Exponentes

Leyes de los exponentes y productos notables

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pre-calculusTertiary Education

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Leyes de los exponentes y productos notables

Slide 1 - Slide

¿Qué es un exponente?

Operación que permite representar multiplicaciones sucesivas

f (x) = a^{​ x ​ ​} = a \cdot a \cdot a \cdot a . . .

Base

Exponente

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Una raíz es un exponente

La única diferencia es que la raíz es un exponente fracción

​ 3 ​ ​ \sqrt ​ x^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ = x^{​ \frac{​ 2 ​ ​}{​ 3 ​} ​ ​}

Denominador

Numerador

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Propiedades de los exponentes

Producto de bases iguales

a^{​ n ​ ​} \cdot a^{​ m ​ ​}

Slide 4 - Slide

Propiedades de los exponentes

Producto de bases iguales

a^{​ 3 ​ ​} \cdot a^{​ 2 ​ ​} = (a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a)

a^{​ 3 ​ ​} \cdot a^{​ 2 ​ ​} = a^{​ 5 ​ ​}

Slide 5 - Slide

Propiedades de los exponentes

Producto de bases iguales
Se suman los exponentes y se deja igual la base

a^{​ n ​ ​} \cdot a^{​ m ​ ​} = a^{​ n + m ​ ​}

Slide 6 - Slide

Producto de exponentes

x^{​ 2 ​ ​} \cdot x^{​ 7 ​ ​} = x^{​ 9 ​ ​}

x^{​ 3 ​ ​} \cdot x^{​ \frac{​ 3 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} = x^{​ \frac{​ 9 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​}

2^{​ 3 ​ ​} \cdot 2^{​ 4 ​ ​} = 2^{​ 7 ​ ​} = 128

Slide 7 - Slide

Resuelve:

a^{​ 4 ​ ​} \cdot a^{​ 3 ​ ​} \cdot a^{​ - 2 ​ ​}

a^{​ 9 ​ ​}

a^{​ 2 ​ ​}

a^{​ 3 ​ ​}

a^{​ 5 ​ ​}

Slide 8 - Quiz

Propiedades de los exponentes

División de bases iguales

\frac{​ a ^{​ n ​ ​} ​ ​}{​ a ^{​ m ​ ​} ​}

Slide 9 - Slide

Propiedades de los exponentes

División de bases iguales

\frac{​ a ^{​ 3 ​ ​} ​ ​}{​ a ^{​ 2 ​ ​} ​} = \frac{​ a \cdot a \cdot a ​ ​}{​ a \cdot a ​} = a^{​ 1 ​ ​}

Slide 10 - Slide

Propiedades de los exponentes

División de bases iguales
Se restan los exponentes y se deja igual la base

\frac{​ a ^{​ n ​ ​} ​ ​}{​ a ^{​ m ​ ​} ​} = a^{​ n - m ​ ​}

Slide 11 - Slide

Producto de exponentes

\frac{​ x ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ x ^{​ 5 ​ ​} ​} = x^{​ 2 - 5 ​ ​} = x^{​ - 3 ​ ​}

\frac{​ 3 ^{​ 7 ​ ​} ​ ​}{​ 3 ^{​ 4 ​ ​} ​} = 3^{​ 7 - 4 ​ ​} = 3^{​ 3 ​ ​} = 27

Slide 12 - Slide

Resuelve:

\frac{​ a ^{​ 3 ​ ​} ​ ​}{​ a ^{​ 2 ​ ​} \cdot a ^{​ 5 ​ ​} ​}

a^{​ 10 ​ ​}

a^{​ - 4 ​ ​}

a^{​ - 2 ​ ​}

a^{​ 1 ​ ​}

Slide 13 - Quiz

Propiedades de los exponentes

Potencia de una potencia

(a^{​ n ​ ​})^{​ m ​ ​}

Slide 14 - Slide

Propiedades de los exponentes

Producto de una potencia

(a^{​ 2 ​ ​})^{​ 3 ​ ​} = a^{​ 2 ​ ​} \cdot a^{​ 2 ​ ​} \cdot a^{​ 2 ​ ​} = a^{​ 2 + 2 + 2 ​ ​}

(a^{​ 2 ​ ​})^{​ 3 ​ ​} = a^{​ 2 \cdot 3 ​ ​} = a^{​ 6 ​ ​}

Slide 15 - Slide

Propiedades de los exponentes

Potencia de una potencia
Se multiplican los exponentes y se deja igual la base

(a^{​ n ​ ​})^{​ m ​ ​} = a^{​ n \cdot m ​ ​}

Slide 16 - Slide

Producto de exponentes

(\sqrt ​ x ​ ​ ​)^{​ 3 ​ ​} = (x^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​})^{​ 3 ​ ​} = x^{​ \frac{​ 3 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​}

(x^{​ 2 ​ ​})^{​ - 2 ​ ​} = x^{​ 2 \cdot - 2 ​ ​} = x^{​ - 4 ​ ​}

(2^{​ 3 ​ ​})^{​ 2 ​ ​} = 2^{​ 2 \cdot 3 ​ ​} = 2^{​ 6 ​ ​} = 64

Slide 17 - Slide

Resuelve:

