H6

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

opgave 67

Gegeven zijn de functies f(x) = √x en g(x) = ¹/₅x. De lijn x = p met 0<p<25 snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B. Zie figuur 6.33.

De lengte van het lijnstuk AB noemen we L.

Bereken L voor p=1, p=2¹/₄ en p=9.

succescriteria verticale afstanden bij grafieken

• weten wat verticaal is
• verschil formules opstellen
• differentiëren
• f'(x)=0 

Gegeven zijn de functies f(x) = √x en g(x)=¹/₅x. De lijn x = p met 0<p<25 snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B. Zie figuur 6.33.

De lengte van het lijnstuk AB noemen we L. 

Bereken de maximale L.

Vragen Huiswerk?

57, 58, 59, 63, 64, 65

Keuze...

Maken: 68, 69, 70, 71 + nakijken

of meedoen met de herhaling.

Optimaliseren van oppervlakten bij grafieken

In figuur 6.29 is de parabool y = -¹/₂x² + 3x getekend met daarop het punt P met x_p = p, waarbij 0<p<6.

Q is het punt (p, 0).

Voor de oppervlakte A van driehoek OPQ geldt A = -¹/₄p³+1¹/₂p²

^{Bereken exact de maximale oppervlakte van driehoek OPQ}

onderlinge loodrechte lijnen

Stel een vergelijking op van de lijn k die door het punt A(6,7) gaat en loodrecht staat op de lijn l: y = 3x - 2

De afgeleide van f(x) = (ax + b)ⁿ voor elke n van R

Differentieer

h(x) = √x + √3x

De afgeleide van f(x) = (ax + b)ⁿ met n geheel

Differentieer

k(x) = -3(¹/₆x + 5)^-4

De afgeleide van f(x) = xⁿ voor elke n van R

Differentieer

a. f(x) = x + √x

b. k(x) = x³ . ⁵√(x³)

De afgeleide van f(x) = xⁿ voor negatieve n

Differentieer.

a. f(x) = ⁵/_x3

b. h(x) = 5x² - ⁵/_x2

Formule van raaklijn met behulp van de afgeleide

Gegeven is de functie f(x) = ¹/₂x³ - 2x² + 2.

Op de grafiek van f ligt het punt A met x_A = 4.

Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn k in A.

Raaklijn met gegeven richtingscoëfficiënt

Gegeven is de functie f(x) = -x² + 2x + 3.

In het punt A van de grafiek is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan 4.

Bereken algebraïsch de coördinaten van A.

Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide

Bereken exact de extreme waarden.

f(x) = ¹/₃x³ + 3¹/₂x² + 10x + 5

Huiswerk

Maak 68, 69, 70, 71 + nakijken

Succescriteria

• f(x) = xⁿ geeft f'(x) = nx^n-1 
•  afspraak:
• Bij het differentiëren mag je in het antwoord alleen gebroken exponenten laten staan als de functie zelf ook met gebroken exponenten is gegegeven.

Voorbeeld

 Differentieer.

a. f(x) = x² . √x

b. g(x) = x² . ³√x

c. h(x) = (³√x + 4) / x²

Succescriteria kettingregel

• Differentiëren/afgeleide bepalen
• rekenen met negatieve getallen
• samengestelde funties 

kettingregel

• f(x) = (ax + b)ⁿ
• f'(x) = n(ax + b)^n-1 . a
• f(x) = c(ax + b)ⁿ
• f'(x) = c . n(ax + b)^n-1 . a = acn(ax + b)^n-1 

Voorbeelden

• f(x) = x² - (3x - 1)⁴
• g(x) = 4x + ¹⁰/_{(2x - 1)}3
• h(x) = 3(5x - 6)^2/3
• i(x) = x² - √(6x - 1)

opgave 55

Gegeven zijn de lijnen k:y = 2x -2 en l: y= -¹/₂x + 3.

c. De lijn m gaat door het punt A(4,0) en staat loodrecht op k. Stel van m de formule op.

opgave 55

Gegeven zijn de lijnen k:y = 2x -2 en l: y= -¹/₂x + 3.

b. Bram beweert dat de lijnen k en l loodrecht op elkaar staan. Ben je het daarmee eens?

opgave 55

Gegeven zijn de lijnen k:y = 2x -2 en l: y= -¹/₂x + 3.

a. Teken de lijnen in één figuur.

opgave 55

Gegeven zijn de lijnen k:y = 2x -2 en l: y= -¹/₂x + 3.

d. Stel de formule op van de lijn n die door het punt B(1,3) gaat en loodrecht staat op de lijn p:y = ¹/₄ + 5.

