Hoe snel flapte een dino met zijn vleugels?

• Biologie
• Wiskunde
• +2
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4-6

Introduction

In deze les gaan leerlingen aan de slag met gegevens van allerlei gevleugelden (vogels, insecten, vleermuizen) om een relatie aan te tonen tussen gewicht, vleugeloppervlak en 'flapfrequentie'. Ze maken grafieken in Excel, leren werken met logaritmische schalen, en proberen een door wetenschappers gevonden formule te bevestigen. Daar komt nogal wat wiskunde aan te pas. Tegelijk is het een biologische toepassing. Uiteindelijk kunnen ze uitrekenen wat de flapfrequentie van een (uiteraard uitgestorven) dino geweest zou kunnen zijn.

Instructions

Voorkennis van leerlingen

Voorkennis van logaritmen is handig. Als leerlingen niet bekend zijn met het begrip logaritme, is extra uitleg beschikbaar binnen de LessonUp. De les wordt daarmee wel langer. Ook kennis van het werken met Excel is handig.

Voorbereiding voor de docent

Deze les kan door leerlingen zelfstandig doorlopen worden, maar uitleg van een docent is waarschijnlijk nodig. Een klassikale start wordt aangeraden.

Voor de opdracht is de Excelfile nodig.

Leerdoelen / vaardigheden

Na deze les kunnen leerlingen:

...uit onderzoeksgegevens een verband vinden.

...in Excel grafieken maken o.a. met een logaritmische schaal en trendlijn.

... berekenen hoe snel Quetzalcoatlus northropi met zijn vleugels fladderde.

Aansluiting curriculum

Wiskunde: werken met en interpreteren van grafieken in Excel, gebruik van logaritmische schaal

Biologie: Evolutie en beweging

Ondertitel

Een les over flapfrequentie, met formules, grafieken, en logaritmes. 

En dino's dus.

Hoe snel flapte een dino met zijn vleugels? 

Les 1. Wat is creativiteit?

Informatie voor de docent

Vooraf

Verdeel de leerlingen in groepjes van 2 leerlingen.

Benodigdheden

Iconen

Zet het vinkje 'toon bij leerling' aan

Toon notities bij elke dia

Navigeren door de les

download het werkblad 

Vergroot een afbeelding

Klik hier

Hotspot met meer informatie

laptop voor elke leerling

rekenmachine voor elke leerling

Les 1. Wat is creativiteit?

Leerdoelen

Na deze les...

• ...kun je uit onderzoeksgegevens een verband vinden. 
• ...kun je in Excel grafieken maken o.a. met een logaritmische schaal en trendlijn.
• ...kun je berekenen hoe snel Quetzalcoatlus northropi met zijn vleugels fladderde.

Les 1. Wat is creativiteit?

Bio Quetzalcoatlus northropi

* Grootste vliegende dino

* Behorend tot de pterosauriërs

* Eerste ontdekking in 1971 in Texas (VS)

* Geschatte ouderdom: 68 miljoen jaar

* Geschat gewicht: 65 kg

* Spanwijdte vleugels: 10 meter

* Vleugeloppervlak: 10 m² 

gewichtige wetenschap

In de literatuur is men het niet erg eens over het gewicht van deze dino. De schattingen lopen uiteen van 70kg tot 250kg. Omdat er weinig (complete) skeletten gevonden zijn is het gewicht ook lastig vast te stellen. De laatste publicatie houdt het op 65 kg.

Les 1. Wat is creativiteit?

Even vergelijken

Hier zie je een vergelijking in grootte tussen de mens (zwart) en Quetzalcoatlus northropi (rood) en Quetzalcoatlus lawsoni (geel). Die laatste is het kleine 'broertje' van onze dino.

Gebaseerd op: Martyniuk et al. (2008)

10 meter

Les 1. Wat is creativiteit?

En nog eens vergelijken

Gebaseerd op: The Nature Box (2019)

Om je een idee te geven: de Quetzalcoatlus northropi (links) vergeleken met een Cessna 172 (rechts).

Les 1. Wat is creativiteit?

Flapfrequentie?

De vraag is nu: Hoe snel zou deze grote dino met zijn vleugels geflapperd hebben?

