Hoofdstuk 7: bewijzen

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Bewijzen

Gelijkvormige en congruente driehoeken

Gelijkvormige driehoeken

2 driehoeken die een vergroting zijn van elkaar:

hh, zhz, zzz, zzr

Congruente driehoeken

2 driehoeken zijn exact gelijk:

HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR

ΔABC∽ΔDEF

ΔABC≃ΔDEF

Bewijs

Maak zelf

3, 10, 11, 12

Stelling van Thales

Gegeven is een cirkel met middelpunt M.    

Bewijs:

∠C=90°

Thales

Stelling van Thales: als C op een cirkel met middellijn AB ligt, dan is hoek C recht. 

Omgekeerde stelling van Thales: als hoek C recht is, dan ligt C op de cirkel met middellijn AB.

Maak zelf

14, 15

Koordenvierhoek

A + C = B + D = 180 graden

Koordenvierhoek

Koordenvierhoek: een vierhoek waarvan alle hoekpunten op een cirkel liggen.

Stelling van de koordenvierhoek: in een koordenvierhoek zijn overstaande hoeken samen 180 graden.

Omgekeerde stelling van de koordenvierhoek: als in een vierhoek de overstaande hoeken samen 180 graden zijn, is de vierhoek een koordenvierhoek.

Maak: 18, 20, 23

Constante hoek

Bewijs dat 

Maak gebruik van een extra punt

E op de koorde tussen A en B. 

∠ADB=∠ACB

Eerst een paar begrippen

Koorde: een lijnstuk waarvan de 2 eindpunten op een cirkel liggen. 

Middelpuntshoek: hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is. 

Omtrekshoek: hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt.

Stelling van de constante hoek

Als punt C over een cirkelboog AB tussen de punten A en B beweegt, verandert de grootte van de omtrekshoek niet. 

Omgekeerde stelling van de constante hoek: als 2 hoeken aan dezelfde kant van AB even groot zijn, dan liggen ze op dezelfde cirkelboog. 

Nog 2 stellingen

Omtrekshoek: een omtrekshoek van een koorde is gelijk aan de helft van de middelpuntshoek van die koorde

Boog en koorde: in een cirkel horen bij gelijke bogen gelijke koorden

Deze 2 stellingen ga je bewijzen in opdracht 26 en 27

Maak zelf

26 t/m 33 (2 lessen)