H3.4 Vergelijkingen in de meetkunde

H3.4 vergelijkingen in de meetkunde

theorie A: rekenregels voor wortels
theorie B: Rekenen met wortels
theorie C: Vergelijkingen met wortels
theorie D: Bijzondere rechthoekige driehoeken

zonder sin, cos, tan

Ik ken de verhoudingen van de zijden in de 2 standaard driehoeken (45-45-90 en 30-60-90) en kan deze toepassen

1 / 29

Slide 1: Diapositive

WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 4

Cette leçon contient 29 diapositives, avec quiz interactif et diapositives de texte.

La durée de la leçon est: 15 min

Éléments de cette leçon

H3.4 vergelijkingen in de meetkunde

theorie A: rekenregels voor wortels
theorie B: Rekenen met wortels
theorie C: Vergelijkingen met wortels
theorie D: Bijzondere rechthoekige driehoeken

zonder sin, cos, tan

Ik ken de verhoudingen van de zijden in de 2 standaard driehoeken (45-45-90 en 30-60-90) en kan deze toepassen

Slide 1 - Diapositive

Wortels op rekenmachine

\sqrt ​ 81 ​ ​ ​

Slide 2 - Diapositive

Wortels

Slide 3 - Diapositive

Rekenen met wortels

Slide 4 - Diapositive

Wortels en kwadrateren

kwadrateren

wortel trekken

Slide 5 - Diapositive

Rekenen met wortels

Slide 6 - Diapositive

Rekenen met wortels

Afspraak: Je brengt altijd een zo groot mogelijke factor voor de wortel en je laat geen wortels in de breuken van een noemer staan

\frac{​ 4 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 4 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} \cdot \frac{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 4 \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 4 \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 5 ​} = \frac{​ 4 ​ ​}{​ 5 ​} \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

\sqrt ​ 72 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 9 \cdot 8 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 9 ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ 8 ​ ​ ​ = 3 \sqrt ​ 8 ​ ​ ​

Slide 7 - Diapositive

Vergelijkingen met wortels

Slide 8 - Diapositive

Herleid:

2 \sqrt ​ 24 ​ ​ ​ \cdot - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

2 \cdot \sqrt ​ 6 \cdot 4 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​} \cdot \frac{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 6 ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - 1 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​

2 \frac{​ 2 ​ ​}{​ 3 ​} \sqrt ​ 6 ​ ​ ​

Slide 9 - Diapositive

Herleid:

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \sqrt ​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \sqrt ​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ a^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \frac{​ \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 2 ​} \cdot a

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ \cdot a

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a \cdot \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

1 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a \cdot \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

Slide 10 - Diapositive

Los algebraïsch op:

1. Ik wil alleen x links als hele getal hebben:

x 3

2 Nu uit noemer (deler) halen:

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} x \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ - 10 = 3 \sqrt ​ 15 ​ ​ ​

\frac{​ x \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ ( 9 \sqrt ​ 1 5 ​ ​ ​ + 3 0 ) ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} x \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ = 3 \sqrt ​ 15 ​ ​ ​ + 10

\sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x = \frac{​ 9 \sqrt ​ 1 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

x = 9 \cdot \frac{​ \sqrt ​ 1 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} \cdot \frac{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

\sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 3 0 \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 5 ​}

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ 5 ​} \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + 6 \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

Slide 11 - Diapositive

Los algebraïsch op:

1. Ik wil alleen x links als hele getal hebben:

2 Nu uit noemer (deler) halen: gaat niet omdat re verschillende instaan.

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} x \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ + \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

(\sqrt ​ 3 ​ ​ ​)^{​ [?] ​ ​} \sqrt ​ 6 ​ ​ ​

x \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ + 4 \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ = 2 x \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

x \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - 2 x \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ = 4 \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

x (\sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - 2 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​) = 4 \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

x = \frac{​ - 4 \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - 2 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ ​}

Slide 12 - Diapositive

Bijzondere rechthoekige driehoeken

De zijden van een gelijkbenige

rechthoekige driehoek verhouden

zich als 1:1:

De zijden van een driehoek met

hoeken van

verhouden zich als 1:2:

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

°

30 ° e n 60 °

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

Slide 13 - Diapositive

Bijzondere rechthoekinge driehoeken 3.4 theorie D

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

Slide 14 - Diapositive

Snavelfiguur en zandloperfiguur

Slide 15 - Diapositive

De sinusregel

\frac{​ a ​ ​}{​ sin ( α ) ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin ( β ) ​} = \frac{​ c ​ ​}{​ sin ( γ ) ​}

Met 3 "stukjes info" kun je nu bijna

altijd alles in een driehoek berekenen

Let op: bij stompe hoeken

sin (180 ° - α) = sin (α)

Slide 16 - Diapositive

De cosinusregel

a^{​ 2 ​ ​} = b^{​ 2 ​ ​} + c^{​ 2 ​ ​} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos (α)

b^{​ 2 ​ ​} = a^{​ 2 ​ ​} + c^{​ 2 ​ ​} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos (β)

c^{​ 2 ​ ​} = a^{​ 2 ​ ​} + b^{​ 2 ​ ​} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos (γ)

Als je 3 zijdes hebt kun je de hoeken uitrekenen

Als je twee zijdes met de ingesloten hoek hebt, kun je de 3e zijde berekenen

Slide 17 - Diapositive

Slide 18 - Diapositive

Berekeningen met bijzondere driehoeken

1 : 1 : \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

1 : 2 : \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

Slide 19 - Diapositive

Bijzondere rechthoekige driehoeken

Slide 20 - Diapositive

Voorbeeldsom verschillende goniometrie theorieën

Bereken exact de oppervlakte van ABC.

