H6 De afgeleide functie

Hoofdstuk 5

1. Ken de machtregels, bij hele, negatieve en gebroken machten.

2. Translaties van machtsfuncties.

3. Bij wortelfucties moet je denken aan het randpunt, domein en bereik en bij een vergelijking controleren of de oplossing voldoet.

1 / 35

Slide 1: Diapositive

WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 4

Cette leçon contient 35 diapositives, avec diapositives de texte et 3 vidéos.

La durée de la leçon est: 45 min

Éléments de cette leçon

Hoofdstuk 5

1. Ken de machtregels, bij hele, negatieve en gebroken machten.

2. Translaties van machtsfuncties.

3. Bij wortelfucties moet je denken aan het randpunt, domein en bereik en bij een vergelijking controleren of de oplossing voldoet.

Slide 1 - Diapositive

Rekenregels machten

Spelen met getallen

Slide 2 - Diapositive

Reken regels machten

voorbeeld

Slide 3 - Diapositive

Rekenregels machten

voorbeeld

Slide 4 - Diapositive

Rekenregels machten: Extra voorbeelden

Slide 5 - Diapositive

Theorie A

met negatieve exponenten

\frac{​ 1 ​ ​}{​ a ^{​ 5 ​ ​} ​} = a^{​ - 5 ​ ​}

\frac{​ 1 ​ ​}{​ a ^{​ \frac{​ 4 ​ ​}{​ 3 ​} ​ ​} ​} = a^{​ - \frac{​ 4 ​ ​}{​ 3 ​} ​ ​}

____1____

a . 3√a

___1____

a1 . a1/3

___1____

a1 . a1/3

\frac{​ a ^{​ p ​ ​} ​ ​}{​ a ^{​ q ​ ​} ​} = a^{​ p - q ​ ​}

\frac{​ 1 ​ ​}{​ a ^{​ n ​ ​} ​} = a^{​ - n ​ ​}

\frac{​ x ^{​ 4 ​ ​} ​ ​}{​ x ^{​ 3 ​ ​} ​} = x^{​ 4 - 3 ​ ​} = x^{​ 1 ​ ​}

Slide 6 - Diapositive

Theorie B: Formules met herleiden

formules met machten herleiden g&r

a^{​ p ​ ​} \cdot a^{​ q ​ ​} = a^{​ p + q ​ ​}

(a^{​ p ​ ​})^{​ q ​ ​} = a^{​ p \cdot q ​ ​}

Slide 7 - Diapositive

exponent splitsen:

vereenvoudigen:

breuk naar negatieve exp.

machten vermenigvuldigen

vereenvoudigen

a^{​ p ​ ​} \cdot a^{​ q ​ ​} = a^{​ p + q ​ ​}

(a^{​ p ​ ​})^{​ q ​ ​} = a^{​ p \cdot q ​ ​}

y = 3 (2 x^{​ 2 ​ ​})^{​ 5 ​ ​} \cdot \frac{​ 4 ​ ​}{​ x ^{​ 12 ​ ​} ​} \to

y = 3 (2^{​ 2 ​ ​} x^{​ 2 ​ ​})^{​ 5 ​ ​} \cdot 4 \cdot x^{​ - 12 ​ ​} \to

y = 3 \cdot 2^{​ 2 \cdot 5 ​ ​} \cdot x^{​ 2 \cdot 5 ​ ​} \cdot 4 \cdot x^{​ - 12 ​ ​} \to

y = 3 \cdot 32 \cdot x^{​ 10 ​ ​} \cdot 4 \cdot x^{​ - 12 ​ ​} \to

y = 384 \cdot x^{​ 10 - 12 ​ ​} = 384 \cdot x^{​ - 2 ​ ​}

Theorie B formules met machten herleiden g&r

y = 40 \cdot 3^{​ - 2 x + 1 ​ ​}

y = 40 \cdot 3^{​ - 2 x ​ ​} \cdot 3^{​ 1 ​ ​} \to

y = 120 \cdot (3^{​ - 2 ​ ​})^{​ x ​ ​} \to

y = 120 \cdot (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ^{​ 2 ​ ​} ​})^{​ x ​ ​} \to 120 \cdot (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 9 ​})^{​ x ​ ​}

