Combinatoriek

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 3

combinatoriek

Combinatoriek

De coach van een bastketballteam beschikt over een basisteam van twaalf spelers. Op hoeveel manieren kan hij een team van vijf spelers samenstellen?

De coach kan op 

12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95040 manieren 

een team van vijf spelers samenstellen uit een selectie van 12 spelers. 

Voor de eerste speler kan hij kiezen uit 12 spelers, voor de tweede speler uit 11, etc. tot hij een team van vijf spelers heeft. 

Artikelcode met twee letters en drie cijfers. Hoeveel verschillende artikelcodes zijn mogelijk?

1. 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
2. 26 x 1 x 10 x 9 x 8 = 18720
3. 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 676000
4. 1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720

Artikelcode met twee letters en drie cijfers. Hoeveel verschillende artikelcodes zijn mogelijk wanneer elke letter en elk cijfer maar één keer gebruikt mag worden?

1. 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
2. 26 x 1 x 10 x 9 x 8 = 18720
3. 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 676000
4. 1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720

Hoeveel mogelijkheden zijn er wanneer de code begint met een A, eindigt met een 0, en er geen herhalingen zijn?

1. 1 x 25 x 9 x 8 x 7 = 12600
2. 1 x 25 x 10 x 9 x 8 = 18000
3. 1 x 26 x 10 x 9 x 1 = 2340
4. 1 x 25 x 9 x 8 x 1 = 1800

 Hoeveel verschillende codes zijn er mogelijk wanneer een code begint met twee dezelfde letters en elk cijfer maar één keer gebruikt mag worden?

1. 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
2. 26 x 1 x 10 x 9 x 8 = 18720
3. 26 x 26 x 10 x 9 x 8 = 486720
4. 1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720

Hoeveel getallen zijn mogelijk met alleen maar oneven cijfers?

Op hoeveel manieren kun je via A naar D lopen via C?

Op hoeveel manieren kun je van A naar D lopen via B?

Op hoeveel manieren kun je in totaal van A naar D lopen?

1. 2+3+4+3=13
2. 2 x 3 +4 x 3 = 18
3. 2 x 3 x 4 x 3 = 72

Je kunt óf via C (de bovenkant) óf via B (de onderkant) naar D lopen. Via C kan op 6 manieren en via B op 12 manieren. Vanuit A kun je dus op 18 manieren naar D lopen. 

Je kunt niet via C én B naar D lopen!

Hoeveel uitkomsten zijn er met alleen geel?

Hoeveel uitkomsten zijn er met drie keer dezelfde kleur?

Aantal uitkomsten met drie keer geel:

2 x 1 x 2 = 4

Aantal uitkomsten met drie keer blauw:

2 x 1 x 1 = 2 

Aantal uitkomsten met drie keer rood:

0 x 1 x 3 = 0

Aantal uitkomsten met óf drie keer geel óf drie keer blauw óf drie keer rood:

4 + 2 + 0 = 6

Voor een gelijke kleur moeten schijf 1 én schijf 2 én schijf III dezelfde kleur aangeven --> vermenigvuldigingsregel

Bij eenzelfde kleur voor alle drie de schijven moeten ze óf allemaal blauw óf allemaal geel óf allemaal rood  zijn --> somregel. De mogelijkheden voor drie rode, gele en blauwe schijven moeten dan bij elkaar worden opgeteld. 

De somregel:

Een gecombineerde handeling die bestaat uit handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd óf handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd, kan op p + q manieren worden uitgevoerd. 

Op een club zitten 6 jongens en 4 meisjes. Op een clubavond zetten de leden hun fiets in het rek voor het clubhuis. Op hoeveel manieren kunnen ze dit doen als:

a) er geen beperkingen zijn?

Dit kan op 11! = 39916800 manieren

Het is een permutatie. De volgorde doet er toe.

