De Leuke Leerlingen Les

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

De leuke leerlingen les

Lineaire en exponentiële verbanden

Lineair

Door A(4, 16) en B(12, 28)

                              door 

                                geeft

Exponentieel          

Door A(4, 16) en B(12, 28)

                                     geeft 

​Δx​​Δy​​=​12−4​​28−16​​=​8​​12​​=1​2​​1​​

y=1​2​​1​​x+b

A(4,16)

16=1​2​​1​​⋅4+b

b=10

y=1​2​​1​​x+10

y=ax+b

N=b⋅g​t​​

​y​oud​​​​y​nieuw​​​​=​16​​28​​=1,75

1,75​(​12−4​​1​​)​​=1,75​​8​​1​​​​=1,072

16=b⋅1,072​4​​

b=12

N=12⋅1,072​t​​

Eerst even oefenen

Ga uit van de punten A(4, 84) en B(9, 23)

a) Stel de formule op van een lineair verband door deze 2 punten

b) Stel de formule op van een exponentieel verband door deze 2 punten

Lineair

Exponentieel

​Δx​​Δy​​=​9−4​​23−84​​=​5​​−61​​=−12,2

84=−12,2⋅4+b

84=−48,8+b

b=132,8

y=−12,2x+132,8

​y​oud​​​​y​nieuw​​​​=​84​​23​​=0,274

0,274​​5​​1​​​​=0,772

84=b⋅0,772​4​​

84=b⋅0,355

b=237

N=237⋅0,772​t​​

Voorbeeldvraag uit examen

Uit metingen blijkt dat de hoeveelheid geproduceerd geluid op stil asfalt door de jaren heen stijgt. Dit komt onder andere door slijtage van het asfalt. De meetgegevens liggen op en rond de lijn die door de punten (0; 73,7) en (84; 77,0) gaat. De formule van deze lijn is d = at + 73,7. Hierin is d de hoeveelheid geproduceerd geluid in dB, t de tijd in maanden na het aanleggen van stil asfalt en a een constant getal. Afgerond op twee decimalen geldt a = 0,04 . De waarde van a kan nauwkeuriger berekend worden.

Bereken a met behulp van de gegeven punten. Geef je antwoord in drie decimalen. 

Voorbeeld uit examen 2

De kievit is een weidevogel. Het aantal kieviten in Nederland neemt af. Dit komt onder andere door intensivering van de landbouw en door uitbreiding van het stedelijk gebied.  In de periode 1990-2010 nam het aantal broedende kieviten elk jaar met 3% af.

a) Bereken met hoeveel procent het aantal broedende kieviten in de periode 1990-2010 is afgenomen. Geef je antwoord in hele procenten.

Na 2010 nam het aantal broedende kieviten in Nederland elk jaar met 5% af. Neem aan dat deze afname zo doorgaat.

b) Bereken in welk jaar het aantal broedende kieviten voor het eerst minder dan de helft zal zijn van het aantal in 2010. 

De leuke leerlingen les

Redeneren aan formules

Beredeneer wat het verzadigingsniveau is van deze formule. 

Als t groter wordt, wordt                 bijna 0. 

Dan wordt                               ook bijna 0.

Dan wordt                                        bijna 2.

Dan wordt                                             bijna 2500. 

De grenswaarde of verzadigingsniveau is dus 2500. 

Beredeneer of de grafiek van N stijgend of dalend is.

Als t groter wordt, wordt                 kleiner. 

Dan wordt                              ook kleiner.

Dan wordt                                        ook kleiner.

Dan wordt                                           groter. 

De grafiek is dus stijgend.

N=​2+5,5⋅0,74​t​​​​5000​​

N=​2+5,5⋅0,74​t​​​​5000​​

0,74​t​​

5,5⋅0,74​t​​

2+5,5⋅0,74​t​​

​2+5,5⋅0,74​t​​​​5000​​

0,74​t​​

5,5⋅0,74​t​​

2+5,5⋅0,74​t​​

​2+5,5⋅0,74​t​​​​5000​​

Bij welke redeneervraag hoort:

"dan wordt ... groter'

1. Verzadigingsniveau
2. Stijgen of dalen

Bij welke redeneervraag hoort:

"dan wordt ... bijna 5'

1. Verzadigingsniveau
2. Stijgen of dalen

Bij welke redeneervraag hoort:

"dan wordt ... kleiner'

1. Verzadigingsniveau
2. Stijgen of dalen

Bij welke redeneervraag hoort:

"dan wordt ... bijna 0'

1. Verzadigingsniveau
2. Stijgen of dalen

Wat gaat hier mis?

