Hoofdstuk 13: Allerlei formules

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 6

Allerlei formules

Waar gaat dit hoofdstuk over?

1. Goniometrische formules (tekenen, opstellen en toepassen van sinusoïden).

2. Formules herschrijven (breuken herleiden, variabelen vrijmaken en formules combineren).

3. Omvormen van formules met logaritmen en exponenten.

Wat ga je vandaag leren?

Hoe de formule van een sinusoïde eruit ziet

Hoe je de periode, evenwichtsstand en amplitude van een sinusoïde bepaalt

Pak je GR

1. In radialen zetten

2. Plotten:

y = sin (x)

y = 2 + sin (x)

y = 2 + sin (4x)

Geef de periode, evenwichtsstand en amplitude van:

y = 5 + sin (x)

y = 5 sin (x)

y = sin (5x)

Algemeen

Voor een sinusoïde van de vorm y = a + b sin (cx) geldt:

a = evenwichtsstand

b = amplitude

c = 2 pi / periode

Aan de slag

Hoofdstuk 13, paragraaf 1

Opdracht 5g, h, i, 6, 7, 8

y = a + b sin (c(x-d))

Wat ga je vandaag leren?

Wat het beginpunt van een sinusoïde is

Hoe je in een formule afleest waar het beginpunt ligt

Pak je GR

1. Teken de grafieken 

y = sin (x)

y = 2 + sin (x) 

y = sin (x - 2)

y = 2 + sin (x - 2)

Beginpunt

Het beginpunt van een sinusoïde is een punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat. 

y = a + b sin (c(x-d))

geeft als beginpunt (d, a)

Voorbeeld

Gegeven is 

Teken op [0, 5] de grafiek van A

A=20+15sin(π(t−1​2​​1​​))

Aan de slag

Opdracht 13, 14

Formules van sinusoïden opstellen

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je uit een grafiek de formule opstelt van een sinusoïde

Ophalen

Van een sinusoïde in de vorm: y = a + b sin (c(x-d))

a = evenwichtsstand

b = amplitude

c = 2 pi / periode

d = x-waarde beginpunt

Stel de formule op bij

Aan de slag

Opdracht 17, 18

Berekeningen met sinus

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je verschillende punten van een sinusoïde kunt vinden

Bijvoorbeeld

Gegeven is de formule                                                      met t tussen 0 en 4

a) Wat is de evenwichtsstand, periode en coördinaten van het beginpunt?

b) Bereken zonder GR de maximale waarde van N en de bijbehorende t

c) ZELF: Bereken zonder GR de minimale waarde van N en de bijbehorende t

N=−2+7sin(​2​​1​​π(t−3))

Uitwerking

De periode is 4 en het eerste laagste punt valt 3/4 periode na het beginpunt.

3/4 * 4 = 3 en het beginpunt is ook 3, dus dit laagste punt zou bij t = 6 liggen. Omdat 6 niet ligt tussen 0 en 4, ligt het laagste punt op dit interval 1 periode ervoor, bij t = 2

Het laagste punt = -2 - 7 = -9

Aan de slag

Opdracht 22, 23, 24

Sinusoïden gebruiken

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je sinusoïden kunt gebruiken in praktische situaties

Hoe zat het ook alweer?

Van een sinusoïde in de vorm: y = a + b sin (c(x-d))

a = evenwichtsstand

b = amplitude

c = 2 pi / periode

d = x-waarde beginpunt

Bijvoorbeeld

De gemiddelde dagtemperatuur in T in graden celcius in Napels kan worden benaderd door het model                                          

Hierin is n het dagnummer met n = 1 op 1 januari. 

Gegeven is dat T maximaal is op 20 juli (n = 201) en dat                            

Verder is T minimaal op 19 januari en 

Stel de formule op voor de gemiddelde dagtemperatuur in Napels

T=a+bsin(c(n−d))

T​max​​=25°C

T​min​​=9°C

Aan de slag

Kies 3 opdrachten uit 27 t/m 34

Breuken herleiden

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je breuken optelt, vermenigvuldigt, deelt, vereenvoudigt en uitdeelt.

Breuken optellen

Gelijknamig maken

Breuken vermenigvuldigen

teller * teller en noemer * noemer

Breuken delen

Is vermenigvuldigen met het omgekeerde

​3a​​x​​+​b​​2​​

​3ab​​bx​​+​3ab​​6a​​

​3ab​​bx+6a​​

​3a​​x​​⋅​b​​2​​

​3ab​​2x​​

​3a​​x​​:​b​​2​​

​3a​​x​​⋅​2​​b​​

​6a​​bx​​

Vereenvoudigen

Vereenvoudigen

Uitdelen

​(x−2)(x−3)​​6x(x−3)​​

​x−2​​6x​​

18+​5​​(​x​​120​​)​​

18+​5x​​(​x​​120x​​)​​

​2x​​x​2​​+3x+8​​

​2x​​x​2​​​​+​2x​​3x​​+​2x​​8​​

​2​​1​​x+1​2​​1​​+​x​​4​​

18+​5x​​120​​

18+​x​​24​​

Aan de slag

opdr 38 t/m 41

Variabelen vrijmaken en formules combineren

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je variabelen vrijmaakt uit breuken, machten en wortels

Hoe je formules combineert en herleidt

Maak t vrij

y=3√​4t−1​​​

K=2t​0,25​​

N=4+​t+2​​3​​

p=​t+1​​t−3​​

Formules combineren

Gegeven zijn de formules                                            en 

Schrijf de formule van A in de vorm A = at + b

A=8s+3t+850

2s−5t=40

Aan de slag

Opdracht 44, 46, 51, 52

Variabelen vrijmaken bij exponenten en logaritmen

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je een variabele vrijmaakt uit een machtsfunctie

Hoe je een variabele vrijmaakt uit een logaritmische functie

Bijvoorbeeld

Maak t vrij                                                 Schrijf in de vorm 

N=2log(t)−3

t=a⋅ln(bN)

N=5⋅1,18​t​​

Aan de slag

55, 56, 57, 58

Grondtallen veranderen

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je het grondtal verandert bij een machtsfunctie

Hoe je het grondtal verandert bij een logaritmische functie

Logaritmische functies

Schrijf                                                      als logaritme met grondtal 10.

N=25⋅ln(3t+1)

N=25⋅​log(e)​​log(3t+1)​​

N=​log(e)​​25​​⋅log(3t+1)

N=57,6⋅log(3t+1)

Machtsfuncties

Schrijf                                          in de vorm

N=75⋅1,94​t​​

N=b⋅10​ct​​

1,94=10​c​​

c=log(1,94)≈0,288

N=75⋅10​0,288t​​

Aan de slag

61, 62, 63

Formules omvormen

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je een logaritmische functie omschrijft naar een machtsfunctie

Hoe je een machtsfunctie omschrijft naar een logaritmische functie

Van machtsfunctie naar log

N=224t​3,6​​

log(N)=log(224t​3,6​​)

log(N)=log(224)+log(t​3,6​​)

log(N)=2,35+3,6⋅log(t​​​)

Van log naar machtsfunctie

log(N)=2,35+3,6⋅log(t)

log(N)=log(10​2,35​​)+log(t​3,6​​)

log(N)=log(10​2,35​​⋅t​3,6​​)

log(N)=log(224⋅t​3,6​​)

N=224⋅t​3,6​​

Aan de slag

65, 66, 70, 71