Les 7.1 - gevangen quanten

§15.3 Gevangen quanten

Lesplanning:

1. uitleg deeltje in een doos en het atoommodel van waterstof
2. starten met §15.3
3. Klassikaal: rekenen aan een deeltje in een doos
4. Verder met §15.3
5. Uitsluitingsprincipe van Pauli

Begrippen:
bohrstraal, nulpuntsenergie

§15.3 Gevangen quanten

Je kan quantumverschijnselen beschrijven in termen van de opsluiting van een deeltje in een ééndimensionale doos. Hierbij kan je met behulp van de debroglie-golflengte inschatten of er quantumverschijnselen zijn te verwachten. Zowel van een deeltje in een ééndimensionale doos als van het waterstofatoom kan je de mogelijke energieën berekenen.

Begrippen:
bohrstraal, nulpuntsenergie

Voorkennis

Wat gebeurt er met geluidsgolven in een gesloten buis?

Staande golven

ontstaan ook bij

opgesloten deeltjes
zoals een elektron
in een atoom.

De energie van gebonden deeltjes, zoals een elektron in een atoom, is gequantiseerd. 

Energieniveaus kunnen voor waterstof berekend worden met het atoommodel van waterstof. En voor elektronen die vrij kunnen bewegen in een lang molecuul met het deeltje in een ééndimensionale doos model. 

Deeltjes kunnen slechts bepaalde hoeveelheden energie hebben. En dit kan alleen sprongsgewijs veranderen.

Deeltje in een doos
model

Model voor elektron dat beweegt in een lang molecuul of door een hele dunne draad (beweging in één richting).

Model geeft de waarschijnlijkheidsverdeling van het deeltje aan.

Versimpeld model, in werkelijkheid zijn deeltjes niet opgesloten in ‘dozen’ waarin ze alleen op en neer kunnen bewegen. Quantumgolven zijn dan anders, gecompliceerder.

Deeltje in een doos

model

• Doos groot t.o.v. de kansgolf van het deeltje: De kansgolf botst heen en weer  in het doosje alsof het een deeltje is.
  
  
• Doos klein t.o.v. de kansgolf: golf
  reflecteert tegen de wanden, interfereert met zichzelf wat leidt tot staande golf met knopen en buiken.
  

De 

energieniveau's 

zijn gequantiseerd. 

grondtoestand: nulpuntsenergie

E​n​​=n​2​​⋅​8m⋅L​2​​​​h​2​​​​

Het elektron in het doosje kan niet zomaar elke kinetische energie en dus niet elke snelheid kan aannemen

Alleen de waarden die overeenkomen met de staande golven zijn mogelijk. 

De energie is gekwantiseerd (heeft een vaste hoeveelheid).

Zelfs in grondtoestand heeft het deeltje nog energie → nulpuntsenergie

Volgende les de formule afleiden

Klein atoom, grote energie

Grotere atomen en moleculen kunnen licht
absorberen en eventueel weer uitzenden
met grotere golflengtes dan kleine atomen
en moleculen.

Leg uit dat: Des te kleiner een atoom, des te groter de energie van de grond- en eerste aangeslagen toestand.

Kleiner atoom —> kleinere maximale golflengte —> groter impuls —> Ek groter 

Quantumeffecten in grotere voorwerpen...

Zijn niet waarneembaar wanneer de afmeting van het voorwerp veel groter is dan de debroglie-golflengte van de deeltjes.

Welk quantum effect is niet meer waarneembaar wanneer de ruimte te groot is? Het gequantificeerd opnemen van energie

Want in een energieput zitten meerdere deeltjes (max. twee per quantumtoestand). Er zijn vele verschillende golflengtes van de vele deeltjes in de put waardoor de mogelijke energiesprongen zo klein zijn dat die niet gequantiseerd zijn.

Schrödinger

vergelijking

geen toetsstof.

wetenschapsschool

Het deeltje in een doos model is natuurlijk niet toereikend voor de meeste situaties. In complexere situaties geeft de Schrödingervergelijking de waarschijnlijkheidsverdeling.

Aan de slag

Werken aan §15.3

4, 

Voorkennis

Bereken de golflengte van het foton dat vrijkomt bij de overgang van n=3 naar n=1.

E​n​​=​8⋅m⋅L​2​​​​h​2​​​​⋅n​2​​

Deeltje in een doos

Begrippen: energieniveau’s, grondtoestand, aangeslagen toestand

Voorbeeldopgave

Waarom zijn wortels oranje?

De oranje kleur wordt veroorzaakt door betacaroteen (zie afbeelding).

Over een lengte van 1,77 nm kunnen 22 elektronen bewegen (als een deeltje in een put). 

ΔE = (122 - 112) ꞏ h2 / (8mꞏL2) = (144-121) ꞏ h2 / (8mꞏL2) = 23 ꞏ h2 / (8mꞏL2) = = 4,423ꞏ10-19 J

lambda = h*c / E = 449 nm

Kleuren met golflente groter dan 449 nm kunnen niet worden geabsorbeerd voor betacaroteen en worden dus gereflecteerd. 

Aan de slag

Verder werken aan §15.3

Tot 10 minuten voor het einde van de les.

4, 

De spin

is een puur kwantummechanische eigenschap waar je dus niets bij kunt voorstellen. Dit maakt het makkelijker om uit te leggen wat spin niet is dan wat het wel is.

Waar komt de naam 'spin' vandaan?

• Lijnenspectrum meten in magnetisch veld --> lijn splitst in twee lijnen dicht bij elkaar. 
• Als mogelijke verklaring werd gegeven dat atomen in twee richtingen rond hun as draaien (spin up en spin down).
• Idee werd al snel verworpen; voor rand elektron geldt dan v >>> c

De spin

https://www.quantumuniverse.nl/quantumtoepassingen-2-het-fermi-oppervlak#pauli

Elektronen zijn namelijk fermionen: deeltjes waarvan er nooit twee in exact dezelfde toestand kunnen zijn. Dat er zulke deeltjes zijn, is een bijzonder gevolg van de quantummechanica, en is essentieel voor ons bestaan. Twee fermionen kunnen bijvoorbeeld nooit op exact dezelfde plaats zijn (in tegenstelling tot bosonen zoals lichtdeeltjes, die dwars door elkaar heen kunnen bewegen)