Progresiones Aritméticas

Progresion aritmética

Aquellas sucesiones que se obtienen al sumar un mismo valor a cada término anterior.

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Progresion aritmética

Aquellas sucesiones que se obtienen al sumar un mismo valor a cada término anterior.

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Progresión arimtética

A= {2,4,6,8,10,12,...}

Va de 2 en dos, entonces si le sumo 2 a un término obtengo el siguiente.

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Terminología:

Primer término =
Término "n" =
Diferencia entre términos = d
Cantidad de términos = n

a^{​ 1 ​ ​}

a^{​ n ​ ​}

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Regla de correspondencia:

A = {5, 7, 9, 11, 13, . . .}

a^{​ 1 ​ ​} = 5

a^{​ 2 ​ ​} = 5 + 2

a^{​ 3 ​ ​} = 5 + 2 (2)

a^{​ 1 ​ ​} = 5

a^{​ 2 ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} + d

a^{​ 3 ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} + d (2)

a^{​ 4 ​ ​} = 5 + 2 (3)

a^{​ 4 ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} + d (3)

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Regla de correspondencia:

a^{​ n ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} + d (n - 1)

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Ejemplo:

Calcule el viigésimo término de una progresión aritmética con valor inicial 2 y diferencia de 7

a^{​ n ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} + d (n - 1)

a^{​ 1 ​ ​} = 2 n = 20 d = 7

a^{​ 20 ​ ​} = 2 + 7 (20 - 1)

a^{​ 20 ​ ​} = 135

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Ejemplo:

Calcule el término 81 de una progresión artimética con valor inicial -100 y una diferencia de 4

a^{​ n ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} + d (n - 1)

a^{​ 1 ​ ​} = - 100 n = 81 d = 4

a^{​ 81 ​ ​} = - 100 + 4 (81 - 1)

a^{​ 81 ​ ​} = 220

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No siempre se tienen todos los términos desde un inicio,

o no siempre queremos el valor final.

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Ejemplo:

Determine el termino 20 de la progresión aritmética dada por:

a^{​ n ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} + d (n - 1)

a^{​ 1 ​ ​} = ? n = 20 d = ?

A = {7, 9, 11, 13, 15, . . .}

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Ejemplo:

Determine el termino 20 de la progresión aritmética dada por:

a^{​ n ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} + d (n - 1)

a^{​ 1 ​ ​} = 7 n = 20 d = 2

a^{​ 20 ​ ​} = 7 + 2 (20 - 1)

a^{​ 20 ​ ​} = 45

A = {7, 9, 11, 13, 15, . . .}

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Ejemplo:

Determine el termino 9 de la progresión aritmética dada por:

a^{​ n ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} + d (n - 1)

a^{​ 1 ​ ​} = ? n = 9 d = ?

A = {\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​}, \frac{​ 1 0 ​ ​}{​ 2 1 ​}, \frac{​ 1 3 ​ ​}{​ 2 1 ​}, . . .}

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Ejemplo:

Determine el termino 9 de la progresión aritmética dada por:

a^{​ 1 ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} n = 9 d = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 7 ​}

a^{​ 9 ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 7 ​} (9 - 1) = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} + \frac{​ 8 ​ ​}{​ 7 ​} = \frac{​ 3 1 ​ ​}{​ 2 1 ​}

A = {\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​}, \frac{​ 1 0 ​ ​}{​ 2 1 ​}, \frac{​ 1 3 ​ ​}{​ 2 1 ​}, . . .}

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Ejemplo:

Si el octavo término de una progresión aritmética es 17 y el primer término es -4, ¿Cuál es la diferencia?

a^{​ 8 ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} + d (8 - 1)

17 = - 4 + d (8 - 1)

a^{​ 8 ​ ​} = 17

21 = 7 d

d = 3

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Ejemplo:

Si el primer término de una progresión aritmética es 4 y tiene una diferencia de 11, qué término está más cerca del 100 (recuerda que no hay términos fracción)

100 = 4 + 11 (n - 1)

100 - 4 = 11 (n - 1)

a^{​ 1 ​ ​} = 4 d = 11

\frac{​ 9 6 ​ ​}{​ 1 1 ​} = n - 1

9 = n - 1

n = 10

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Es necesario saber despejar, ¿necesitamos verlo?

Busqué algunos videos para recordarlo pero ninguno me convenció...

