Normale verdeling en betrouwbaarheidsintervallen

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Normale verdeling

Normale verdeling en verdeling van steekproefgemiddeldes

Normale verdeling

Tips bij het maken van de opgaven:

• Goed lezen!
• Noteer gegevens in je schrift (                        )
• Maak een normaalkromme en zet erbij wat je weet:  

• n heeft altijd betrekking op de steekproefomvang en niet op het aantal steekproeven
• Het aantal steekproeven of waarnemingen levert de normaalkromme (frequentieverdeling) op en met de vuistregels bereken je de percentages van de waarnemingen/steekproeven tussen bepaalde grenswaardes.

μ,σ,p,n,etc.

μ,μ+σ,μ−σ,p,p+σ,p−σ,etc.

Vuistregels normale verdeling

gemiddelde: 

μ=15,6

standaardafwijking: 

σ=0,3

Sleep de getallen naar de juiste vakken onder de normaalkromme. Gebruik de vuistregels.

14,7

14,8

15,9

15,8

16,5

16,8

16,0

16,2

15,0

15,3

15,2

15,6

μ=66

σ=11

gemiddelde: 

standaardafwijking: 

minuten

minuten

88

99

44

33

77

66

55

Bij 2,5% van de woningen is de monteur langer dan 88 minuten  bezig

μ=66

σ=11

gemiddelde: 

standaardafwijking: 

minuten

minuten

88

99

44

33

77

66

55

47,5% tussen 66 en 88 minuten

In totaal  1400 woningen

1400 x 0,475 = 665

Bij 665 woningen is hij tussen 66 en 88 minuten bezig.

μ=66

σ=11

gemiddelde: 

standaardafwijking: 

minuten

minuten

88

99

44

33

77

66

55

16% minder dan 55 minuten

In totaal  1400 woningen

1400 x 0,16 = 224

Bij 224 woningen is hij minder dan 55 minuten bezig.

Meer dan ...........  minuten. (Vul in wat op de stippen moet komen te staan)

μ=66

σ=11

gemiddelde: 

standaardafwijking: 

minuten

minuten

88

99

44

33

77

66

55

2,5%, dit zijn de woningen waar de monteur langer dan  88 minuten mee bezig is.

Hoeveel % is 35 van 1400? Als je dat weet, dan kun je iets met de gegevens die je hebt.

​1400​​35​​⋅100=2,5

dus de 35 woningen waar hij het langst mee bezig is, zijn de woningen waar hij langer dan 88 minuten mee bezig is. 

% 

dus dit percentage komt overeen met de woningen waar hij het langst mee bezig is!

Van jongens van 10 maanden is de lengte en het gewicht normaal verdeeld. Zie de tabel hiernaast. Op een consultatiebureau wordt in een jaar van 320 jongens de lengte en het gewicht gemeten. Van hoeveel jongens is naar verwachting de lengte meer dan 80 cm?

gemiddelde lengte

standaardafwijking: 

74,2 cm

80,0

82,9

68,4

65,5

77,1

74,2

71,3

2,5% langer  dan 80 cm

In totaal  320 jongens gemeten

320 x 0,025 = 8

Antwoord: 8 jongens zijn naar verwachting langer dan 80 cm

2,9 cm

Van jongens van 10 maanden is de lengte en het gewicht normaal verdeeld. Zie de tabel hiernaast. Op een consultatiebureau wordt in een jaar van 320 jongens de lengte en het gewicht gemeten. Van hoeveel jongens is naar verwachting het gewicht tussen 7,1 en 10,4 kg?

gemiddelde gewicht

standaardafwijking: 

9,3 kg

11,5

12,6

7,1

6,0

10,4

9,3

8,2

81,5% tussen 7,1 en 10,4 kg

In totaal  320 jongens gewogen

Antwoord: 261 jongens wegen naar verwachting tussen 7,1 en 10,4 kg.

1,1 kg

320⋅0,815=260,8≈261

Bereken de standaardafwijking. 

μ=144

μ+σ=152

gemiddelde:

standaardafwijking

gram

?     gram

152

144

16% weegt meer dan 152 gram, dus 152 is gelijk aan 

σ=

μ+σ

μ+σ

μ

σ=152−144=8

De standaardafwijking is 8 gram

Bereken de standaardafwijking. 

