Week 17 Raaklijnen en toppen

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Week 19

- herhaling voorkennis/H2

- Uitleg 6.1A

- Uitleg 6.1B

Herhaling

Gegeven: f(x)=3x²+2x+1 (dalparabool)

Als de grafiek van f daalt, ligt de hellingsgrafiek van f (de grafiek van f'(x))  ...

1. onder de x-as
2. boven de x-as
3. weet ik niet

Gegeven: f(x)=3x²+2x+1

Bereken de helling in punt A(1,6) 

Mag met de GR

f dalend  -> f'(x) onder de x-as

f stijgend-> f'(x) boven de x-as

In punt A is de helling (rc raaklijn) 8

Herhaling opstellen formule raaklijn k aan f in A(x_A,y_A) vanuit de voorkennis en hoofdstuk 2

• k:y=ax+b
• a=                =....
  
• invullen A(x_A,y_A) om b te berekenen geeft
  
  b=...
  Als y_A niet gegeven is bereken y_A dan door x_A in te vullen in f(x) -> y_A=f(x_A)
  
• k:y=ax+b
  

[​dx​​dy​​]​x=x​A​​​​

y​A​​=a⋅x​A​​+b

Theorie 6.1A

Formule raaklijn                                opstellen aan f in A(x_A,y_A)met 

a is de richtingscoëfficient van de raaklijn. Die berekenen we door de afgeleide in te vullen

y=ax+b

Nieuw in 6.1
a berekenen mbv differentieren: rc_raaklijn aan f in A=f'(x_A)

• k:y=ax+b
• a= f'(x_A)=...   
  
• invullen A(x_A,y_A) om b te berekenen geeft
  y_A=a*x_A+b
  b=...
  Als y_A niet gegeven is bereken y_A dan door x_A in te vullen in f(x) -> y_A=f(x_A)
  
• k:y=ax+b
  

Gegeven: f(x)=3x²+2x+1

Differentieer f(x) en geef f'(x) 
(vb: f'(x)=4x+3)

zwart:  f(x)= 3x²+2x+1
groen: f'(x)= 6x+2

Gegeven: f(x)=3x²+2x+1

Stel de formule op van de raaklijn k aan f(x) 
in punt A(1,6) (vb: k:y=2x-3)

Uitwerking

• k:y=ax+b
• a=f'(1)=6*1+2=8
  
• invullen A(1,6) om b te berekenen geeft
  6=8*1+b
  b=-2
• k:y=8x-2
  

parabool f(x)= 3x²+2x+1
raaklijn k aan f in A:
k:y=8x-2

Theorie 6.1B

Coördinaten van het raakpunt A berekenen met behulp van een  gegeven rc van de raaklijn aan f in A

Voorbeeld

Gegeven: f(x) = x² - 3x + 1 en raaklijn k aan f in B met rc= 2. 
Gevraagd: Bereken de coordinaten van B

• rc = 2, dus f'(x)=2
• f'(x) = 2x - 3
• 2x - 3 = 2
• 2x = 5
• x = 2,5 
• f(2,5)=-0,25
• Dus B(2,5;-0,25)

9a Gegeven is de functie f(x) = -x²+2x+3
In het punt A van de grafiek is de rc van de raaklijn gelijk aan 4. Bereken algebraïsch de coördinaten van A.
(Antwoordvoorbeeld (3,4) )

Uitwerking 9a

• f(x) = -x²+2x+3 geeft f'(x) = -2x+2
• rc raaklijn in A is 4, dus f'(x_A)=4 
• -2x+2=4
• -2x=2
• x=-1
• y_A = f(-1)=0
• Dus A(-1,0)