Gevraagd: beredeneer of de grafiek stijgend

of dalend is

Antwoord: als je steeds grotere getallen invult voor t, komt er een steeds groter getal uit voor N. De grafiek is dus stijgend.

N=​2+5,5⋅0,74​t​​​​5000​​

Wat gaat hier mis?

Gevraagd: beredeneer of de grafiek stijgend

of dalend is

Antwoord: als t steeds groter wordt, wordt 0,74^t bijna 0, dus wordt 5,5 * 0,74^t bijna 0, dus wordt de onderkant steeds kleiner en de uitkomst steeds groter. De grafiek is dus stijgend. 

N=​2+5,5⋅0,74​t​​​​5000​​

Wat gaat hier mis?

Gevraagd: beredeneer of de grafiek stijgend

of dalend is

Antwoord: als t groter wordt, wordt 0,74 kleiner. Dan wordt 5,5 * 0,74 kleiner. Dan wordt 2 + 5,5 * 0,74 steeds kleiner dus wordt 5000 / (2 + 5,5 * 0,74) steeds groter. De grafiek is dus stijgend. 

N=​2+5,5⋅0,74​t​​​​5000​​

Voorbeeldvraag examen

De veilige afstand tussen een auto en zijn voorganger hangt af van de snelheid waarmee gereden wordt. Als beide auto’s even snel rijden, geldt: 

Hierin is v de snelheid van beide auto’s in km per uur en A de veilige afstand in meters. De veilige afstand wordt groter als de snelheid toeneemt.

Beredeneer, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken, dat de formule hiermee in overeenstemming is. 

A=v⋅(​188​​v​​+0,14)

Examenvoorbeeld 2

Facebook is een sociaalnetwerksite, opgericht in februari 2004. In het begin konden alleen studenten van Harvard College lid worden, later ook studenten van andere universiteiten en in september 2006 werd Facebook geheel openbaar. Het aantal actieve gebruikers steeg de eerste jaren spectaculair. Op 1 december 2005, dat is bij t = 0 , waren er 5,5 miljoen actieve gebruikers, 43 maanden later, op 1 juli 2009, waren het er al 244 miljoen.

Het bleek erg optimistisch om aan te nemen dat de groei zich zo voort zou zetten. Al in 2011 voorspelden sommigen dat de groei 

zou afnemen. Bij deze groei hoort de formule: 

Hierin is A het aantal actieve gebruiken in miljoenen en t de tijd in maanden met t = 0 op 1 december 2005. 

Bepaal de grenswaarde van het aantal actieve gebruikers.

A=​5+310⋅0,926​t​​​​4500​​

Examenvoorbeeld 3

Kreatinine is een afbraakproduct dat door de nieren uit het bloed wordt gefilterd. De hoeveelheid kreatinine in het bloed geeft aan hoe goed de nieren functioneren. Hoe kleiner de hoeveelheid kreatinine in het bloed, des te beter de nierfunctie. Om een nauwkeuriger beeld van het functioneren van de nieren te krijgen, wordt de GFR (Glomerular Filtration Rate, de filtratiesnelheid van de nieren in milliliter per minuut) berekend. Hierin is L de leeftijd van de patiënt in jaren, G het lichaamsgewicht in kg en K de hoeveelheid kreatinine in micromol per liter. 

Nicolien is een vrouw. Ze laat ieder jaar de waarde van haar GFR bepalen. Neem aan dat haar lichaamsgewicht gelijk blijft. De waarden van haar GFR worden in de loop der jaren groter. Beredeneer, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken, met behulp van de formule dat de nierfunctie van Nicolien beter wordt. 

Havo 5 wiskunde A

Groepen vergelijken

Groepen vergelijken

Boxplots vergelijken

Effectgrootte

Phi-coëfficiënt

Max VCP

Boxplots vergelijken

Is het verschil groot, gemiddeld of gering?