μ=180

μ−2σ=168

gemiddelde:

standaardafwijking

gram

?     gram

168

180

47,5% weegt tussen 168 en 180 gram en dus is 168 gram gelijk aan   

σ=

μ−2σ

μ−2σ

μ

σ=6

De standaardafwijking is 6 gram

2σ=180−168=12

Verdeling van het steekproefgemiddelde

Er worden in dit voorbeeld steeds steekproeven van 9 kiwi's genomen --> n = 9 

Steekproevenverdeling --> verdeling steekproefgemiddeldes van de kiwi's

Standaardafwijking steekproevenverdeling:

​√​n​​​​​σ​​=​√​9​​​​​9​​=​3​​9​​=3

Ga uit van een gemiddeld gewicht per grapefruit van 180 gram en een standaardafwijking van 6 gram. Er worden ter controle een aantal aselecte steekproeven van 16 grapefruits genomen waarvan het steekproefgemiddelde van de grapefruits wordt bepaald. Welk percentage van de steekproeven zal naar verwachting een gemiddeld gewicht lager dan 177 gram opleveren?

Gewicht grapefruits normaal verdeeld met:

Gemiddelde 180 gram

Standaardafwijking 6 gram

Er worden steekproeven genomen met lengte 16 --> n = 16

Standaardafwijking verdeling steekproefgemiddeldes:

​√​n​​​​​σ​​=​√​16​​​​​6​​=​4​​6​​=1,5

180

178,5

177

2,5 % van de steekproeven zal naar verwachting een gemiddeld gewicht per grapefruit lager dan 177 gram opleveren. 

Betrouwbaarheidsintervallen

Betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde

Betrouwbaarheidsintervallen zoals ze op het formuleblad staan (eindexamen en toets):

Bij een steekproef onder 300 huishoudens van een stad is gekeken naar de hoeveelheden glasafval. De gemiddelde hoeveelheid glasafval bleek per huishouden 48,4 kg te zijn met een steekproefstandaardafwijking van 11,2 kg. Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde hoeveelheid glasafval per huishouden in deze stad. Rond af op twee decimalen

Steekproefgemiddelde:  

Standaardafwijking van het steekproefgemiddelde:

X=48,4kg

S=11,2kg

Linkergrens: 

Rechtergrens:

X−2⋅​√​n​​​​​S​​=48,4−2⋅​√​300​​​​​11,2​​=48,4−1,293...=47,106...≈47,12kg

Afronden op twee decimalen!

X+2⋅​√​n​​​​​S​​=48,4+2⋅​√​300​​​​​11,2​​=48,4+1,293...=49,693...≈49,69kg

95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde gewicht van de hoeveelheid glasafval per huishouden in de stad (in kg):

[47,12 ; 49,69]

_

_

_

Bij een andere proef werd gekeken naar de hoeveelheid afval van plastic verpakkingen. Voor de gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid van plastic verpakkingen in kg stelden de onderzoekers het 95%-betrouwbaarheidsinterval op van [16,27 ; 17,73]. Wat was het steekproefgemiddelde? Geef dit in twee decimalen nauwkeurig. 

95%-btbhi: [16,27; 17,73] , n = 300

​2​​16,27+17,73​​=17,00

   I________________________I

16,27              17,00              17,73

X

X+2⋅​√​n​​​​​S​​

X−2⋅​√​n​​​​​S​​

Steekproefgemiddelde:

I

Uit de vorige vraag kwam uit het onderzoek naar plastic afval een gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid van plastic verpakkingen van 17,0 kg naar voren. De steekproefstandaardafwijking bleek 5,5 kg te zijn. Bereken met de GR het aantal huishoudens dat was meegenomen in dit onderzoek.  

17,73−16,27=1,46

De breedte van het interval komt overeen met

4⋅​√​n​​​​​S​​

4⋅​√​n​​​​​S​​=4⋅​√​n​​​​​5,5​​=1,46

Y1=4⋅​√​x​​​​​5,5​​

Optie G-Solve Intersect geeft x = 227,05... dus 227 huishoudens in deden mee (steekproefomvang).

    I________________________I

16,27                                       17,73

X+2⋅​√​n​​​​​S​​

X−2⋅​√​n​​​​​S​​

Breedte interval:

4⋅​√​n​​​​​S​​=1,46

X

I

Voer in:

Y2=1,46

S=5,5

Verdeling steekproefproporties

Populatie- en steekproefproporties --> aangeduid met p

• p heeft altijd een waarde tussen 0 en 1 --> 0 < p < 1
• deel van geheel b.v. 50 van de 200 --> p = 50/200 = 0,25
• gegeven als percentage b.v. 63% --> p = 0,63

Bereken met de steekproefproportie de standaardafwijking en doe die x 100%.

