Beweging - (v,t)-diagram v2

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 4

Beweging

(v,t)-diagram

Hoofdstuk Beweging

Beweging - (v,t)-diagram

Beweging - De raaklijn

Beweging - De oppervlaktemethode

Beweging - De valversnelling

Beweging - Gemiddelde snelheid

Beweging - Versnelling

Beweging - (v,t)-diagram

Leerdoelen

Aan het eind van de les kan je...

... een (v,t)-diagram herkennen

... bepalen om welk soort beweging het gaat in het (v,t)-diagram

00:07

(v,t)-diagram van Tesla Model 3

Een van onderstaande (v,t)-diagrammen geeft een representatie van de versnelling van de Tesla auto.

00:30

Hoe ziet het verloop van de snelheid tegen de tijd eruit voor de versnelling naar 100 km/h?

1. A
2. B
3. C
4. D

Tesla auto

Hiernaast zie je het werkelijke (v,t)-diagram van de Tesla auto uit het filmpje. Je herkent een rechte (trend)lijn in de data terug die de data het beste volgt.

Deze rechte lijn in een (v,t)-diagram is gekoppeld aan een versnelling. Wanneer een (v,t)-diagram wordt gemaakt van een object dat aan het versnellen is, is de figuur een rechte lijn.

(v,t)-diagram

Behalve met formules, kunnen we beweging ook beschrijven met diagrammen. Een (v,t)-diagram is een diagram met op de horizontale as de tijd (t) en op de verticale as de snelheid (v).

Hiernaast is een aantal beweging beschreven met behulp van dit type diagram. In A zien we een grafiek die horizontaal loopt, op de x-as. De snelheid is continu 0 m/s en verandert hier niet in de tijd. Het voorwerp staat hier dus stil. 

In B zien we een voorwerp dat zich verplaatst met een snelheid die niet verandert. Elke seconde blijft de snelheid hetzelfde, namelijk 2 m/s. We spreken hier van een constante snelheid of een eenparige beweging.

bla

(v,t)-diagram

In C zien we een grafiek die lineair oploopt. De snelheid is continu en neemt met de tijd toe, te zien aan de positieve helling. Het voorwerp is dus aan het versnellen en dus spreken we hier van een versnelling.

In D zien we een voorwerp dat zich verplaatst met een  snelheid die steeds kleiner wordt. Het voorwerp is dus aan het vertragen en hier hebben we dus te maken met een vertraging. Merk op dat de helling hier negatief is!

bla

Negatieve snelheid

Wanneer een voorwerp zich achteruit beweegt, hebben we te maken met een negatieve snelheid. Denk maar aan het opgooien van een voorwerp; eerst beweeg het in de positieve richting omhoog, vertraagt de snelheid, en valt het weer terug door te versnellen (achteruit gezien op de y-as).

In (v,t)-diagrammen betekent dit dat we gebruik moeten maken van de negatieve as. Hiernaast zien we een voorbeeld. We zien hier een voorwerp dat eerst vooruit vertraagt en daarna achteruit versnelt.

Let op! De snelheid neemt weer toe door een versnelling in tegengestelde richting. Dit is te zien aan de toename in negatieve getallen.

Beweging

Oppervlaktemethode

Oppervlaktemethode

We kunnen met een (v,t)-diagram ook de verplaatsing van een voorwerp bepalen. De oppervlakte onder de (v,t)-grafiek blijkt namelijk gelijk te zijn de verplaatsing (Δx) van het voorwerp. In het linker onderstaande diagram is het oppervlak gelijk aan 6,0 · 3,0 = 18 m. 

Het voorwerp heeft hier dus 18 meter afgelegd. 

In het middelste voorbeeld is het oppervlak een driehoek gelijk aan (6,0 · 3,0)/2 = 9,0 m. Dit voorwerp heeft dus 9 meter afgelegd. In de rechter afbeelding bestaat het oppervlak onder de grafiek uit een rechthoek en een driehoek. 

Het oppervlak geeft een verplaatsing van 2 · 6 + (2 · 6)/2 = 18 m.

Remmend voertuig

Hieronder zien we het (v,t)-diagram van een remmend voertuig. Op tijdstip t = 0 s springt een stoplicht op rood.

Zoals je in het diagram hiernaast kunt zien, duurt het nog 1,0 seconde voordat de bestuurder hierop reageert door op zijn rem te trappen. De reactietijd van de bestuurder is dus 1,0 seconde. Na de reactietijd duurt het in dit voorbeeld nog 3,0 seconden voordat het voertuig stil staat.

De afstand die het voertuig gedurende de reactietijd aflegt noemen we de reactieafstand. 

In dit geval is dit 50 · 1 = 50 m. De afstand die het voertuig tijdens het remmen aflegt noemen we de remweg. In dit geval is dat (50 · 3)/2 = 75 m. 