Slide 8 - Diapositive

Basisrekenregels wortels

\sqrt ​ a ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ b ​ ​ ​ = \sqrt ​ a b ​ ​ ​

\sqrt ​ a ​ ​ ​ + \sqrt ​ a ​ ​ ​ = 2 \sqrt ​ a ​ ​ ​

\sqrt ​ a ​ ​ ​ + \sqrt ​ b ​ ​ ​ = \sqrt ​ a ​ ​ ​ + \sqrt ​ b ​ ​ ​

c \sqrt ​ a ​ ​ ​ \cdot d \sqrt ​ b ​ ​ ​ = c \cdot d \sqrt ​ a \cdot b ​ ​ ​

b \neq 0

\sqrt ​ 25 \cdot ​ ​ ​ \sqrt ​ 4 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 100 ​ ​ ​ = 10

\sqrt ​ 8 ​ ​ ​ + \sqrt ​ 8 ​ ​ ​ = 2 \sqrt ​ 8 ​ ​ ​

\frac{​ \sqrt ​ a ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ b ​ ​ ​ ​} = \sqrt ​ \frac{​ a ​ ​}{​ b ​} ​ ​ ​

2 \sqrt ​ a ​ ​ ​ \cdot 3 \sqrt ​ b ​ ​ ​ = 6 \sqrt ​ a \cdot b ​ ​ ​

\frac{​ \sqrt ​ 1 2 a ^{​ 2 ​ ​} \cdot 3 b ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 a b ​ ​ ​ ​} = \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ a \cdot 3

Slide 9 - Diapositive

Theorie C Formules Hogere machtswortels

De oplossingen van xⁿ = p met n = 2, 3, 4, ...
n oneven xⁿ = p geeft x = ⁿ√p
n even en p > 0 xⁿ= p geeft x = ⁿ√p v x = -ⁿ√p
n even en p < 0 xⁿ = p heeft geen oplossingen

Slide 10 - Diapositive

3√125 = 5 want 5³of 5 ^-3 =125

²√-16 bestaat niet!

a^{​ - \frac{​ 4 ​ ​}{​ 3 ​} ​ ​}

___1____

a1 . a1/3

Theorie C Formules Hogere machtswortels

ⁿ√-p

n=even

bestaat

n= oneven

bestaat

a \geq 0

a ∠ 0

___1____

a4/3

Slide 11 - Diapositive

Hoofdstuk 5

4. Bij exponentiële functies moet je de asymptoot kunnen bepalen en vergelijkingen kunnen oplossen. Dit doe je door of het grondtal gelijk te maken.

5. Translaties van exponentiële functies.

6. Vergelijking met Log oplossen door vergelijking anders op te schrijven.

7. Translaties van log functies.

Slide 12 - Diapositive

H6 De afgeleide functie

H5 wat moet je weten en zijn er nog vragen

H6 Voorkennis: Theorie A Helling en afgeleide

6.1 raaklijnen en toppen

6.2 de afgeleide van machtsfuncties

6.3 de afgeleide van samengestelde functies

6.4 optimaliseren

Slide 13 - Diapositive

Voorkennis Theorie A: Helling en afgeleide

Het differentie quotiënt
Snelheid en richtingscoëfficiënt
Hellingsgrafiek eb afgeleide functie
Regels voor de afgeleide

Slide 14 - Diapositive

Differentiequotiënt

Slide 15 - Diapositive

Doelen: je leert

Welke soorten van stijgen en dalen er zijn (= differentie).
Wat is een horizontale en verticale asymptoot
Bij een tijd-afstand grafiek de gemiddelde snelheid berekenen.
Wat differentie quotiënten zijn en hoe je die berekent bij een functievoorschrift/formule.

Slide 16 - Diapositive

Differentie quotiënt

Slide 17 - Diapositive

Slide 18 - Vidéo

Asymptoot?

Horizontale asymptoot

de vergelijking volgt uit: y = ...

je vindt het door hele grote positieve of

negatieve getallen in de functie invullen.

de uitkomst is de waarde waar de functie uiteindelijk naar toe gaat = y-waarde van de asymptoot.

Verticale asymptoot

de vergelijking volgt uit: x = ...

je vindt het door op zoek naar de waarde

van x, waar de functie niet bestaat.

