Negenpuntscirkel

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 3

Negenpuntscirkel

vwo bovenbouw

Femke, Saskia, Agnes en Isabelle

Lesplanning

• Lesdoel
• Voorkennis (quiz)
•  Bewijs uitwerken
• Afsluiting

Lesdoel

• Aan het einde van de les begrijpen de leerlingen het bewijs van de negenpuntscirkel.

Voorkennis

Wat is een hoogtelijn?

1. Lijn in driehoek die door één van de hoekpunten gaat en loodrecht staat op de aanliggende zijde.
2. Lijn in driehoek die door één van de hoekpunten gaat en de overstaande zijde in het midden snijdt.
3. Lijnstuk in driehoek die vanuit het midden loopt van een zijde naar het midden van een andere zijde.
4. Lijn in driehoek die door één van de hoekpunten gaat en loodrecht staat op de overstaande zijde.

Een lijn in een driehoek die door één van de hoekpunten gaat en de overstaande zijde in het midden snijdt.
Over welke lijn gaat het hier?

Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat loopt van het midden van de ene zijde naar het midden van een tweede zijde.

Goed

Fout

gelijkvormige driehoeken

Wat is geen eigenschap van een parallellogram

1. Een parallellogram heeft twee paar evenwijdige zijden
2. De overstaande hoeken zijn niet even groot
3. De overstaande zijden zijn even lang
4. De diagonalen delen elkaar middendoor

Wat is de omgekeerde stelling van Thales

1. Een driehoek ingeschreven in een cirkel, en waarvan één zijde een middellijn van de cirkel vormt, is een rechthoekige driehoek.
2. Als het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek op een zijde ligt, dan is de hoek tegenover die zijde recht.

De stelling

Wanneer in een driehoek de drie middens van de drie zijden, de drie voetstukken van de drie hoogtelijnen en de drie middens van de bovenkanten van de drie hoogtelijnen worden getekend, dan liggen deze negen punten op een cirkel, die de negenpuntscirkel van Feuerbach wordt genoemd. 

Probeer bij deze stelling een schets te maken.

Geogebra

Het bewijs

Laat nu zelf zien dat:

CH//DM​b​​​​​

CH//EM​a​​

Hieruit volgt dat vierhoek DEMaMb een paralellogram is, omdat de overstaande zijden evenwijdig zijn.

DMb//CH//EMa en CC' is de hoogtelijn vanuit ∠C.

∠AC'C=90°, dus ∠DEM_a=90°=∠EDMb.

Hieruit volgt dat vierhoek DEMa Mb een rechthoek is.

Laat zien met de omgekeerde stelling van Thales dat de punten D, E, Ma en Mb op de cirkel liggen.

EMb en DMa zijn de diagonalen van de rechthoek DEMa Mb.

∠DEMa ligt op koorde DMa

∠DEMa=90° en ligt dus op de cirkel (omgekeerde stelling van Thales).

∠EDMb ligt op koorde EMb

∠EDMb=90° en ligt dus op de cirkel (omgekeerde stelling van Thales).

Hiermee hebben we bewezen dat de punten: D, E, Ma en Mb op de cirkel liggen.

Hieruit volgt dat vierhoek EFMb Mc een paralellogram is, omdat de overstaande zijden evenwijdig zijn.

FMb//AH//EMc en AA' is de hoogtelijn vanuit ∠A.

∠AC'C=90°, dus ∠Mc EF=90°=∠EMc Mb.

Hieruit volgt dat vierhoek EFMb Mc een rechthoek is.

EMb en DMa zijn de diagonalen van de rechthoek EFMb Mc.

∠Mc EF ligt op koorde FMc

∠Mc EF=90° en ligt dus op de cirkel (omgekeerde stelling van Thales).

∠EMc Mb ligt op koorde EMb

∠EMc Mb=90° en ligt dus op de cirkel (omgekeerde stelling van Thales).

EMb is zowel een diagonaal van de rechthoek EFMb Mc als van de rechthoek DEMa Mb.

Hiermee hebben we bewezen dat ook de punten: E, F, Mb en Mc op de cirkel liggen.

Laat met behulp van de omgekeerde stelling van Thales zien dat B' op de cirkel ligt.

Lesafsluiting: Aan het einde van de les begrijpen de leerlingen het bewijs van de negenpuntscirkel.
Is dit lesdoel behaald?

😒🙁😐🙂😃