3_5_Combinaciones_con_repetición

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Combinaciones con repetición

No importa el orden y Si puedo repetir elementos.

¿Como se van a manejar?

Suponiendo que solo hay 7 sabores de helado, ¿Cuántos conos triples podemos pedir?

Definamos los sabores de helado:

• Chocolate (C)
• Vainilla (V)
• Limón (L)
• Fresa (F)
• Nuez (N)
• Galleta (G)
• Mango (M)

Entonces podemos elegir el cono de esta forma:

Inicio :::  C - V - L - F - N - G - M ::: Fin

El tendero inicia en el helado de chocolate y entrega al final de la línea de helados; se le indicará si se desplaza al siguiente sabor o saca una cucharada del mismo.

Si quisieramos helado de dos de limón y mango sería:

-> -> O O -> -> ->-> O

Entonces podemos elegir el cono de esta forma:

  C - V - L - F - N - G - M

Como otro ejemplo, si quisieramos galleta, chocolate y vainilla sería:

O -> O -> -> ->-> O ->

¿Hagamos un ejemplo, que helado quieren?

¿Como podemos hacer el cálculo?

Si tomamos los dos ejemplos anteriores, vemos que lo que hicimos fue:

O -> O -> -> ->-> O ->

-> -> O O -> -> ->-> O

Si revisamos estamos combinando las 3 cucharadas y los 6 desplazamientos.

¿Como podemos hacer el cálculo?

Por lo tanto 

CR​3​7​​=C​3​9​​=​(9−3)!⋅3!​​9!​​=84

¿Como podemos hacer el cálculo?

Para movernos del primer al último elemento tenemos que hacer n-1 desplazamientos, y durante esos desplazamientos vamos a elegir r veces.

CR​r​n​​=C​r​n−1+r​​

O si sustituimos

CR​r​n​​=C​r​n−1+r​​

C​r​n−1+r​​=​(n−1+r−r)!r!​​(n−1+r)!​​=​(n−1)!r!​​(n−1+r)!​​

Combinaciones con repetición

CR​r​n​​=​(n−1)!r!​​(n−1+r)!​​

CR​r​n​​=C​r​n+r−1​​

¿De cuántas maneras se pueden rifar 3 Play Station 5 si una persona puede resultar ganador varias veces y participan 15 personas?

CR​3​15​​=C​3​15+3−1​​=C​3​17​​

C​3​17​​=​(17−3)!⋅3!​​17!​​=​14!⋅3!​​17!​​=​3⋅21​​17⋅16⋅15​​=17⋅8⋅5=680

CR​3​15​​=​(15−1)!⋅3!​​(15+3−1)!​​=​14!⋅3!​​17!​​=680

Para un popular juego, el jugador puede utilizar 4 personajes, cada uno de ellos con uno de 6 elementos distintos. ¿Cuántas combinaciones de elementos pueden utilizar? 

CR​4​6​​=C​4​6+4−1​​=C​4​9​​

CR​4​6​​=126