§ 7 - Significante cijfers

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 4

Leerdoelen

- Wat significante cijfers inhouden en waarom we ze zo schrijven

- Juiste notatie van significante cijfers toepassen

- Telwaarden herkennen en correct gebruiken

Welke waarde meet je?

Welke waarde meet je?

Heb je 2,48 cm gemeten?

Dan kan je er niet ver naast zitten. Waarschijnlijk. Want je ziet dat de waarde tussen de 2,4 en 2,5 cm zit. De 8 na de 2,4 is vooral een schatting met het blote oog.

Maar..... Het zou ook 2,47 cm kunnen zijn. Misschien in werkelijkheid zelfs 2,474 cm. Dan komen er meer vragen bij dan antwoorden. Hoe precies kunnen we meten? En wat zegt dat over onze metingen?

Schattingen

Met het blote oog kunnen we maar tot 1 decimaal in het millimeter-bereik schatten. In het geval van het vorige voorbeeld zou dat dus ongeveer 24,8 mm kunnen zijn. Ga je nog twee decimalen verder, dan kom je op de schaal van bacterien, de micrometer schaal. Die kunnen wij als mens niet waarnemen.

Tegenwoordig kunnen we meetapparatuur bouwen en gebruiken waarbij we steeds preciezer kunnen meten.

Opgelicht?

Een klant vraagt op de markt 5 kg appels. Thuisgekomen merkt hij dat hij maar 4589 gram heeft gekregen! Wanneer hij zich gaat beklagen bij de marktkoopman, antwoordt deze dat de klant maar met meer significantie had moeten bestellen. 

De marktkoopman zou dan een andere, nauwkeurigere, (digitale) weegschaal hebben gebruikt!

[WS] Significante cijfers

http://www.wetenschapsschool.nl/chapter/Basis_6_Significante+cijfers.html

Significante cijfers

Veel waarden in natuurkundige problemen zijn meetwaarden. De nauwkeurigheid van de gemeten waarde kan afhangen van de manier van meten en de gebruikte meetapparatuur.

De significantie van een gemeten waarde geeft aan hoe nauwkeurig deze waarde gemeten is.

Meetapparatuur

Stel je voor dat je vier weegschalen hebt die elk tot 10 kg kunnen  gaan.

De simpelste heeft maar één cijferweergave en kan dus massa's van 0 t/m 9 kg weergeven. De nauwkeurigste heeft de mogelijkheid tot 3 cijfers achter de komma weer te geven (vier cijfers in totaal dus) en kan van 0,000 t/m 9,999 kg weergeven.

De twee andere weegschalen hebben resp. 2 en 3 cijferweergaves.  

Hoeveel cijfers je kan weergeven zegt iets over de significantie van de gemeten waarde. Hierbij maakt het niet uit waar de komma staat.

Meten is weten

De massa '4 significant'.

De massa '3 significant'.

De massa '2 significant'.

De massa '1 significant'.

Afhankelijk van de gebruikte weegschaal, 'is' de massa van de appels dus 4,589 of 4,59 of 4,6 of 5 kg.

Al deze weergaven van de massa's zijn kloppend met de daadwerkelijke massa.

Wanneer met de minst nauwkeurige weegschaal een massa van 5 kg wordt bepaald, is de exacte massa flink onzeker. Deze kan liggen tussen de 4,5 kg en de 5,49... kg. Dat is een onnauwkeurigheid van 1 kg en dus zo'n 20%!

De meest nauwkeurige weegschaal heeft een onnauwkeurigheid van slechts 0,001 kg (1 gram, zo'n 0, 2%).

Voorbeelden

L = 12,562 m is 5 significant.

d = 7,0 mm is 2 significant.

R = 0,03 Ohm is 1 significant.

Het volume van een blokje van 1,2 cm bij 2,34 cm bij 0,8 cm is 2,2464 cm³. De 0,8 cm is de laagste met 1 significantie, dus het antwoord moet ook 1 significant --> V = 2 cm³.

Vragen

Er volgen nu 3 vragen over significantie. Daarna volgt extra uitleg en nog wat voorbeelden.

Wat is de significantie van onderstaande meetwaarde:
m = 25,2 gram

1. 1 significant
2. 2 significant
3. 3 significant
4. weet ik niet

Wat is de significantie van onderstaande meetwaarde:
s = 13,00 m

1. 2 significant
2. 3 significant
3. 4 significant
4. weet ik niet

Wat is de significantie van onderstaande meetwaarde:
A = 0,0035 m^2

1. 2 significant
2. 4 significant
3. 5 significant
4. weet ik niet

Rekenregels

• De significantie van een waarde is het totaal aantal cijfers waaruit een getal bestaat. Het maakt NIET uit waar de komma staat!
  
• Nullen aan het begin tellen niet mee, nullen aan het eind wel.
  
• Wanneer je met meerdere waardes rekent, bepaalt de waarde met de minste significantie de uiteindelijke significantie van het eindantwoord.
• Voor optellen en aftrekken gaat het WEL om het aantal decimalen (dus cijfers achter de komma). 
  

