Lineaire verbanden (H5 voor H4A)

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Lineaire formules

Algemene formule:  

y = ax + b

a:

richtingscoëfficiënt = hellingsgetal = toename y bij toename x met 1 = toename y per eenheid x

De richtingscoëfficiënt wordt in opgaves soms rechtstreeks gegeven als:

- constante snelheid in meter per seconde

  Lineaire verband b.v. Afstand s (meter) als functie van t (seconde)

- uurloon in euro's per uur

   Lineair verband b.v. Bedrag B (euro) als functie van t (uur)

- kostprijs in euro's per stuk (aantallen)

  Lineair verband b.v. Opbrengst O (euro) als functie van q (aantal verkocht)

}

y = b

a = toename y per eenheid x

x	0	1	2	4	8
y	26	22	18	10	-6

+ 1

+ 1

+ 2

+ 4

- 4

- 4

- 8

- 16

r.c. a = - 4

​1​​−4​​=−4

Hoe haal ik de richtingscoëfficiënt uit een tabel?

​1​​−4​​=−4

​2​​−8​​=−4

​4​​−16​​=−4

De toenamesnelheid wordt niet altijd rechtstreeks gegeven. Je moet deze vaak afleiden via twee punten die worden gegeven, b.v. via de opbrengst op twee verschillende tijdstippen, etc. Daarmee kun je namelijk de toename van y per eenheid x bepalen: 

a=​Δx​​Δy​​=​x​B​​−x​A​​​​y​B​​−y​A​​​​=​8−4​​−6−10​​=−​4​​16​​=−4

Lijn door A (4, 10) en  B (8, -6)

y=−4x+b

Door (4, 10)

}

geeft

−4⋅4+b=10

b=10+16

b=26

y=−4x+26

Controle: 8 invullen geeft 

y=−4⋅8+26=−32+26=−6

Klopt!!

B (8, -6)

−16+b=10

Algemene formule:  

y = ax + b

b:

startgetal/begingetal bij

algemeen: constante, waarde y als 

In opgaves is b gelijk aan de kosten die je kwijt bent zonder dat er iets is verkocht of verbruikt of zonder dat er is gewerkt. Het zijn de kosten die je sowieso moet betalen of het is b.v. de beginstand op de kilometerteller.  

De constante b heeft altijd dezelfde eenheid als de uitvoervariabele y !

Voorbeelden: vastrecht, administratiekosten, voorrijkosten, instaptarief, abonnementskosten, beginstand op de kilometerteller, bedrag wat al in de spaarpot zit, etc. 

x = 0

(0,b) is dus het snijpunt met de Y-as) 

x=0

x = 0

}

y = b

a = toename y per eenheid x

x=0

b is gelijk aan het snijpunt met de y-as (daar waar x = 0)

x	0	1	2	4	8
y	26	22	18	10	-6

r.c. a = -4

Hoe haal ik de constante b uit een tabel?

Je vindt b in een tabel onder de 0 voor x! 

      b = 26

formule:  y = ax + b

Om de formule van een lineair verband y = ax + b op te stellen heb je dus nodig:

- de richtingscoëfficiënt a --> toename y per eenheid x

- de constante b --> begingetal, waarde y als x = 0 

y = -4x + 26

a=​Δx​​Δy​​=​x​B​​−x​A​​​​y​B​​−y​A​​​​=​8−4​​−6−10​​=−​4​​16​​=−4

x	0	1	2	4	8
y	26	22	18	10	-6

- 16

- 4

+ 1

+ 4

Wat is de richtingscoëfficiënt a van de lijn door de punten C (-3, 8) en D (9, 2)?

1. a=​2−8​​9−−3​​=​−6​​12​​=−2
2. a=​9−−3​​2−8​​=−​12​​6​​=−0,5
3. a=​9−−3​​8−2​​=​12​​6​​=0,5
4. a=​8−2​​−3−9​​=−​6​​12​​=−2

Stel de formule op van de lijn door de punten C(-3, 8) en D(9, 2). De richtingscoëfficiënt is   - 0,5

Wat zou je als twee bijbehorende punten kunnen nemen?

1. (70; 675) en (95; 862,50)
2. (675; 70) en (862,50; 95)
3. (70; 862,50) en (95; 675)
4. (862,50; 70) en 675; 95)

y=−0,5x+b

Door (-3, 8)

} 

geeft 

−0,5⋅−3+b=8

1,5+b=8

b=8−1,5=6,5

y=−0,5x+6,5

Controle --> met punt D (9, 2)

y=−0,5⋅9+6,5=−4,5+6,5=2

Wat is de richtingscoëfficiënt van de formule?

1. ​95−70​​675−862,50​​
2. ​862,50−675​​95−70​​
3. ​675−862,50​​70−95​​
4. ​90−75​​862,50−675​​

Vergelijkingen opstellen

12 coniferen van x euro

4 appelboompjes van y euro

in totaal 242,50 euro te betalen

Druk het totaal aantal rozen en takken uit in x en y

aantal rozen --> x

aantal takken groen --> y

Druk de kosten van het boeket uit in x en y 

aantal rozen --> x

aantal takken groen --> y

Je hebt nu twee verbanden opgesteld. Hiermee kun je uitrekenen hoeveel rozen er in het boeket zitten en hoeveel takken groen. Doe dat door te substitueren.

x + y = 25

1,50x + 0,50y = 22,50

Vraag: hoeveel rozen zitten er in het boeket?

Aantal rozen --> x

Aantal takken groen --> y

25 takken in totaal - aantal rozen --> x

                                    - aantal takken groen --> y

x + y = 25 dus geldt y = 25 - x 

Totaal bedrag:   1,50x + 0,50y = 22,50    (een roos kost 1,50 euro en een tak groen 0,50 euro)

door y te vervangen door 25-x krijg je een vergelijking met alleen x en die is op te lossen:

1,50x + 0,50(25 - x) =22,50

1,50x + 12,50 - 0,50x = 22,50

1,00x = 22,50 -12,50 = 10,00

x = 10 

In het boeket zitten dus 10 rozen en 25-10 = 15 takken groen