Beweging - De raaklijn

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 4

Beweging

De raaklijn

Hoofdstuk Beweging

Beweging - De raaklijn

Beweging - De oppervlaktemethode

Beweging - De valversnelling

Beweging - Gemiddelde snelheid

Beweging - Versnelling

Beweging - (v,t)-diagram

Beweging - (x,t)-diagram

Leerdoelen

Aan het eind van de les kan je...

... de formule voor de momentale snelheid en versnelling begrijpen en toepassen

... een correcte raaklijn tekenen

Raaklijn

In het diagram rechtsonder is de snelheid v niet constant in het (xt)-diagram. Om dan toch de snelheid op (bijvoorbeeld) tijdstip t_A = 1,65 s te kunnen bepalen, moet je de momentale snelheid op dat tijdstip bepalen.

Simpelweg de positie x bepalen op t_A = 1,65 s en x door t delen, is niet correct. Immers, we bepalen de snelheid met de formule:

Met alleen een enkele x en een enkele t hebben we nog geen Δx en Δt, dus kunnen we hier geen snelheid mee bepalen.

v​gem​​=​Δt​​Δx​​=​t​e​​−t​b​​​​x​e​​−x​b​​​​

Raaklijn

Kijk nog eens goed naar het diagram; de snelheid verandert in de tijd. De snelheid is direct gelinkt aan de helling van de kromme. De helling kan je niet bepalen uit een waarde van een enkele x en een enkele t alleen.

Om de snelheid in A te bepalen, moet de snelheid in A bepaald worden met een Δx en Δt. 

Er moet een lijn getekend worden die de helling zo
 goed mogelijk raakt, een raaklijn. Uit die raaklijn kan wel een Δx en Δt bepaald worden, en dan ook de snelheid in A.

Raaklijn

Een raaklijn kan je heel klein tekenen zoals in de figuur hieronder (links), maar dat is onvoldoende. Je kan een Δx en een Δt bepalen, maar die zijn wel erg klein en daardoor kunnen er fouten gemaakt worden bij het bepalen van Δx en Δt.

Ook kan de raaklijn het punt in A niet goed raken waardoor fouten kunnen gemaakt worden. 

Neem dan de raaklijn zo lang mogelijk zoals in het rechtse

diagram. Zodoende kan je nauwkeurig een Δx en Δt bepalen.

Raaklijn

Met die Δx en Δt kan je de momentale snelheid berekenen

met de volgende formule:

waarin:

v_t   = momentale snelheid (m/s)

Δx = verplaatsing (m)

Δt = tijdstoename (s)

... staat erbij om aan te geven dat er Δx en Δt gebruikt zijn om de momentale snelheid uit te rekenen. Schrijf dit er ook bij!

Er geldt dat hoe steiler de raaklijn loopt, hoe groter de snelheid is.

v​t​​=(​Δt​​Δx​​)​raaklijn​​

(...)​raaklijn​​

v​t=1,65 s​​=(​Δt​​Δx​​)​raaklijn​​

→v​t=1,65 s​​=​6,0−0​​4,85−0,85​​=0,67 m⋅s​−1​​

Raaklijn

Op een vergelijkbare manier kan je ook met Δv en Δt de momentale versnelling berekenen met de formule:

waarin:

a_t   = momentale versnelling (m/s²)

Δv = snelheidsverandering (m)

Δt = tijdstoename (s)

... staat erbij om aan te geven dat er Δv en Δt gebruikt zijn om de momentale versnelling uit te rekenen. Schrijf dit er ook bij!

Er geldt dat hoe steiler de raaklijn loopt, hoe groter de versnelling is.

a​t​​=(​Δt​​Δv​​)​raaklijn​​

(...)​raaklijn​​

a​t=1,65 s​​=(​Δt​​Δv​​)​raaklijn​​

→a​t=1,65 s​​=​6,0−0​​4,85−0,85​​=0,67 m⋅s​−2​​

Opgaven

Opgave 1

Bereken de snelheid op tijdstip t = 2,0 s.

Opgave 2

Bereken de snelheid op tijdstip t = 5,0 s.

Opgaven

Opgave 3

Bereken de beginsnelheid, de eindsnelheid en de snelheid op tijdstip t = 3,0 s.

Opgave 4

In het onderstaande diagram wordt de beweging van een bal beschreven die over de grond rolt en tot stilstand komt. Op tijdstip t = 0 s werd de bal losgelaten. Wat was de beginsnelheid van de bal?

Opgaven

Opgave 5

Bereken de maximale snelheid in het volgende diagram.

Opgave 6

Bereken de versnelling op tijdstip t = 20 s.

Opgaven

Opgave 7

Hieronder is de beweging van een optrekkende auto beschreven. Bereken de maximale versnelling en de maximale snelheid tijdens de beweging.

Opgave 8

Bereken de versnelling op tijdstip t = 1,0 s en t = 4,0 s.

Opgaven