p=0,41

populatieproportie:

n = 125

520 steekproeven

σ=√​​n​​p(1−p)​​​​​=√​​125​​0,41⋅0,59​​​​​=0,04399...≈0,0440

De standaardafwijking van de verdeling van de steekproefproporties is 4,40%

41,0 % woont op het platteland dus

Berekening standaardafwijking steekproefverdeling

0,0440 X 100% = 4,40%

p=0,410

populatieproportie:

n = 125

520 steekproeven

41,0 % woont op het platteland dus

σ=√​​n​​p(1−p)​​​​​=√​​125​​0,41⋅0,59​​​​​=0,04399...≈0,0440

0,410

0,454

0,366

68% ligt tussen de steekproefproporties 0,366 en 0,454

p+σ

p−σ

p

p=0,41

populatieproportie:

n = 125

520 steekproeven

41,0 % woont op het platteland dus

σ≈0,0440

0,410

0,454

0,366

​125​​57​​=0,456

57 van de 125 komt overeen met een steekproefproportie van:

Dus bij meer dan 16%. Dit komt overeen met 0,16 x 520 = 83,2

Bij 83 steekproeven verwacht je dat meer dan 57  ondervraagden op het platteland wonen.

betrouwbaarheidsintervallen

betrouwbaarheidsinterval steekproefproportie

Betrouwbaarheidsintervallen zoals ze op het formuleblad staan (eindexamen en toets):

Jochem doet onderzoek naar de kleur van de personenauto's die in Nederland rondrijden. Hij noteert van 575 auto's de kleur. Hiervan zijn er 47 rood. 

a) Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de proportie rode auto's. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

p=​575​​47​​=0,0817...

steekproefproportie:

n = 575

σ=√​​575​​0,0817...(1−0,0817...)​​​​​=0,01142...

47 van de 575 auto's zijn rood dus 

Berekening standaardafwijking verdeling steekproefproportie:

Linkergrens:

Rechtergrens:

p−2σ=0,0817...−2⋅0,0114...=0,05888...≈0,059

p+2σ=0,0817...+2⋅0,0114...=0,10458...≈0,105

95% betrouwbaarheidsinterval voor de proportie rode auto's: [0,059; 0,105]

Jochem doet onderzoek naar de kleur van de personenauto's die in Nederland rondrijden. Hij noteert van 575 auto's de kleur. Van de proportie zwarte auto's is het 95%-betrouwbaarheidsinterval [0,224 ; 0,296].

a) Bereken in twee decimalen nauwkeurig de steekproefproportie van het aantal zwarte auto's in de steekproef. 

95% betrouwbaarheidsinterval proportie zwarte auto's:

[0,224; 0,296]

Steekproefproportie gemiddelde linkergrens en rechtergrens: 

​2​​0,224+0,296​​=0,26

Jochem doet onderzoek naar de kleur van de personenauto's die in Nederland rondrijden. Hij noteert van 575 auto's de kleur. Van de proportie zwarte auto's is het 95%-betrouwbaarheidsinterval [0,224 ; 0,296].

a) Bereken het aantal zwarte auto's in de steekproef. 

95% betrouwbaarheidsinterval proportie zwarte auto's:

[0,224; 0,296]

Steekproefproportie aantal zwarte auto's  is 0,26

Totaal aantal auto's in de steekproef was 575

Aantal zwarte auto's in de steekproef was dus

 0,26 x 575 = 149,5 --> 150

Jochem heeft 150 zwarte auto's geteld in de steekproef.

Jochem doet onderzoek naar de kleur van de personenauto's die in Nederland rondrijden. Hij noteert van 575 auto's de kleur. 

Van de proportie zwarte auto's is het 95%-betrouwbaarheidsinterval [0,224 ; 0,296].

a) Bereken de standaardafwijking van het aantal zwarte auto's in de steekproef. 

95%-btbhi: [0,224; 0,296] , n = 575

0,296−0,224=0,072

De breedte van het interval komt overeen met

4⋅σ

4⋅σ=0,072

σ=​4​​0,072​​=0,018

dus

   I________________________I

0,224              0,26             0,296

p+2⋅σ

p−2⋅σ

Breedte interval:

Standaardafwijking van het aantal zwarte auto's in de steekproef: 0,018

4⋅σ

0,072

I

p

In een andere steekproef noteert Jochem van een groot aantal auto's of ze wel of niet elektrisch zijn. Van de proportie 'elektrische auto's' was het 95%-betrouwbaarheidsinterval [0,316; 0,404]. Hoeveel auto's zaten er in totaal in de steekproef?

95%-btbhi: [0,316; 0,404] , n = ?

0,404−0,316=0,088

De breedte van het interval komt overeen met

4⋅σ

dus

   I________________________I

0,316              0,36             0,404

p+2⋅σ

p−2⋅σ

Breedte interval:

4⋅σ

0,088

I

p

σ=√​​x​​0,36(1−0,36)​​​​​

p=​2​​0,316+0,404​​=0,36

Y1=4⋅√​​x​​0,36(1−0,36)​​​​​

Y2=0,088

Optie G-Solve Intersect geeft x = 476, 03... dus 476 auto's zaten er in de steekproef 

EINDE