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Despejes:

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Series Aritméticas

La suma de términos de una progresión aritmética

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Serie aritmética

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = a^{​ 1 ​ ​} + (a^{​ 1 ​ ​} + d) + (a^{​ 1 ​ ​} + 2 d) + . . . + (a^{​ 1 ​ ​} + (n - 2) d) + (a^{​ 1 ​ ​} + (n - 1) d)

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = a^{​ 1 ​ ​} + a^{​ 2 ​ ​} + a^{​ 3 ​ ​} + . . . + a^{​ n - 1 ​ ​} + a^{​ n ​ ​}

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Serie aritmética

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = a^{​ 1 ​ ​} + (a^{​ 1 ​ ​} + d) + (a^{​ 1 ​ ​} + 2 d) + . . . + (a^{​ 1 ​ ​} + (n - 2) d) + (a^{​ 1 ​ ​} + (n - 1) d)

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = a^{​ 1 ​ ​} + a^{​ 2 ​ ​} + a^{​ 3 ​ ​} + . . . + a^{​ n - 1 ​ ​} + a^{​ n ​ ​}

Si emparejamos al primero con el último, segundo con el penúltimo etc:

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = (a^{​ 1 ​ ​} + a^{​ n ​ ​}) + (a^{​ 1 ​ ​} + d + a^{​ 1 ​ ​} + (n - 2) d) + . . .

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Serie aritmética

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = a^{​ 1 ​ ​} + (a^{​ 1 ​ ​} + d) + (a^{​ 1 ​ ​} + 2 d) + . . . + (a^{​ 1 ​ ​} + (n - 2) d) + (a^{​ 1 ​ ​} + (n - 1) d)

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = a^{​ 1 ​ ​} + a^{​ 2 ​ ​} + a^{​ 3 ​ ​} + . . . + a^{​ n - 1 ​ ​} + a^{​ n ​ ​}

Si emparejamos al primero con el último, segundo con el penúltimo etc:

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = (a^{​ 1 ​ ​} + a^{​ n ​ ​}) + (a^{​ 1 ​ ​} + d + a^{​ 1 ​ ​} + (n - 2) d) + . . .

Sumamos las "d" de nuestro paréntesis:

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = (a^{​ 1 ​ ​} + a^{​ n ​ ​}) + (a^{​ 1 ​ ​} + a^{​ 1 ​ ​} + (n - 1) d) + . . . = (a^{​ 1 ​ ​} + a^{​ n ​ ​}) + (a^{​ 1 ​ ​} + a^{​ n ​ ​}) + . . .

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Serie aritmética

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = (a^{​ 1 ​ ​} + a^{​ n ​ ​}) + (a^{​ 1 ​ ​} + a^{​ n ​ ​}) + . . .

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = \frac{​ n ( a ^{​ 1 ​ ​} + a ^{​ n ​ ​} ) ​ ​}{​ 2 ​}

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Serie aritmética

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = \frac{​ n ( a ^{​ 1 ​ ​} + a ^{​ n ​ ​} ) ​ ​}{​ 2 ​} = \frac{​ n ​ ​}{​ 2 ​} (a^{​ 1 ​ ​} + a^{​ n ​ ​})

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = \frac{​ n ​ ​}{​ 2 ​} (2 a^{​ 1 ​ ​} + (n - 1) d)

Fórmulas si contamos con el valor inicial y el final.

Fórmula si no contamos con el valor final.

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Ejemplo:

Obtener la serie aritmética hasta el término 11 de la siguiente progresión

A = {2, 6, 10, 14, . . .}

a^{​ 1 ​ ​} = 2 n = 11 d = 4

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = \frac{​ n ​ ​}{​ 2 ​} (2 a^{​ 1 ​ ​} + (n - 1) d)

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (11) = \frac{​ 1 1 ​ ​}{​ 2 ​} (2 (2) + (11 - 1) 4) = \frac{​ 1 1 ​ ​}{​ 2 ​} (4 + (10) \cdot 4) = \frac{​ 1 1 ​ ​}{​ 2 ​} (44) = 242

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Ejemplo:

Si la serie aritmética de 20 términos es 590 y la distancia 3, Calcula valor inicial

a^{​ 1 ​ ​} = ? n = 20 d = 3 \sum = 590

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = \frac{​ n ​ ​}{​ 2 ​} (2 a^{​ 1 ​ ​} + (n - 1) d)

590 = \frac{​ 2 0 ​ ​}{​ 2 ​} (2 a^{​ 1 ​ ​} + (20 - 1) 3)

590 = 10 (2 a^{​ 1 ​ ​} + 57)

\frac{​ 5 9 0 ​ ​}{​ 1 0 ​} = (2 a^{​ 1 ​ ​} + 57)

59 = (2 a^{​ 1 ​ ​} + 57)

59 - 57 = 2 a^{​ 1 ​ ​}

\frac{​ 2 ​ ​}{​ 2 ​} = a^{​ 1 ​ ​}

a^{​ 1 ​ ​} = 1

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Progresiones Aritméticas

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