Succescriteria onderling loodrechte lijnen

• rc uit een lineaire formule kunnen halen
• lineaire formule maken door een gegeven punt 

Onderling loodrechte lijnen

Voor lijnen k en l met rc_k  ≠ 0 en rc_l  ≠ 0 geldt:

rc_k . rc_l = -1, dan k ⊥ l 

en omgekeerd

k ⊥ l, dan rc_k . rc_l = -1

Gegeven is de functie  f(x) = ⁵/_{2x - 8} en het punt  A(6, 1¹/₄) op de grafiek van f. De lijn k raakt de grafiek in A.

Stel langs algebraïsche weg de formule op van de lijn l die loodrecht op k staat en door de oorsprong gaat.

opgave 61

In figuur 6.27 zie je de parabool y = x² -8x + 16 en de rechthoek OPQR, waarbij P op de x-as ligt, Q op de parabool en R op de y-as. De oppervlakte A van OPQR hangt af van de x-coördinaat p van P. Hierbij is 0<p<4. Neem je p=¹/₂, dan is PQ = 12¹/₄ en A = 6¹/₈.

a. Licht dit toe.

opgave 61

In figuur 6.27 zie je de parabool y = x² -8x + 16 en de rechthoek OPQR, waarbij P op de x-as ligt, Q op de parabool en R op de y-as. De oppervlakte A van OPQR hangt af van de x-coördinaat p van P. Hierbij is 0<p<4. Neem je p=¹/₂, dan is PQ = 12¹/₄ en A = 6¹/₈.

b. Neem p = 1 en bereken A.

opgave 61

In figuur 6.27 zie je de parabool y = x² -8x + 16 en de rechthoek OPQR, waarbij P op de x-as ligt, Q op de parabool en R op de y-as. De oppervlakte A van OPQR hangt af van de x-coördinaat p van P. Hierbij is 0<p<4. Neem je p=¹/₂, dan is PQ = 12¹/₄ en A = 6¹/₈.

b. Neem p = 2 en bereken A.

Succescriteria optimaliseren van oppervlakten bij grafieken

• afgeleide berekenen
• f'(x) = 0
• oppervlakte formules kunnen maken 

Optimaliseren van oppervlakten bij grafieken

• vraagstelling:
• Bereken (zonder nadere toevoeging)
• uitwerking:
• Je bent vrij in de manier van uitwerken. Een toelichting is vereist. Bij gebruik van de GR vermeld je de ingevoerde formules en de gebruikte opties. Zo nodig geef je het antwoord in het gevraagde aantal decimalen.

Optimaliseren van oppervlakten bij grafieken

• vraagstelling:
• Bereken met de afgeleide. Bereken met behulp van differentiëren
• uitwerking:
• Je moet de formule van de afgeleide berekenen. Daarna mag je de vergelijking 'afgeleide = 0'wel grafisch-numeriek oplossen.

Optimaliseren van oppervlakten bij grafieken

• vraagstelling:
• Bereken algebraïsch
• uitwerking:
• Ga stap voor stap te werk zonder gebruik te maken van specifieke opties en de grafische mogelijkheden van de GR. Zo nodig geef je het antwoord in het gevraagde aantal decimalen. 

Optimaliseren van oppervlakten bij grafieken

• vraagstelling:
• Bereken exact
• uitwerking:
• Ga algebraïsch te werk en rond niet af.

Optimaliseren van oppervlakten bij grafieken

• Notaties voor de afgeleide van y = f(x)
• f'(x)
• y'
• ^dy/_dx
• ^df(x)/_dx
• ^d/_dxf(x) 

Gegeven is nogmaals de parabool y = x² - 8x + 16- van opgave 61 met de rechthoek OPQR.

Bereken exact voor welke waarde p de oppervlakte A van de rechthoek maximaal is en de maximale oppervlakte.