Om dat te kunnen berekenen hebben onderzoekers gekeken naar nu levende flapperaars: vogels, vleermuizen, vlinders, maar ook bijv. pinguins. Ze hebben gezocht naar een wetmatigheid, die in een formule te vangen is.

Daarmee zou je de flapfrequentie van onze dino kunnen berekenen.

We kijken nu eerst naar de nu levende flapperaars.

Les 1. Wat is creativiteit?

Vleugels in soorten

Vogels hebben vleugels, insecten ook, net zoals vleermuizen.

Zeezoogdieren hebben flippers of vinnen.

Het doel van deze flippers, vinnen en vleugels is om in lucht of in water vooruit te komen.

Evolutionair gezien zijn de vleugels van vogels en die van insecten niet uit dezelfde structuur ontstaan; dit is een voorbeeld van analogie (soortgelijke functie maar andere oorsprong).

Van welke factoren zou de 'flapfrequentie' afhankelijk kunnen zijn?

flapfrequentie?

Daarmee bedoelen we hoe vaak een vleugel of vin per seconde beweegt. De flapfrequentie wordt uitgedrukt in Hz (Herz): het aantal slagen per seconde.

Toelichting

Leerlingen worden uitgedaagd om na te denken over factoren die van invloed zouden kunnen zijn. Waarschijnlijk zullen genoemd worden:

- massa / gewicht

- vleugeloppervlak / grootte van de vleugels / lengte van de vleugels

- temperatuur

- leeftijd van het dier

- luchtdruk

- windsnelheid

-....

Les 1. Wat is creativiteit?

Meten aan gevleugelden

Wetenschappers meten al jaren aan vleugels en vinnen.

In het Excelbestand waar je straks mee gaat werken vind je gegevens van een klein aantal soorten. In werkelijkheid zijn er veel en veel meer gegevens.

Gemeten zijn de massa van het dier (m in kg), het oppervlak van de vleugels (A in m²) en de flapfrequentie (f in Hz).

Aan jou (straks) de taak om uit deze gegevens een verband te vinden, een formule die de relatie tussen de flapfrequentie en de andere gegevens beschrijft.

Er volgt nu eerst uitleg over logaritmes en logaritmische schalen.

massa m

oppervlakte A

frequentie f

Les 1. Wat is creativiteit?

De grafiek is uit héél veel gegevens ontstaan.

Rechte lijn (let op: logaritmische schalen) waar vogels, vleermuizen, vlinders, muggen, walvissen etc. op passen.

Waar staat het sterretje voor?

bron: Jensen et al (2024)

Toelichting

Leerlingen gaan straks ook zo'n soort lijn maken in Excel. Dit is wat er uit wetenschappelijk onderzoek kwam. 

Het blijkt dat alle soorten min of meer op de rechte lijn passen!

Ook de robot-vogel past (dat is het sterretje).

Als er een vraag komt over de 'uncorrected swimming data' dan kun je vertellen dat er gecorrigeerd moet worden voor de andere eigenschappen van water ten opzichte van lucht. Is die correctie toegepast, dan passen deze waterdieren ook in het model.

In de volgende dia's wordt uitgelegd wat logaritmes zijn en wordt het gebruik van logaritmische schalen toegelicht. Deze dia's kunnen - als deze kennis al aangebracht is - gemakkelijk worden overgeslagen. Ga dan verder bij dia 17.

Les 1. Wat is creativiteit?

Klik op de hotspot voor uitgebreide uitleg over het gebruik van logaritmische schalen in grafieken.

Lees dit hele verhaal aandachtig door, bekijk bij voorkeur ook het filmpje (geeft inzicht in machten, groot en klein).

Maak aan het eind opdracht 1-2-3. Uitwerkingen staan onderaan!

Logaritme (log) staat op je rekenmachine. Vind vooral uit hoe dat werkt.

Uitleg logaritme

uitleg logaritme in grafieken

https://www.hhofstede.nl/modules/logschaal.htm

Toelichting

Als logaritmes nog niet behandeld zijn bij wiskunde, is het verstandig om de link in deze dia te volgen. Dit kost wel vrij veel tijd, waardoor deze LessonUp-les niet meer binnen één les past.