Dit is bij gebroken functies de waarde van x, waarbij de

noemer nul is.

Slide 19 - Diapositive

horizontale en verticale asymptoot

de vergelijking volgt uit:

hele grote positieve/negatieve getallen invullen gaat richting y = 3.

de uitkomst is de waarde waar de functie uiteindelijk naar toe gaat = y-waarde van de asymptoot.

x = 1 dus bij de verticale asymptoot x = 1

f (x) = \frac{​ ( 3 x + 2 ) ​ ​}{​ x - 1 ​}

f (x) = \frac{​ ( 3 \cdot 1 + 2 ) ​ ​}{​ 1 - 1 ​} = g e e n^{​ - ​ ​} w a a r d e

Slide 20 - Diapositive

horizontale en het bereik van de functie

hele grote positieve/negatieve getallen invullen gaat richting y = -3.

Het bereik van de functie, alle mogelijke

y-waarden, is alles groter dan –3 of

het bereik: y > –3

f (x) = (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​})^{​ x ​ ​} - 3

Slide 21 - Diapositive

verticale asymptoot van de functie

verticale asymptoot vinden. moet de volgende vergelijking worden opgelost:

2x + 10 = 0. x = -5.

dus verticale asymptoot x = x = –5

f (x) = - 3 + lo g (2 x + 10)

Slide 22 - Diapositive

uitleg differentie quotiënt wa

differentie (verschil) + quotiënt (delen)

= gemiddelde verandering

Differentiequotiënt van y op interval [-2,0] is:

1. Δy : Δx : xb = 0 en yb = 3 y = 3 - 0

xa = -2 en ya = 0 x = 0--2 = 2

2. diff.quot. van y op [2,3]

3. gemidd. verandering van y op [2,3]

4. r.c. of helling van AB = 3: 2 = 1,5

Differentie quotiënt

Δx = -2 naar 0 = 2

Δy = 0 naar 3 = 3

y = - (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x) + 4

Slide 23 - Diapositive

Differentie-quotiënt (DQ)

Stijgt de grafiek constant op [-1,2]?

Ja stijgt redelijk constant

Wat is de gemiddelde stijging [-1, 2]?

xb = 2 en yb = 30

xa = -1 en ya = -50

30--50 = 80

2 --1 = 3

DQ = richtingscoëfficiënt: 80: 3 = 26 2/3

Slide 24 - Diapositive

Snelheid & r.c.

Slide 25 - Diapositive

Slide 26 - Diapositive

Slide 27 - Diapositive

theorie A,B,C

gemiddelde verandering op [xA,xB]
gemiddelde snelheid op [xA,xB]
differentie quotiënt op [xA,xB]
richtingscoëfficiënt of helling van lijn AB

één formule:

\frac{​ Δ y ​ ​}{​ Δ x ​} = \frac{​ y ^{​ B ​ ​} - y ^{​ A ​ ​} ​ ​}{​ x ^{​ B ​ ​} - x ^{​ A ​ ​} ​}

Slide 28 - Diapositive

Hellinggrafiek & afgeleide functie

Slide 29 - Diapositive

Slide 30 - Vidéo

Slide 31 - Vidéo

f(x)= a geeft de afgeleide f'(x) = 0

f(x)= ax geeft de afgeleide f'(x) = x

f(x)= axn geeft de afgeleide

f'(x) = n . axn-1

f(x)= axn +bx + c f'(x) = n . axn-1

f(x)= 0,5x3 – 4x + 3 waarbij a= 0,5 en n =3

a= 0,5 x 3 = 1,5x2

-4x = = 4 f ' (x) = 1,5x2 – 4

c =+ 3 = --

formule raaklijn y = ax + b?

1. zoek twee punten f(x)= 0,5x3 – 4x + 3

(-3,1) en (-2,7)

2. bepaal de r.c: 6

3. bepaal b: vul (-3.1) in de y = 6x+ b

1 = (-3x6) + b b =19

4. y = 6x + 19

verschil y; 7 -1 = 6 en verschil x; -2--3=1

Slide 32 - Diapositive

afgeleide f(x) = axn f'(x) = n . axn-1

De functie f(x)= 0,5x3 – 4x + 3.