Op een club zitten 6 jongens en 4 meisjes. Op een clubavond zetten de leden hun fiets in het rek voor het clubhuis. Op hoeveel manieren kunnen ze dit doen als:

a) de jongensfietsen naast elkaar moeten staan?

6 jongensfietsen en 4 meisjesfietsen en de jongensfietsen moeten naast elkaar staan:

Beschouw eerst de jongensfietsen als één fiets. Dan zijn er (4+1) = 5! mogelijkheden. De jongensfietsen kunnen onderling ook in verschillende volgorde staan, dus nog vermenigvuldigen met 6!

Antwoord: 5! ^. 6! = 86400 mogelijkheden

Op een club zitten 6 jongens en 4 meisjes. Op een clubavond zetten de leden hun fiets in het rek voor het clubhuis. Op hoeveel manieren kunnen ze dit doen als:

a) de meisjesfietsen naast elkaar moeten staan?

6 jongensfietsen en 4 meisjesfietsen en de meisjesfietsen moeten naast elkaar staan:

Beschouw eerst de meisjesfietsen als één fiets. Dan zijn er (6+1) = 7! mogelijkheden. De meisjesfietsen kunnen onderling ook in verschillende volgorde staan, dus nog vermenigvuldigen met 4!

Antwoord: 7! ^. 4! = 120960 mogelijkheden

Op een club zitten 6 jongens en 4 meisjes. Op een clubavond zetten de leden hun fiets in het rek voor het clubhuis. Op hoeveel manieren kunnen ze dit doen als:

a)  zowel de jongens- als de meisjesfietsen naast elkaar moeten staan?

6 jongensfietsen en 4 meisjesfietsen en de meisjesfietsen moeten naast elkaar staan:

Beschouw eerst zowel de jongens- als de meisjesfietsen als één fiets. Dan zijn er (1+1)! = 2! mogelijkheden. De meisjesfietsen en jongensfietsen kunnen onderling ook in verschillende volgorde staan, dus nog vermenigvuldigen met 4! en 6!

Antwoord: 2! ^. 6! ^. 4! = 34560 mogelijkheden

In een doos zitten 6 rode, 3 witte en 7 blauwe knikkers. Peter pakt 5 knikkers uit de doos. Hoeveel vijftallen zijn mogelijk met:

4 blauwe knikkers

6 rode knikkers

3 witte knikkers

7 blauwe knikkers

Er worden 4 blauwe knikkers gepakt

7 nCr 4 = 35

Er wordt nog één van de andere 9 knikkers gepakt. De kleur is niet van belang.

9 nCr 1 = 9

Antwoord: 9 x 35 = 315 mogelijkheden

In een doos zitten 6 rode, 3 witte en 7 blauwe knikkers. Peter pakt 5 knikkers uit de doos. Hoeveel vijftallen zijn mogelijk met:

geen enkele witte knikker?

6 rode knikkers

3 witte knikkers

7 blauwe knikkers

Er wordt geen enkele witte knikker gepakt

3 nCr 0 = 1

Er worden vijf van de andere 13 knikkers gepakt. De kleur is niet van belang.

13 nCr 5 = 1287

Antwoord: 1 x 1287 = 1287 mogelijkheden

In een doos zitten 6 rode, 3 witte en 7 blauwe knikkers. Peter pakt 5 knikkers uit de doos. Hoeveel vijftallen zijn mogelijk met:

minder dan 2 witte knikkers?

6 rode knikkers

3 witte knikkers

7 blauwe knikkers

Er wordt één of geen enkele witte knikker gepakt.

Geen enkele witte knikker was 1287 mogelijkheden

Eén witte knikker:

3 nCr 1 = 3

Er worden vier van de andere 13 knikkers gepakt. De kleur is niet van belang.

13 nCr 4 = 715

Aantal mogelijkheden 1 witte knikker: 3 x 715 = 2145

Antwoord:  1287 + 2145 = 3432 mogelijkheden

EINDE