De reactieafstand en de remweg samen noemen we de stopafstand. In het bovenstaande voorbeeld is de stopafstand dus gelijk aan 50 + 75 = 125 m.

Hokjes tellen

In de onderstaande afbeelding kunnen we het oppervlak niet met een simpele formule bepalen. We kunnen hier wel het aantal hokjes onder de grafiek tellen. In de rechter afbeelding is te zien dat er 53 hele hokjes onder de grafiek te vinden zijn. Bij het overgebleven oppervlak moeten we zo goed mogelijk schatten hoeveel hokjes dit zijn. 

Ga zelf na dat dit er ongeveer 9,5 zijn. In totaal hebben we dus 53 + 9,5 = 62,5 hokjes. Elk hokje heeft een oppervlak van 0,5 · 0,5 = 0,25 m.

De totale verplaatsing is dus:

Δx = 62,5 · 0,25 = 15,6 m

Gemiddelde versnelling 

Met een (v,t)-diagram kunnen we ook de versnelling bepalen. In het hiernaast staande diagram is de toename van de snelheid Δv gelijk aan 4,0 m/s. De tijdsduur Δt van de beweging is 6,0 seconden. De versnelling is dus gelijk aan:


Invullen geeft:



Omdat het hier om een constante versnelling gaat, is de gemiddelde versnelling gelijk aan de versnelling zelf.

a​gem​​=​Δt​​Δv​​

a​gem​​=​Δt​​Δv​​=​6,0​​4,0​​=0,67 m⋅s​−2​​

a​gem​​=a=0,67 m⋅s​−2​​

Gemiddelde versnelling 

In de onderstaande afbeelding is de versnelling niet eenparig. Toch kunnen we hier dezelfde formule gebruiken. We vinden in dat geval niet de versnelling die overal geldt, maar de gemiddelde versnelling:

a​gem​​=​Δt​​Δv​​=​6,0​​4,0​​=0,67 m⋅s​−2​​

Beweging

De raaklijn

Raaklijn

Op een vergelijkbare manier kan je ook met Δv en Δt de momentale versnelling berekenen met de formule:

waarin:

a_t   = momentale versnelling (m/s²)

Δv = snelheidsverandering (m)

Δt = tijdstoename (s)

... staat erbij om aan te geven dat er Δv en Δt gebruikt zijn om de momentale versnelling uit te rekenen. Schrijf dit er ook bij!

Er geldt dat hoe steiler de raaklijn loopt, hoe groter de versnelling is.

a​t​​=(​Δt​​Δv​​)​raaklijn​​

(...)​raaklijn​​

a​t=1,65 s​​=(​Δt​​Δv​​)​raaklijn​​

→a​t=1,65 s​​=​6,0−0​​4,85−0,85​​=0,67 m⋅s​−2​​

0

Falcon Heavy lancering

Ook bij de lancering van de Falcon Heavy door SpaceX is er een vrij rechte trendlijn te zien in het (v,t)-diagram.

Sprong van 39 km hoogte

De sprong van Felix Baumgartner (zie afbeelding hiernaast) is op te splitsen in een aantal stukken:

- Tussen 0 - 40 s         
- Tussen 40 - 60 s       
- Tussen 60 - 200 s      
- Tussen 200 - 260 s 

Voor elk gedeelte is de (gemiddelde) versnelling uit te rekenen met de formule.

versnelling
constante snelheid
vertraging
constante snelheid

Opgaven

Opgave 1
Geef voor de volgende twee diagramen aan of het voorwerp versnelt of vertraagt. Geef ook aan of het voorwerp vooruit of achteruit beweegt.

 

Opgave 2

Schets de volgende (v,t)-diagrammen:
a. Mario gaat eerst met constante snelheid vooruit. Dan staat hij stil.

b. Mario begint langzaam te rennen met een constante snelheid. Na een tijdje versnelt hij.

c. Mario begint erg snel te rennen, maar zijn snelheid neemt telkens een beetje af. Op een gegeven moment heeft hij een snelheid bereikt waarbij hij goed kan blijven rennen. Vanaf dat moment blijft hij met een constante snelheid rennen.

d. Mario gooit zijn pet recht omhoog de lucht in. Uiteindelijk komt de pet op de grond te liggen.

e. Mario laat zijn pet uit zijn hand vallen. Uiteindelijk komt de pet op de grond terecht.

Opgaven

Opgave 3
Schets bij de volgende (x,t)-diagrammen het bijbehorende (v,t)-diagram:

Opgave 4

Schets bij de volgende (v,t)-diagrammen het bijbehorende (x,t)-diagram:

Opgaven

Opgave 5
a. Bereken de versnelling van de volgende beweging in het linker (v,t)-diagram.

b. Bereken de vertraging die het voertuig ondergaat tijdens het remmen in het rechter (v,t)-diagram.

Opgave 6

Het volgende diagram bestaat uit drie delen. Bereken voor elk deel de versnelling.

Opgaven