IDM-Week 20 theorie 6.1 C en D

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Week 20

- herhaling  6.1 theorie A en B

- uitleg theorie C en D over extreme waarden met quizvraagjes tussendoor

H6 14 tm 21 inleveren voor 15-5 om 19.00 via ELO

Regels voor het differentieren van machten

• f(x)=a geeft f'(x)=0 
  vb: f(x)=5 (horizontale lijn, dus rc raaklijn =0) -> f'(x)=0 
• f(x)=ax geeft f'(x)=a 
  vb: f(x)=5x (rechte lijn, rc raaklijn is overal 5) -> f'(x)=5 
• f(x)=axⁿ geeft f'(x)=n*ax^n-1 
  vb: f(x)=3x⁴ (dalparabool, hellingsgrafiek is een lijn) -> f'(x)=12x³

Oefenen met differentieren

• Schrijf en reken mee!
• Je krijgt  3 oefeningen te zien waar je moet differentieren.
• je krijgt 5 minuten om er zoveel mogelijk uit te werken.
• na 5 minuten geeft ik 3 leerlingen een beurt om antwoord te geven-> je zet je microfoon aan en geeft je berekening met het antwoord.
• Dit doen we twee keer achter elkaar
• nog vragen?
  
• link naar geogebra: differentieren
  

6.1 theorie A opstellen formule raaklijn: y=ax+b
a (rc_raaklijn aan f in A) bereken je m.b.v. differentieren: a=f'(x_A)

• k:y=ax+b
• a= f'(x_A)=...   
  
• invullen A(x_A,y_A) om b te berekenen geeft
  y_A=a*x_A+b
  b=...
  Als y_A niet gegeven is bereken y_A dan door x_A in te vullen in f(x) -> y_A=f(x_A)
  
• k:y=ax+b
  

Gegeven: f(x)=4x²+3x+5 en punt A met x_A=1 op de grafiek van f.

Gevraagd: de raaklijn k aan f in A (vb: k:y=3x+4)

Uitwerking:

• k:y=ax+b
• a= f'(x_A)=f'(1)=8*1+3=11
   f'(x)=8x+3  
• yA=f(1)=4*1²+3*1+5=12 dus A(1,12)
  
• invullen A(x_A,y_A) om b te berekenen geeft
  12=11*1+b
  b=1
• k:y=11x+1
  

Gegeven: f(x)=4x²+3x+5 en punt A met x_A=1 op de grafiek van f. 

Gevraagd: de raaklijn k aan f in A (vb: k:y=3x+4)

theorie C en D

Berekenen en aantonen van extreme waarden

• De toppen (minimum en maximum) van f noem je ook wel?
  
• Extreme waarden en in die punten lopen de raaklijnen....?
• horizontaal
• dus is de rc_{raaklijn aan f} in die punten?
• rc_raaklijn=0, dus      f'(xmin)=f'(xmax)=?
• f'(xmin)=f'(xmax)=0
  

Gegeven:

Gevraagd: Voor welke x geldt: f'(x)=0 (vb: x=-1 of x=2)

f(x)=−​3​​1​​x​3​​−2​2​​1​​x​2​​+6x+3

Uitwerking: 

• f'(x)=-x^2_-5x+6
• f'(x)=0 geeft
  -x2-5x+6=0
  x²+5x-6=0
  (x-1)(x+6)=0
  x=-6 of x=1
  
• nu gaan we kijken hoe je dan vervolgens de extreme waarden berekent
  

Gegeven:

Gevraagd: Voor welke x geldt: f'(x)=0 (vb: x=1 of x=2)

f(x)=−​3​​1​​x​3​​−2​2​​1​​x​2​​+6x+3

berekening extreme waarden

• f'(x)=-x²-5x+6
• f'(x)=0 geeft x=-6 of x=1
• maak schets in je schrift mbv GR en kijk of het een minimum of een maximum is
• min. is 
   max. is 
  

f(1)=6​6​​1​​

f(−6)=−51

Aantonen extreme waarde voor x=a

1. Bereken f'(x)
2. Laat met een berekening zien dat f'(x)=0
3. Schets de grafiek van f in je schrift en laat zien dat de grafiek een top heeft voor x=a
4. conclusie
   

vb: Gegeven:

       Gevraagd: Toon aan dat f een extreme waarde heeft voor

1.  f'(x) berekenen
    
2. gegeven x invullen in f'(x)
   
   
3. schets
   In de schets hiernaast is te zien dat
    de grafiek een top heeft voor
4. conclusie
   dus f heeft een extreme waarde voor 
   

f(x)=​4​​1​​x​4​​+​3​​1​​x​3​​−1​2​​1​​x​2​​−3x

x=√​3​​​

f​′​​(x)=x​3​​+x​2​​−3x−3

f​′​​(√​3​​​)=(√​3​​​)​3​​+(√​3​​​)​2​​−3√​3​​​−3=0

x=√​3​​​

x=√​3​​​