1. gelijkbenig ? Nee

2. rechthoekige ? Nee

3. Sinusregel? setje + andere zijde of hoek bekend? Ja

omdat hoek C = (setje)

+ een andere hoek

4. Cosinusregel? twee zijden met ingesloten hoek of alle zijden bekent? Nee

105 °

Slide 21 - Diapositive

Bereken exact de oppervlakte van ABC.

4. Sinusregel

1. Hoeken benoemen

2. Zijden benoemen: a, b en c

3. Hoogtelijn AC berekenen

c = 10 en

4. Nu kun je hoogtelijn C op AB uitrekenen met CAS: cos 30 = c/7,3

cos 30 x 7, 3 = 6,34

5. Daarna opp = 1/2 x hoogtelijn x c = 1/2 x 6,34 x 10 = 31,55

α, β e n γ

α

β

γ

b = 7, 3

a

c

105 °

γ = 105 °

\frac{​ a ​ ​}{​ sin ( α ) ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin ( β ) ​} = \frac{​ c ​ ​}{​ sin ( γ ) ​}

\frac{​ a ​ ​}{​ sin ( 3 0 ) ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin ( 4 5 ) ​} = \frac{​ 1 0 ​ ​}{​ sin ( 1 0 5 ) ​}

= b = \frac{​ 1 0 \cdot sin ( 4 5 ) ​ ​}{​ sin ( 1 0 5 ) ​} = 7, 32

Slide 22 - Diapositive

Gelijkbenige driehoek

verhouding : 1: 1:

....... : ...... : 8 =

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

8

\frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ ​} = 5, 6568 = 5, 7

Slide 23 - Diapositive

Rechthoekige driehoek

verhouding : 1: 2:

....... : ...... : =

AC = BC : 2

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

6 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

30 °

6 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

A B = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot A C = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot 3 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ = 9

Slide 24 - Diapositive

Bereken KL

1. Bijzonder rechthoek? Ja 30, 90 en 60 graden: 1 : 2 : of zie hieronder

NL = MN = 5

30 °

45 °

N

10

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

M N = \frac{​ K M ​ ​}{​ 2 ​} = \frac{​ 1 0 ​ ​}{​ 2 ​} = 5

5

K M^{​ 2 ​ ​} - M N^{​ 2 ​ ​} = K N^{​ 2 ​ ​}

K N^{​ 2 ​ ​} = 10^{​ 2 ​ ​} - 5^{​ 2 ​ ​} = 100 - 25 = 75

10

K N = \sqrt ​ 75 ​ ​ ​ = 8, 66

SCHETS

M L = \sqrt ​ 5^{​ 2 ​ ​} + \sqrt ​ 5^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ = \sqrt ​ 50 ​ ​ ​ ​ ​ ​ \approx 7

Slide 25 - Diapositive

Rechthoekige driehoek

verhouding : 1: 2:

....... : ...... : =

AC = BC : 2

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

10

30 °

6 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

A B = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot A C = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot 3 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ = 9

Slide 26 - Diapositive

timer

10:00

Slide 27 - Question ouverte

Slide 28 - Diapositive

a. AP = x en druk PW uit in x

b. Hoe kom je aan AB =

c. Bereken zijde AP

We weten:

a. regelmatige achthoek : alle zijden zijn gelijk!

b. gelijkbenige rechthoekige

driehoek dus PW = PQ = QB etc.

1 (WA) : 1 (SP) : (PW)

PWA:

AB = AP + PQ + QR

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

P Q = \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ \cdot A P = \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ \cdot x = x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

6 = x + x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + x = 2 x + x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

6 = x (2 + \sqrt ​ 2 ​ ​ ​)

2 x + x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

Slide 29 - Diapositive

H3.4 Vergelijkingen in de meetkunde

Éléments de cette leçon

Slide 1 - Diapositive

Slide 2 - Diapositive

Slide 3 - Diapositive

Slide 4 - Diapositive

Slide 5 - Diapositive

Slide 6 - Diapositive

Slide 7 - Diapositive

Slide 8 - Diapositive

Slide 9 - Diapositive

Slide 10 - Diapositive

Slide 11 - Diapositive

Slide 12 - Diapositive

Slide 13 - Diapositive

Slide 14 - Diapositive

Slide 15 - Diapositive

Slide 16 - Diapositive

Slide 17 - Diapositive

Slide 18 - Diapositive

Slide 19 - Diapositive

Slide 20 - Diapositive

Slide 21 - Diapositive

Slide 22 - Diapositive

Slide 23 - Diapositive

Slide 24 - Diapositive

Slide 25 - Diapositive

Slide 26 - Diapositive

Slide 27 - Question ouverte

Slide 28 - Diapositive

Slide 29 - Diapositive

Plus de leçons comme celle-ci

H3.3CD - Vergelijkingen in de meetkunde

sinus, cosinus en tangens

sinus, cosinus en tangens

Eigenschappen van vlakke figuren

3.3 Vergelijkingen met wortels

Samenvatting H3 Hoeken en afstanden

Samenvatting H3 Hoeken en afstanden

Samenvatting H3 Hoeken en afstanden