(a^{​ \frac{​ 3 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​})^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} ​ ​}

a^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} = \sqrt ​ a ​ ​ ​

a^{​ \frac{​ 5 ​ ​}{​ 6 ​} ​ ​} = ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ a^{​ 5 ​ ​} ​ ​ ​

a^{​ \frac{​ 1 5 ​ ​}{​ 6 ​} ​ ​} = ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ a^{​ 15 ​ ​} ​ ​ ​

a^{​ 1 ​ ​}

Slide 18 - Quiz

¡También se puede usar en el otro sentido!

a^{​ \frac{​ 7 ​ ​}{​ 4 ​} ​ ​} = a^{​ 1 \frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 ​} ​ ​} = a^{​ 1 + \frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 ​} ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} \cdot a^{​ \frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 ​} ​ ​}

Slide 19 - Slide

Casos especiales:

Potenica 1

Potencia 0

a^{​ 1 ​ ​} = a

a^{​ 0 ​ ​} = a^{​ 1 - 1 ​ ​} = \frac{​ a ​ ​}{​ a ​} = 1

Slide 20 - Slide

Casos especiales:

Exponente negativo

a^{​ - 1 ​ ​} = a^{​ 0 - 1 ​ ​} = \frac{​ a ^{​ 0 ​ ​} ​ ​}{​ a ^{​ 1 ​ ​} ​}

\frac{​ 1 ​ ​}{​ a ^{​ n ​ ​} ​} = a^{​ - n ​ ​}

Slide 21 - Slide

Casos especiales:

Todo lo visto aplica cuando hay una potencia de varios términos.

(a^{​ 2 ​ ​} b^{​ 3 ​ ​} c) \cdot (a b c^{​ 2 ​ ​}) = (a^{​ 2 ​ ​} \cdot a) \cdot (b^{​ 3 ​ ​} \cdot b) \cdot (c \cdot c^{​ 2 ​ ​}) = a^{​ 3 ​ ​} \cdot b^{​ 4 ​ ​} \cdot c^{​ 3 ​ ​}

\frac{​ a b ^{​ 2 ​ ​} c ​ ​}{​ a ^{​ 2 ​ ​} b ​} = \frac{​ b c ​ ​}{​ a ​}

Slide 22 - Slide

¿Dudas?

Slide 23 - Open question

¡A PRACTICAR!

Slide 24 - Slide

Resuelve:

3^{​ 3 ​ ​} \cdot 3^{​ 4 ​ ​} \cdot 3 =

3^{​ 10 ​ ​}

3^{​ 8 ​ ​}

3^{​ 4 ​ ​}

3

Slide 25 - Quiz

Resuelve:

5^{​ 7 ​ ​} \cdot 5^{​ 3 ​ ​} =

5^{​ 10 ​ ​}

5^{​ 8 ​ ​}

5^{​ 4 ​ ​}

5

Slide 26 - Quiz

Resuelve:

(5^{​ 3 ​ ​})^{​ 4 ​ ​}

5^{​ 7 ​ ​}

5^{​ 1 ​ ​}

5^{​ \frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 ​} ​ ​}

5^{​ 12 ​ ​}

Slide 27 - Quiz

Resuelve:

\frac{​ x ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ x ^{​ - 1 ​ ​} ​}

x^{​ 3 ​ ​}

\frac{​ 1 ​ ​}{​ x ^{​ 3 ​ ​} ​}

\frac{​ 1 ​ ​}{​ x ^{​ 2 ​ ​} ​}

x^{​ 2 ​ ​}

Slide 28 - Quiz

Resuelve:

​ 4 ​ ​ \sqrt ​ x ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ x ​ ​ ​ \cdot x^{​ 3 ​ ​} =

x^{​ \frac{​ 1 5 ​ ​}{​ 4 ​} ​ ​}

x^{​ 3 ​ ​} \cdot ​ 4 ​ ​ \sqrt ​ x^{​ 3 ​ ​} ​ ​ ​

​ 4 ​ ​ \sqrt ​ x ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ x ​ ​ ​ \cdot x^{​ 3 ​ ​}

x^{​ 2 ​ ​}

Slide 29 - Quiz

Resolución:

​ 4 ​ ​ \sqrt ​ x ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ x ​ ​ ​ \cdot x^{​ 3 ​ ​} = x^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} ​ ​} \cdot x^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} \cdot x^{​ 3 ​ ​}

x^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} + 3 ​ ​} = x^{​ \frac{​ 1 + 2 + 1 2 ​ ​}{​ 4 ​} ​ ​} = x^{​ \frac{​ 1 5 ​ ​}{​ 4 ​} ​ ​}

x^{​ \frac{​ 1 5 ​ ​}{​ 4 ​} ​ ​} = x^{​ 3 + \frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 ​} ​ ​} = x^{​ 3 ​ ​} \cdot x^{​ \frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 ​} ​ ​} = x^{​ 3 ​ ​} \cdot ​ 4 ​ ​ \sqrt ​ x^{​ 3 ​ ​} ​ ​ ​

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Slide 23 - Open question

Slide 24 - Slide

Slide 25 - Quiz

Slide 26 - Quiz

Slide 27 - Quiz

Slide 28 - Quiz

Slide 29 - Quiz

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