H12 Simuleren

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 3

Kansexperimenten

simuleren

Kansen

De theoretische kans wordt benaderd door een kansexperiment heel vaak te herhalen (de experimentele kans komt steeds dichter in de buurt van de theoretische kans).

Neem het dobbelen met een dobbelsteen: na 6 x dobbelen is het niet zeker dat je alle cijfers één keer hebt gegooid. Ook na 600 x dobbelen hoeft de verhouding van de gegooide cijfers niet gelijk te zijn (100 x 1, 100 x 2, etc). Misschien pas na 6 miljoen keer dobbelen zal de verdeling van de gegooide cijfers ongeveer gelijk zijn (maar zelfs dat hoeft niet, er blijft toeval bestaan).

Kansen

De kans op een gebeurtenis kun je op verschillende manieren bepalen.

We nemen weer een makkelijk voorbeeld: de kans op het gooien van 3 met een dobbelsteen.

Eén van de manieren is om het kansexperiment heel vaak te herhalen de de uitkomsten te noteren. Je gaat in dit geval een groot aantal x de dobbelsteen gooien en schrijft steeds de uitkomst op.

Een tweede manier is om het kansexperiment te simuleren (na te bootsen) op de computer of (grafische) rekenmachine. 

Kansen

In deze les gaan we kansexperimenten simuleren op de gewone rekenmachine met toevalsgetallen.

Daarvoor zit op je rekenmachine een speciale knop: Ran#

Deze toets vind je linksonder op je rekenmachine.

Werking knop Ran#

Druk op de toets Ran#; de tekst komt in je scherm te staan. Wanneer je vervolgens op de = toets drukt krijg je een getal van 3 decimalen. 

Het getal ligt altijd tussen 0 en 1.

Het getal bestaat ALTIJD uit 3 decimalen; zie je in je scherm 0,2 dan zijn de andere twee decimalen een 0. Het is belangrijk dat je die ook opschrijft bij een simulatie. 

Wanneer je nog een keer op de = toets drukt verschijnt een nieuw toevalsgetal met 3 decimalen.

Ran#

Computers en grafische rekenmachines kun je programmeren om de getallen meteen te gebruiken voor een berekening. Bij onze rekenmachine lukt dat niet en moet je de toevalsgetallen opschrijven.

Je geeft de cijfers een betekenis met betrekking tot je kansexperiment.

Voorbeeld: het simuleren van het 50x gooien van een muntstuk.

Er zijn twee mogelijke uitkomsten (kop of munt). Ik ga 25x een toevalsgetal oproepen (Ran#) en schrijf steeds de eerste 2 cijfers na de komma op. Dan heb ik een rijtje van 50 cijfers. Van dat rijtje stel ik de even getallen als kop en de oneven getallen als munt voor en ga de even cijfers tellen.

De (experimentele) kans op kop kan ik berekenen: aantal even cijfers / 50.

Maak een serie van 15 cijfers met je Ran# toets op de rekenmachine en noteer die als antwoord.

De volgende serie willekeurige getallen is opgeschreven:
5 7 8 6 7 0 4 1 5 9 3 4 2 7 9 1 3 2 0 9 5 4 1 7
Als we stellen dat een oneven cijfer kop is, hoe vaak is er dan kop gegooid?

Simuleren

Bij het simuleren met toevalsgetallen moet je vooraf duidelijk maken wat je gaat doen en welke cijfers je gaat gebruiken. Je kunt ervoor kiezen om alleen het tweede cijfer achter de komma te gebruiken voor kop of munt. Je mag niet de ene keer het eerste en een andere keer het tweede cijfer noteren bij hetzelfde kansexperiment. Het is dus belangrijk om goed op te schrijven hoe je de simulatie uit gaat voeren.

Simuleren dobbelsteen

Ook het werpen van een dobbelsteen kun je met toevalsgetallen simuleren. Je kunt dan alleen niet alle cijfers gebruiken: op de dobbelsteen staan immers alleen de cijfers 1 tot en met 6. 

Simuleren kan dan door van de toevalsgetallen op je rekenmachine alleen de cijfers 1 tot en met 6 op te schrijven net zolang tot je voldoende cijfers (worpen) hebt opgeschreven.

Voorbeeld: via Ran# krijg je de getallen 6 1 8 5 9 7 1 1 8 4 3 9 6 2 8

Bij het simulatie van de dobbelsteen blijven alleen de cijfers 6 1 5 1 1 4 3 6 2 over. Je kunt die in je schrift ook omcirkelen als je het hele getal hebt overgenomen. In bovenstaande simulatie is er dus 9x gedobbeld.

Hoe zou je het dobbelen met 3 dobbelstenen kunnen simuleren?

Simulatie 3 dobbelstenen

Neem van de toevalsgetallen alleen de getallen van 1 tot en met 6 over in je schrift.

Je kunt dan het volgende rijtje krijgen: 6 2 4 6 2 5 3 5 4 3 1 1 2 2 5 5 6 1

Dit rijtje kun je dan in groepjes van 3 verdelen:

6 2 4    6 2 5    3 5 4    3 1 1    2 2 5    5 6 1  en je hebt in elk groepje de ogen van elke dobbelsteen. In de eerste worp is een 6, een 2 en een 4 gegooid.

Hieronder zie je de simulatie van het werpen van 2 dobbelstenen. Hoe vaak is er gegooid?
62 46 25 35 43 11 22 55 61 64 56 35 14 36 13

Hieronder zie je de simulatie van het werpen van 2 dobbelstenen. Hoe groot is de kans op een dubbel?
62 46 25 35 43 11 22 55 61 64 56 35 14 36 13

Hoe simuleer je het werpen van 4 munten?

Werpen van 4 munten

Bijvoorbeeld:

Maak een rijtje van toevalsgetallen en maak vervolgens blokjes van 4 getallen (de vier munten). Bij 5 worpen heb je dus een rijtje van 20 cijfers nodig.

De cijfers 0, 1, 2, 8 en 9 betekenen kop en de andere 5 cijfers betekenen munt. Daarna is het een kwestie van tellen.

Voer 10x een simulatie uit van het
werpen van 4 munten en bereken
de kans op 1x kop 3x munt.

Opdrachten boek

Maak de opdrachten 12, 13 en 14 (12.3) in je schrift

Einde les