Effectgrootte

Gegeven is van de 

ene groep een 95 %

betrouwbaarheidsinterval

 van [5,38 ; 8,18] en een 

standaardafwijking van 7.4. Voor de andere groep geldt een gemiddelde van 1,29 met een standaard afwijking van 5,3. 

Is het verschil groot, gemiddeld of gering? 

Phi-coëfficiënt

De hooiwagen is een 

veelvoorkomende soort 

spin. In de jonge bermen

waren 3420 van de 

19 025 insecten hooiwagens. Bij de oude bermen waren dat 4617 van de 30 212. 

Is het verschil groot, gemiddeld of gering?

Max VCP

Aan een groep Havo 5 leerlingen is gevraagd of ze vinden dat er Spaans gegeven moet worden op school in plaats van Duits. Hun meningen staan in de tabel hieronder. Is het verschil tussen school A en B groot, gemiddeld of gering?

Voorbeeldvraag 1

Lange-afstand lopers kunnen tijdens het trainen gebruikmaken van een exoskelet, zodat ze minder energie verbruiken. In de tabel hieronder is genoteerd hoeveel energie hardlopers per kg lichaamsgewicht gebruiken met en zonder exoskelet. Is het verschil groot, gemiddeld of gering?

Voorbeeldvraag 2

Op 2 percelen staan walnotenbomen. In de 

grafiek hiernaast is weergegeven hoeveel de

bomen op deze percelen opbrengen. Bepaal op 2

manieren of het verschil tussen de percelen 

groot, gemiddeld en gering is. Komen de 2

conclusies overeen?

Examenvraag

Een schoolbestuur stuurt haar leerlingen en hun ouders een tevredenheidsenquête. Hun antwoorden op de vraag 'Ik zou weer voor deze school kiezen' staan in de tabel hieronder. Is het verschil tussen leerlingen en ouders groot, gemiddeld of gering? 

Havo 5 wiskunde A

Betrouwbaarheidsintervallen

Voor steekproefgemiddelden

Havo 5 haalt voor het eindexamen gemiddeld een 6.4 met een standaardafwijking van 1,4. Er zitten 84 leerlingen in havo 5. Stel het 95% betrouwbaarheidsinterval op.

Voor steekproefproportie

Van de 84 havo 5 leerlingen geven 26 leerlingen aan dat ze het eindexamen wiskunde A eigenlijk best goed te doen vonden. Stel het 95% betrouwbaarheidsinterval op.

X±2⋅​√​n​​​​​S​​

p±2⋅√​​n​​p(1−p)​​​​​

Gegeven is het 95% betrouwbaarheidsinterval [34,6 ; 42,8]. De standaardafwijking is 20,5. Hoe groot is de steekproefomvang? 

Het percentage havo 5 leerlingen dat het wiskunde A examen echt veel en veel te moeilijk vind, ligt landelijk op 12%. Hoe groot moet de steekproefomvang zijn om een betrouwbaarheidsinterval te krijgen dat maximaal 0,06 breed is?

Examenvraag voorbeeld

Op 5 juni 2014 keek 9,2% van de Nederlandse bevolking van 6 jaar en ouder op televisie naar het NOS-journaal van 20:00. We zeggen dan dat de kijkdichtheid van dit journaal 9.2 is. Stel dat dit cijfer het resultaat is van een kijkonderzoek onder een aselecte steekproef van 2700 personen van 6 jaar en ouder. 

Laat zien dat het 95% betrouwbaarheidsinterval voor de kijkdichtheid van dit journaal gelijk is aan 9,2 +- 1,1.

Examenvraag voorbeeld 2

Stichting Kijk Onderzoek (SKO) houdt het kijkonderzoek om uitspraken te kunnen doen over hoeveel en welke mensen van de Nederlandse bevolking van 6 jaar en ouder naar de verschillende televisiezenders en programma's kijken. SKO wil dat het betrouwbaarheidsinterval smaller wordt. Hiervoor moet het aantal deelnemers aan het kijkonderzoek worden vergroot. Neem aan dat de kijkdichtheid bij een grotere steekproef steeds 9,2 blijft. 

Hoe groot moet de steekproef minstens zijn, zodat de totale breedte van het 95% betrouwbaarheidsinterval in het kijkonderzoek kleiner dan 1 is? Geef je antwoorden in tientallen nauwkeurig.