4V wis B: 6.1 Toppen en buigpunten

• wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

6.1 Toppen en buigpunten

Ik kan de extreme waarden van een functie algebraïsch berekenen met behulp van de afgeleide

Ik kan de coördinaten van een buigpunt algebraïsch berekenen met behulp van de tweede afgeleide

Ik kan algebraïsch een buigraaklijn opstellen

Als een functie een extreme waarde heeft, dan weet je dat...

Tekst

1. De afgeleide een minimum heeft
2. De afgeleide een maximum heeft
3. De afgeleide nul is
4. De afgeleide negatief is

Heeft f(x) altijd een extreme waarde als f'(x)=0?

Vb. 

Zijn dat allemaal x-coördinaten van extreme waarden?

f(x)=2x​5​​−6x​3​​

f​′​​(x)=10x​4​​−18x​2​​=0

x=0⋁x=√​1​5​​4​​​​​⋁x=−√​1​5​​4​​​​​

Nee!

Bij x=0 hebben we geen extreme waarde. 

Wat is het dan wel?

Kun je verklaren waarom de afgeleide daar ook nul is?

In welke termen kun je de helling van de grafiek omschrijven?

De grafiek van f heeft een buigpunt als de afgeleide van f een extreme waarde heeft. 

Dat is dus als de tweede afgeleide van f een nulpunt heeft!

originele grafiek en tweede afgeleide in één figuur. Nulpunten van de tweede afgeleide zijn aangegeven. 

Een buigraaklijn opstellen

We hebben nodig:

Noteer voor jezelf de functie alvast

f(x)=​3​​1​​x​3​​−3x​2​​+6x+4

f​′​​(x)

f​′′​​(x)

Stap voor stap samen uitwerken

Stel de eerste afgeleide op van

f(x)=​3​​1​​x​3​​−3x​2​​+6x+4

Stel de tweede afgeleide op van

f(x)=​3​​1​​x​3​​−3x​2​​+6x+4

Los op:

f​′′​​(x)=0

Bereken de helling voor x=3

Bereken f(3) en noteer het buigpunt

Stel de buigraaklijn aan f op in de vorm y=ax+b

Nieuw inzichten