Op de grafiek van f ligt het punt P met x = –2

Stel m.b.v. de afgeleide de formule op van de raaklijn k: y = ax + b in het punt P.

1. Bereken eerst de afgeleide.

f(x)= 0,5x3 – 4x + 3. f ' (x) = 1,5x2 – 4

2. Bereken nu a. = r.c. van punt P met x=-2.

f'(x) = 1,5x2 - 4 a = 1,5(–2)2 - 4 = 2

3. Bereken de y-coördinaat van punt P.

f (–2) = 0,5(–2)3 – 4 · (–2) + 3 = 7

4. Bereken b van de lijn k : y = ax + b

7 = 2 · (–2) + b 7 = –4 + b b = 11

y = 2x + 11

Slide 33 - Diapositive

Definitie afgeleide:

f(x) = axn f'(x) = n . axn-1

Bewijs f'(2) = 4 als f(x)= x2

Δ y : Δ x

f‵(x)= x2 dus x2 = f‵(x)= (x+h)2

punt dat limiet wordt!

h = oneindig klein maar h = nooit 0

Stel m.b.v. de afgeleide de formule op van de raaklijn k: y = ax + b in het punt P.

1. Interval van twee coördinaten de grafiek

raken : (x ; f(x)) en (x+h ; (f(x+h)

f'(2) = 4

f (x) = \frac{​ ( f ( x + h ) - f ( x ) ) ​ ​}{​ h ​}

f (2) l i m \frac{​ ( 4 + 4 h + h ^{​ 2 - ​ ​} 4 ) ​ ​}{​ h ​} = h + 4

f (2) = l i m \frac{​ ( f ( 2 + h ) ^{​ 2 ​ ​} - f ( 2 ) ) ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ h ​}

Slide 34 - Diapositive

Definitie afgeleide:

f(x) = axn f'(x) = n . axn-1

Bereken de afgeleide van f(x)= x2

Δ y : Δ x

f‵(x)= x2 dus x2 = f‵(x)= (x+h)2

punt dat limiet wordt!
h= oneindig klein maar h = nooit 0

Stel m.b.v. de afgeleide de formule op van de raaklijn k: y = ax + b in het punt P.

1. Interval van twee coördinaten de grafiek

raken : (x ; f(x)) en (x+h ; (f(x+h)

f'(x) = 2x als h =0

f (x) = \frac{​ ( x + h ) - x ​ ​}{​ h ​}

f (x) l i m \frac{​ x ^{​ 2 ​ ​} + 2 x h + h ^{​ 2 - ​ ​} x ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ h ​} = 2 x + h = 2 x

f (x) = l i m \frac{​ ( f ( 2 - h ) ^{​ 2 ​ ​} - f ( 2 ) ) ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ h ​}

Slide 35 - Diapositive

H6 De afgeleide functie

Éléments de cette leçon

Slide 1 - Diapositive

Slide 2 - Diapositive

Slide 3 - Diapositive

Slide 4 - Diapositive

Slide 5 - Diapositive

Slide 6 - Diapositive

Slide 7 - Diapositive

Slide 8 - Diapositive

Slide 9 - Diapositive

Slide 10 - Diapositive

Slide 11 - Diapositive

Slide 12 - Diapositive

Slide 13 - Diapositive

Slide 14 - Diapositive

Slide 15 - Diapositive

Slide 16 - Diapositive

Slide 17 - Diapositive

Slide 18 - Vidéo

Slide 19 - Diapositive

Slide 20 - Diapositive

Slide 21 - Diapositive

Slide 22 - Diapositive

Slide 23 - Diapositive

Slide 24 - Diapositive

Slide 25 - Diapositive

Slide 26 - Diapositive

Slide 27 - Diapositive

Slide 28 - Diapositive

Slide 29 - Diapositive

Slide 30 - Vidéo

Slide 31 - Vidéo

Slide 32 - Diapositive

Slide 33 - Diapositive

Slide 34 - Diapositive

Slide 35 - Diapositive

Plus de leçons comme celle-ci

H6.1 Raaklijnen en toppen

Learning Technique: Complete the Pie

Learning Technique: Complete the Pie

Letters Practice

2.4 De afgeleide van f(x) = ax^n

Letters Practice

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

H6