Voorbeelden optellen en aftrekken

8,21 + 15,1 = 23,31 op je rekenmachine. Echter, van de 15,1 is maar één cijfer achter de komma nauwkeurig. Het antwoord mag dus ook maar één cijfer achter de komma nauwkeurig -> 23,3.

5,12 + 0,08 = 5,2 op je rekenmachine. Beide waardes hebben 2 cijfers achter de komma nauwkeurig. Je rekenmachine geeft echter 5,2 aan, dat LIJKT dus maar één cijfer decimaal nauwkeurig. De juiste weergave van dit antwoord is dan 5,20. Je moet soms dus zelf een 0 toevoegen!

Gemengde voorbeelden.

Reken na en zorg dat je het snapt!

s=vt=12​.​​18=216=2,2.10​2​​​​​​​m

I=​R​​U​​=​30.10​3​​​​2,15​​=7,16666..10​−5​​=7,2.10​−5​​​​​​​A

R​t​​=R​1​​+R​2​​=1120,2+16,67=1136,87=1136,9​​​​​Ω

ΔT=T​e​​−T​b​​=190,43−187,8=2,6K

Significantie, totaal aantal cijfers

Significantie, totaal aantal decimalen

Oefenen

Hierna volgen nog vier oefenvragen in de vorm van een WordWeb. Het kan zijn dat je deze vragen niet kan zien als je deze les thuis nog eens doorneemt. De uitwerkingen volgen direct na de vier vragen.

Reken uit:
4,72 x 0,73
(geef alleen het antwoord)

Reken uit:
35 x 375
(geef alleen het antwoord)

Reken uit:
12 / 40∙10^3
(geef alleen het antwoord)

Reken uit:
1,242 . 10^3 + 18,7
(geef alleen het antwoord)

Uitwerkingen

4,72 x 0,73 = 3,4456 dus 3,4 (2 significant van 0,73)

35 x 375 = 13125 dus 1,3 10^4 (2 significant van 35)

12/(40.10^3) = 0,0003 = 0,00030 of 3,0 10^-4 (2 sign van 12 en 40)

1,242.10^3+18,7 = 1242 + 18,7 = 1260,7 = 1261 (0 decimalen van 1242)

Q & A

Q: bij de eerste vraag is het 25,2 dus 1 cijfer achter de komma , maar het goede antwoord is significant 3 maar in de uitleg staat dat 1 cijfer achter de komma significant 2 is... is de vraag dan fout of de uitleg?
A: Het gaat bij de significantie niet om cijfers achter de komma, maar om het totaal aantal cijfers. Alleen bij het optellen en aftrekken kijk je WEL naar de hoeveelheid cijfers achter de komma. Je hebt het dan over 'decimalen'.

 

Q: Ik weet niet zeker of ik het verschil tussen totaal aantal cijfers en decimaal bij significantie weet. Kunt u dat nog een keer uitleggen? Significant kan ook betekenen 'betekenisvol' of 'belangrijk', maar dit is bij spreektaal, niet bij natuurkunde (denk ik)

A: Wanneer je optelt en aftrekt kijk je naar het aantal decimalen (cijfers achter de komma). Bij vermenigvuldigen en delen en andere bewerkingen, is het totaal aantal cijfers (dus voor én na de komma samen) van belang. De twee andere beschrijvingen die je gevonden hebt passen ook wel bij natuurkunde hoor! Stel dat je antwoord 45,325 is, maar het maar 3 significant is, dan betekent het dat de laatste twee cijfers (...25) niet betekenisvol zijn, oftewel geen waarde hebben (omdat je te veel onnauwkeurigheid in je oorspronkelijke gegevens had).

Q & A

Q: Moet je bij significantie, totaal aantal cijfers het dus altijd opschrijven op de manier x 10^x En bij totaal aantal decimalen gewoon de komma gebruiken of is het gewoon toeval dat dat zo bij die voorbeelden van de vorige slide was?

A: Nee, dat was toeval. Je gebruikt een  10-macht als het getal te groot is om met 'weinig' significantie op te kunnen schrijven, of ZO klein dat er heel veel 0-en ontstaan.

Voorbeeld groot getal:  12 x 238 = 2856, maar dat is veel te significant. Het antwoord mag maar 2 significant. De significante waardes zijn dan 2,9. Dat dat getal is natuurlijk te klein. Dit maak je dan 'in orde' met de 10-machten. 2856 wordt 2,9.10^3.

Voorbeeld klein getal: 3,4 / 2,8.10^6 = 0,000001214. In de juiste significantie wordt ddat 0,0000012. Dit is niet echt duidelijk, dus dan kan je een 10-macht gebruiken: 1,2.10^-6. (Maar dit antwoord is dus net zo significant en dus juist als 0,0000012)

Als je nog iets niet begreep, geef dat dan zo duidelijk mogelijk aan.

Hieronder kun je je opmerkingen en vragen kwijt over deze les. Vind je fouten of heb je een geniale aanvulling: dan verdien je natuurlijk bonuspunten!

Met dank aan...

Deze les ontwikkeld, mede met dank aan...

2017/2018: Lilly Hofman, Amber Cuijpers, Felix Gerdes, ... en jouw bijdrage?!