In de volgende dia's wordt uitgelegd wat logaritmes zijn en wordt het gebruik van logaritmische schalen toegelicht. Deze dia's kunnen - als deze kennis al aangebracht is - gemakkelijk worden overgeslagen. Ga dan verder bij dia 17

Vraag

Bereken het logaritme ¹⁰log(1000)=

1. 10
2. 3
3. 4
4. geen idee

Les 1. Wat is creativiteit?

Op je rekenmachine zit een knopje met 'log', dat staat voor logaritme.

Als je niks anders intypt, is dit de zogenaamde 10-log, dus het getal dat je na het intypen van de log-knop intypt (bijv. 1000, zoals in de vorige vraag) geeft als antwoord '3', want 10³ = 1000.

Probeer eens een paar getallen, om er gevoel voor te krijgen. 

Wat is bijv. ¹⁰log (1)?

 logaritme op je rekenmachine

Antwoord

¹⁰log (1) = 0, want 10⁰ = 1

Vraag

De grafiek die we eerder zagen, had logaritmische assen. Wat zou het nut daarvan kunnen zijn?

1. het spaart papier
2. je kunt hele grote én hele kleine getallen presenteren
3. het maakt grafieken makkelijker afleesbaar
4. met logaritmische assen krijg je altijd een rechte lijn

Toelichting

A is juist, want je krimpt de assen als het ware in. Daarmee is B dus ook waar.

C is niet juist, want je krijgt gemakkelijk een vertekend beeld (als je niet goed naar de assen kijkt, of niet weet wat logaritmisch is). Je moet dus juist erg goed kijken om zo'n grafiek af te kunnen lezen.

Les 1. Wat is creativiteit?

Voorbeeld van gebruik van logaritmische schaal

Verband tussen lichaamsgewicht (log B) en hersengewicht (log H) 

Gebaseerd op Hofstede (z.d.)

Toelichting

Dit voorbeeld laat zien hoe een grafiek met logaritmische schaal eruit kan zien.  Deze grafiek heeft twee logaritmische assen, waardoor aflezen best ingewikkeld is. Dit type grafiek dient vooral om het gevonden verband aan te tonen.

Een vergelijkbare grafiek staat overigens in examen HAVO wiskunde B 2010 2e tijdvak.

Les 1. Wat is creativiteit?

Dus: insecten, vogels en vleermuizen in de lucht, en walvissen en pinguins onder water, slaan allemaal met hun vleugels of flippers met een frequentie die voldoet aan precies dezelfde wetmatigheid.

Flapfrequentie f is rechtevenredig met              ofwel  

En dat is opmerkelijk, want vlieg- en zwemkunst zijn in veel diergroepen geheel onafhankelijk van elkaar geëvolueerd. 

Vogels en vleermuizen: vleugels zijn aangepaste voorpoten

Insecten: vleugels zijn uitgroeisels van het chitinepantser 

Algemene formule...

f∝​A​​√​m​​​​​

​A​​√​m​​​​​

Vraag

Hoe noem je structuren zoals insectenvleugels en vogelvleugels: zelfde functie maar andere (evolutionaire) ontstaanswijze?

1. homoloog
2. analoog
3. rudimentair
4. convergent

Toelichting

Oplettende leerlingen hadden dit antwoord eerder in de les kunnen oppikken ;)

Les 1. Wat is creativiteit?

Wetenschappers kunnen leuke dingen publiceren, maar klopt dit allemaal wel? Aan jou de taak om dit te controleren.

Gebruik de gegevens uit het Excelbestand.

(Klik op de link; ga naar 'File'; ga naar 'Download'; klik op 'Microsoft Excel')

Volg de instructies in het Excelbestand nauwkeurig!

Kun je aan de hand van de gegevens aantonen dat geldt dat de flapfrequentie f rechtevenredig 

is met              ofwel                    ?

 Opdracht: check de wetenschappers

f∝​A​​√​m​​​​​

​A​​√​m​​​​​

Download hier het Excel

https://4tuschools.nl/sitelibrary/downloads/ondersteunend-materiaal-lesaanbod/4TU.Schools-Werkblad-Hoe-snel-flapte-een-dino-met-zijn-vleugels.xlsx

Toelichting

Vanaf hier gaan de leerlingen (in duo's?) aan de slag met Excel. In de volgende dia staat de uitwerking van de laatste opdracht, zodat leerlingen zichzelf uiteindelijk kunnen controleren.

Les 1. Wat is creativiteit?

