3_5_Combinaciones_con_repetición

Combinaciones con repetición

No importa el orden y Si puedo repetir elementos.

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Combinaciones con repetición

No importa el orden y Si puedo repetir elementos.

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¿Como se van a manejar?

Suponiendo que solo hay 7 sabores de helado, ¿Cuántos conos triples podemos pedir?

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Definamos los sabores de helado:

Chocolate (C)
Vainilla (V)
Limón (L)
Fresa (F)
Nuez (N)
Galleta (G)
Mango (M)

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Entonces podemos elegir el cono de esta forma:

Inicio ::: C - V - L - F - N - G - M ::: Fin

El tendero inicia en el helado de chocolate y entrega al final de la línea de helados; se le indicará si se desplaza al siguiente sabor o saca una cucharada del mismo.

Si quisieramos helado de dos de limón y mango sería:

-> -> O O -> -> ->-> O

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Entonces podemos elegir el cono de esta forma:

C - V - L - F - N - G - M

Como otro ejemplo, si quisieramos galleta, chocolate y vainilla sería:

O -> O -> -> ->-> O ->

¿Hagamos un ejemplo, que helado quieren?

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¿Como podemos hacer el cálculo?

Si tomamos los dos ejemplos anteriores, vemos que lo que hicimos fue:

O -> O -> -> ->-> O ->

-> -> O O -> -> ->-> O

Si revisamos estamos combinando las 3 cucharadas y los 6 desplazamientos.

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¿Como podemos hacer el cálculo?

Por lo tanto

C R^{​ 3 ​ 7 ​ ​} = C^{​ 3 ​ 9 ​ ​} = \frac{​ 9 ! ​ ​}{​ ( 9 - 3 ) ! \cdot 3 ! ​} = 84

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¿Como podemos hacer el cálculo?

Para movernos del primer al último elemento tenemos que hacer n-1 desplazamientos, y durante esos desplazamientos vamos a elegir r veces.

C R^{​ r ​ n ​ ​} = C^{​ r ​ n - 1 + r ​ ​}

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O si sustituimos

C R^{​ r ​ n ​ ​} = C^{​ r ​ n - 1 + r ​ ​}

C^{​ r ​ n - 1 + r ​ ​} = \frac{​ ( n - 1 + r ) ! ​ ​}{​ ( n - 1 + r - r ) ! r ! ​} = \frac{​ ( n - 1 + r ) ! ​ ​}{​ ( n - 1 ) ! r ! ​}

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Combinaciones con repetición

C R^{​ r ​ n ​ ​} = \frac{​ ( n - 1 + r ) ! ​ ​}{​ ( n - 1 ) ! r ! ​}

C R^{​ r ​ n ​ ​} = C^{​ r ​ n + r - 1 ​ ​}

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¿De cuántas maneras se pueden rifar 3 Play Station 5 si una persona puede resultar ganador varias veces y participan 15 personas?

C R^{​ 3 ​ 15 ​ ​} = C^{​ 3 ​ 15 + 3 - 1 ​ ​} = C^{​ 3 ​ 17 ​ ​}

C^{​ 3 ​ 17 ​ ​} = \frac{​ 1 7 ! ​ ​}{​ ( 1 7 - 3 ) ! \cdot 3 ! ​} = \frac{​ 1 7 ! ​ ​}{​ 1 4 ! \cdot 3 ! ​} = \frac{​ 1 7 \cdot 1 6 \cdot 1 5 ​ ​}{​ 3 \cdot 2 1 ​} = 17 \cdot 8 \cdot 5 = 680

C R^{​ 3 ​ 15 ​ ​} = \frac{​ ( 1 5 + 3 - 1 ) ! ​ ​}{​ ( 1 5 - 1 ) ! \cdot 3 ! ​} = \frac{​ 1 7 ! ​ ​}{​ 1 4 ! \cdot 3 ! ​} = 680

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Para un popular juego, el jugador puede utilizar 4 personajes, cada uno de ellos con uno de 6 elementos distintos. ¿Cuántas combinaciones de elementos pueden utilizar?

C R^{​ 4 ​ 6 ​ ​} = C^{​ 4 ​ 6 + 4 - 1 ​ ​} = C^{​ 4 ​ 9 ​ ​}

C R^{​ 4 ​ 6 ​ ​} = 126

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