Symmetrieën (les 10,11)

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 1

Startklaar

       

      Telefoon in het zakkie 

      Laptop dicht op tafel 
      Map en pen op tafel

      Geodriehoek, potlood passer ook

      Jas uit

Welkom bij wiskunde

Periode 3: Meetkunde

Mededeling: Links naar antwoordenboeken op Teams

Mededeling: We slaan Stelling van Pythagoras over

Extra nodig: Passer, geodriehoek, potlood

Hoofdstukken: 1, 4, 7, 9

Deze les

• Herkansing Algebra
• Samenvatting voor de vakantie
  
• Verkennende opdracht
  
• Transformaties
• Symmetrie

Herkansing Algebra

• Versimpelen van uitdrukkingen - "oh, maar dat is gewoon..."
  (a+b)(a-b)... = 
  
  
• Manipuleren van uitdrukkingen - "als je dit nou zo verandert..."
  5p-3q  -- *2 --> 
• Oplossen van lineaire vergelijkingen - "maar wat is die x nou..."
• Oplossen van stelsels van vergelijkingen - "maar wat zijn die x en y nou..."
• Lijnen tekenen in een grafiek - "op welke lijn liggen alle oplossingen..."

a⋅a−a⋅b+b⋅a−b⋅b=a​2​​−ab+ab−b​2​​=a​2​​−b​2​​

(5p−3q)⋅2=10p−6q

Overzicht periode 3

Week 1	Week 2	Week 3	Week 4	Week 5	Week 6	Week 7
Basis van meetkunde	Driehoeken	Driehoeken	Symmetrieën	Vierhoeken	Oppervlakte & omtrek	Drie dimensies

Samenvatting

• Meetkunde gaat om het begrijpen van vormen
• We beginnen met punten in een vlak
• Tussen punten kun je een lijnstuk trekken, door punten kun je een lijn trekken: die gaat oneindig door.
• Bij het begrijpen van dingen in een vlak komen twee concepten kijken:

1. Afstand (krijg je door verplaatsing)
2. Hoeken (krijg je door rotatie)

• Met een geodriehoek kun je afstanden meten, en hoeken ook

 
 

Samenvatting

Er zijn verschillende manieren om hoeken te berekenen als we andere hoeken in een constructie al kennen. Daarvoor gebruiken we:

• Dat een volle rotatie 360 graden is
• Dat een gestrekte hoek 180 graden is
• Dat overstaande hoeken bij snijdende lijnen gelijk zijn
• F-hoeken (als parallele lijnen door dezelfde lijn gesneden worden)
  
• Z-hoeken (als parallele lijnen door dezelfde lijn gesneden worden)
  

Samenvatting

De hoeken van een driehoek zijn altijd samen 180 graden:

• Als twee hetzelfde zijn heet de driehoek gelijkbenig en heeft het twee gelijke zijden
• Als drie hetzelfde zijn, zijn ze 60 graden, en zijn alle zijden gelijk. Het heet dan een gelijkzijdige driehoek
  

Iedere driehoek heeft een omgeschreven en een ingeschreven cirkel:

• De omgeschreven cirkel gaat door alle hoekpunten en heeft als middelpunt het snijpunt van de middelloodlijnen
• De ingeschreven cirkel raakt alle zijden en heeft als middelpunt het snijpunten van de bissectrices
  

Aan de slag

Bedenk en schrijf op:

• Welke hoofdletters lijken hetzelfde
   als je ze op de kop schrijft?
• Welke hoofdletters lijken hetzelfde
  als je ze in een spiegel ziet?
• Welke hoofdletters lijken hetzelfde als je je
   blaadje omdraait nadat je het hebt opgeschreven?

Transformaties

Een transformatie is een verandering, maar wel een specifiek soort.

De verschillende transformaties zijn:

• Transleren ("verplaatsen")
  Beschrijf je met een horizontaal deel en een verticaal deel
• Roteren ("draaien")
  Beschrijf je met een punt (waar je omheen roteert) en een hoek (hoe ver je roteert)
• Spiegelen ("spiegelen")
  Beschrijf je met een lijn (waar je in spiegelt)

Symmetrie

Een figuur is symmetrisch als er een transformatie is dat er geen effect op heeft

De verschillende symmetrieën zijn:

• Rotatiesymmetrie
  Als je een figuur om het middelpunt kunt draaien en na minder dan 360 graden lijk je alweer terug bij af
  Je beschrijft dit met de kleinste hoek waarna je terug bij af lijkt te zijn
• Spiegelsymmetrie
  Als je een figuur in een zwaartelijn kunt spiegelen en dan lijkt het alsof er niks gebeurd is
  Je beschrijft dit met de richting waarin je kunt spiegelen. Deze richting staat loodrecht op de richting van de spiegellijn.

Aan de slag

Teken een vierkant en onderzoek de symmetrieën:

• Teken alle lijnen waar je het in kunt spiegelen
• Geef aan wat de kleinste hoek is dat je het kunt roteren

Doe nu hetzelfde voor:

1. Een rechthoek (dat geen vierkant is)
2. Een ruit (dat geen vierkant is)
3. Een vlieger & een parallelogram

De Stelling van Pythagoras                       

• In rechthoekige driehoeken is er een verband tussen de lengte van de twee korte zijden (laten we ze A en B noemen) en de lange zijde (C)
• Dat verband is
  
• Oppervlakte grote vierkant:
• Oppervlakte kleine vierkant:
• Oppervlakte driehoek:
  

A​2​​+B​2​​=C​2​​

(A+B)​2​​

C​2​​

0,5AB