Week 17 6.1A en B Raaklijnen en toppen

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Week 17

- herhaling voorkennis/H2

- Uitleg 6.1A

- Uitleg 6.1B

H6 1 tm 13 inleveren voor 17-4 om 17.00 via ELO

2.5 Differentieren

functie -> hellingfunctie (afgeleide functie)

f(x)-> f'(x)

Gegeven f(x)=4
Gevraagd: f'(x). vb: f'(x)=3x

Gegeven: f(x)=3x
Gevraagd: f'(x).

Gegeven: f(x)=2x²

Gevraagd: f'(x).

AANTEKENING

Herhaling

Gegeven: f(x)=3x²+2x+1 (dalparabool)

Als de grafiek van f daalt, ligt de hellingsgrafiek van f (de grafiek van f'(x))  ...

1. onder de x-as
2. boven de x-as
3. weet ik niet

Gegeven: f(x)=3x²+2x+1

Bereken de helling in punt A(1,6) 

Mag met de GR

f dalend  -> f'(x) onder de x-as

f stijgend-> f'(x) boven de x-as

In punt A is de helling (rc raaklijn) 8

www.geogebra.org

Herhaling opstellen formule raaklijn k aan f in A(x_A,y_A) vanuit de voorkennis en hoofdstuk 2

• k:y=ax+b
• a=                =....
  
• invullen A(x_A,y_A) om b te berekenen geeft
  y_A=a*x_A+b
  b=...
  Als y_A niet gegeven is bereken y_A dan door x_A in te vullen in f(x) -> y_A=f(x_A)
  
• k:y=ax+b
  

[​dx​​dy​​]​x=x​A​​​​

Theorie 6.1A

Formule raaklijn y=ax+b opstellen aan f in A(x_A,y_A)met 

a=rc raaklijn=f'(x_A)

Nieuw in 6.1
a berekenen mbv differentieren: rc_raaklijn aan f in A=f'(x_A)

• k:y=ax+b
• a= f'(x_A)=...   
  
• invullen A(x_A,y_A) om b te berekenen geeft
  y_A=a*x_A+b
  b=...
  Als y_A niet gegeven is bereken y_A dan door x_A in te vullen in f(x) -> y_A=f(x_A)
  
• k:y=ax+b
  

Regels voor het differentieren van machten

• f(x)=a geeft f'(x)=0 
  vb: f(x)=5 (horizontale lijn, dus rc raaklijn =0) -> f'(x)=0 
• f(x)=ax geeft f'(x)=a 
  vb: f(x)=5x (rechte lijn, rc raaklijn is overal 5) -> f'(x)=5 
• f(x)=axⁿ geeft f'(x)=n*ax^n-1 
  vb: f(x)=3x⁴ (dalparabool, hellingsgrafiek is een lijn) -> f'(x)=12x³

Gegeven: f(x)=3x²+2x+1

Differentieer f(x) en geef f'(x) 
(vb: f'(x)=4x+3)

zwart:  f(x)= 3x²+2x+1
groen: f'(x)= 6x+2

Gegeven: f(x)=3x²+2x+1

Stel de formule op van de raaklijn k aan f(x) 
in punt A(1,6) (vb: k:y=2x-3)

Uitwerking

• k:y=ax+b
• a=f'(1)=6*1+2=8
  
• invullen A(1,6) om b te berekenen geeft
  6=8*1+b
  b=-2
• k:y=8x-2
  

parabool f(x)= 3x²+2x+1
raaklijn k aan f in A:
k:y=8x-2

Gegeven: f(x)=(2x+3)(x+4)

Differentieer f(x) en geef f'(x) (werk eerst de haakjes weg)

vb: f'(x)=3x+2

Uitwerking

• f(x)=(2x+3)(x+4)
• f(x)=2x²+3x+8x+12=2x²+11x+12
• f'(x)=4x+11

Gegeven: f(x)=(2x+3)(x+4)

x_A=2, bereken y_A

vb: 5

Uitwerking

y_A=f(x_A)=(2*2+3)(2+4)=7*6=42

Gegeven: f(x)=(2x+3)(x+4) en f'(x)=4x+11

Stel een formule voor raaklijn k aan f in A(2,42)

Uitwerking

• k:y=ax+b
• a=f'(2)=19
  
• y_A=f(2)=42
  invullen A(2,42) om b te berekenen geeft
  42=19*2+b
  b=4
• k:y=19x+4
  

00:00

Uitwerking vraag 7 blz 57

ingesproken door IDM

Theorie 6.1B

Coordinaten van het raakpunt A berekenen met behulp van een  gegeven rc van de raaklijn aan f in A

Voorbeeld

Gegeven: f(x) = x² - 3x + 1 en raaklijn k aan f in B met rc= 2. 
Gevraagd: Bereken de coordinaten van B

• rc = 2, dus f'(x)=2
• f'(x) = 2x - 3
• 2x - 3 = 2
• 2x = 5
• x = 2,5 
• f(2,5)=-0,25
• Dus B(2,5;-0,25)

9a Gegeven is de functie f(x) = -x²+2x+3
In het punt A van de grafiek is de rc van de raaklijn gelijk aan 4. Bereken algebraïsch de coördinaten van A.
(Antwoordvoorbeeld (3,4) )

Uitwerking 9a

• f(x) = -x²+2x+3 geeft f'(x) = -2x+2
• rc raaklijn in A is 4, dus f'(x_A)=4 
• -2x+2=4
• -2x=2
• x=-1
• y_A = f(-1)=0
• Dus A(-1,0)

00:00

Uitwerking 12a 

ingesproken door IDM