈1300m⋅s​−​​1

Tunneling effect

Tunneling Effect :

De kans dat het deeltje op de andere kant van de barriere zich vindt is niet nul

=

onzekerheid over positie

phet.colorado.edu

Een proton zit opgesloten in een kern. Wat is de orde van grootte van de onzekerheid in zijn momentum?

1. 10^–30 N*s
2. 10^–20 N*s
3. 10^–10 N*s
4. 1 N*s

Welk fenomeen levert bewijs voor het golfkarakter van een elektron?

1. Lijnspectra van atomen
2. Foto-elektrisch effect
3. Beta-verval van kernen
4. Verstrooiing van elektronen door een kristal

Huiswerk

Bestuderen §28-1 t/m 4

Maken opgaven Mastering Physics

Volgende les bespreken opdrachten:

• Opdracht 3 foto-elektrisch effect
• Opdracht 4 dubbelspleet
• Opdracht 5 onbepaaldheid

Verdelen wie, welke opdracht maakt en presenteert de volgende les. Overige opdrachten doorlezen zodat je vragen kunt stellen.

Eind van volgende les opdrachten inleveren (als groep); wordt nagekeken door docent (formatief)

Quantum dots

De kleur van een quantum dot hang af van zijn grootte.

Hoe groter een quantum dot, hoe meer red-shifted is zijn kleur.

Dat betekent dat de fotonen die worden geabsorbeerd door de quantum dot een kleiner energie hebben.

Dit gedrag kunnen we uitleggen met het simpele deeltje-in-een-doos-model:

https://www.quantamagazine.org/nobel-prize-honors-inventors-of-quantum-dot-nanoparticles-20231004/