Uitwerking

log(f)=1,0083⋅log(​A​​√​m​​​​​)−0,0618

Les 1. Wat is creativiteit?

Je hebt de formule die de wetenschappers gevonden hebben gecontroleerd. Nu kunnen we de formule gebruiken om te bepalen hoe vaak 'onze dino' per seconde flapperde met zijn vleugels. 

Opdracht

Bereken de flapfrequentie van Quetzalcoatlus northropi.

Gegevens

Gebruik deze gegevens uit de bio van deze dino:

Gewicht: 65 kg

Vleugeloppervlakte: 10 m2

Vergelijking 

 Eindopdracht: flapfrequentie van Q. northropi

f≈0,88⋅​A​​√​m​​​​​

Geef je antwoord in de volgende dia!

Uitwerking

f ≈ 0,88 * wortel(65)/10 ≈ 0,7 Hz.

Ofwel, de Quetzalcoatlus northropi, flapte vermoedelijk 0,7 keer per seconde (of elke flapper duurde ongeveer 1,4 seconde).

(Antwoord nog niet verklappen, ze moeten het in de volgende dia intypen)

Vraag

Bereken de flapfrequentie van Q. northropi.

Gewicht: 65 kg. Vleugeloppervlakte: 10 m2 

Rond af op 1 decimaal. Denk aan de eenheid!

Typ hier je antwoord:

Uitwerking

f ≈ 0,88 * wortel(65)/10 ≈ 0,7 Hz.

Ofwel, de Quetzalcoatlus northropi, flapte vermoedelijk 0,7 keer per seconde. 

Les 1. Wat is creativiteit?

Gefeliciteerd!

Na deze les...

• ...kun je uit onderzoeksgegevens een verband vinden. 
• ...kun je in Excel grafieken maken o.a. met een logaritmische schaal en trendlijn.
• ...heb je berekend dat Quetzalcoatlus northropi met een frequentie van 0,7 Hz met zijn vleugels flapperde...best snel toch?

Vraag

Wat heb je opgestoken van deze les? Kies het antwoord dat het meest passend is.

1. toepassing van wiskunde
2. grafieken maken in Excel
3. het gebruik van logaritmes
4. kennis over (biologisch) onderzoek

Les 1. Wat is creativiteit?

Feedback gevraagd

De makers van deze les willen graag weten wat je van deze les vond.

Ga daarvoor naar de (korte) vragenlijst:

https://bit.ly/LessonUpmod_Leerling

Heel veel dank!

Les 1. Wat is creativiteit?

Geïnspireerd?

Vond je dit een leuke of interessante les?

Dan is één van deze opleidingen misschien iets voor jou:

Bachelor biologie (verschillende universiteiten)

https://www.wur.nl/nl/onderwijs-opleidingen/bachelor/bsc-opleidingen/bsc-biologie.htm

Bachelor wiskunde (verschillende universiteiten)

https://www.studiekeuze123.nl/studies/56980-wiskunde-wo-bachelor

Les 1. Wat is creativiteit?

Bronnen

Beintema, N. (2024, 6 juni). De mug en de blauwe vinvis volgen dezelfde wetmatigheid met de slagen van hun vleugels en flippers. NRC. https://www.nrc.nl/nieuws/2024/06/06/de-mug-en-de-blauwe-vinvis-volgen-dezelfde-wetmatigheid-met-de-slagen-van-hun-vleugels-en-flippers-a4855352

Hofstede, H. (z.d.). logaritmische schaal. Geraadpleegd op 19 september 2024, van https://www.hhofstede.nl/modules/logschaal.htm

Jensen, J. H., Dyre, J. C., & Hecksher, T. (2024). Universal wing- and fin-beat frequency scaling. PLoS ONE, 19(6), e0303834. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0303834

Les 1. Wat is creativiteit?

Bronnen

Martyniuk, M., Witton, M., & Naish, D. (2008). Quetzscale1. Wikipedia. https://nl.m.wikipedia.org/wiki/Bestand:Quetzscale1.png

The Nature Box. (2019). Comparison of Quetzalcoatlus and Cessna 172. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/File:Comparison_of_Quetzalcoatlus_and_Cessna_172.svg

Les 1. Wat is creativiteit?

Check www.4tuschools.nl voor meer inspirerende lessen!