Logaritmen zonder rekenmachine

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Logaritmen

Wat weet je nog van logaritmen?

Wat is de exacte oplossing van de vergelijking

2​x​​=10

1. x=5
2. x=​10​​log(2)
3. x=​2​​log(10)
4. x≈3,3

Correcte rekenregel

Foute rekenregel

Sleep naar de juiste kolom 

Lesdoel

Na deze les kan je:

- gebruik maken van een logaritmentabel

- logaritmen met de hand uitrekenen tot een gewenst aantal decimalen

- dankbaar zijn voor jouw rekenmachine

Waarom logaritmen?

Met behulp van logaritmen kan je een vermenigvuldiging of deling uitrekenen door optelling of aftrekking, met lastige getallen is optellen/aftrekken veel minder gevoelig voor fouten.

Je moet dan natuurlijk wel de logaritmen makkelijk kunnen uitrekenen!

Waarom logaritmen?

John Napier publiceerde in 1614 zijn boek Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Beschrijving van de wonderlijke canon van logaritmen) waarin hij het begrip logaritme introduceerde en dat verder vooral tabellen met logaritmen bevatte, in het boek Mirifici logarihmorum canonis constructio (Constructie van de wonderlijke canon van logaritmen) uit 1619 legt hij de theorie achter het opstellen van logaritmentabellen uit.

Henry Briggs werkte samen met Napier om zijn definitie van logaritmen te verbeteren en publiceerde in 1617 en 1624 nieuwe tabellenboeken.

Logaritmentabel

Logaritmentabel (grondtal 10) uit

Logarihmorum Chilias Prima (1617) 

van Briggs.

Logaritmentabel gebruiken

Stel je wilt 11,16 x 10,94 uitrekenen. Je kan hierbij een logaritmentabel gebruiken en de regels 

11,16 x 10,94

We zetten dit om in log(11,16 x 10,94)

log(11,16 x 10,94) = log(11,16) + log (10,94)

log(11,16) en log(10,94) staan niet in onze logaritmentabel, maar log(111,6) en log(109,4) wel! 

Zoek deze op en noteer ze.

log(111,6)= .......... & log(109,4)=.........

Log(111,6)≈
(rond af op 5 decimalen)

11,16 x 10,94

log(111,6)≈2,04766

log(109,4)≈2,03902

Dus log(11,16) = log(111,6 ÷ 10)= log(111,6) - log(10) ≈ 2,04766 - 1 ≈ 1,04766

En log(10,94) = log(109,4  ÷ 10)= log(109,4) - log(10) ≈ 2,03902 - 1 ≈ 1,03902

En dus log(11,16 x 10,94) ≈ 1,04766 + 1,03902 ≈ 2,08668

Nu moeten we in onze tabel opzoeken welk getal het dichts bij 2,08668 in de buurt komt 

2,08668

11,16 x 10,94

Uit de tabel lezen we af dat 

log(122,0) ≈ 2,08636 

log (122,1) ≈ 2,08672

Dus log(122,1) ligt het dichts bij 2,08668

en dus log (11,16 x 10,94) ≈ log(122,1) ofwel

11,16 x 10,94 ≈ 122,1

Maar hoe kom je aan zo'n tabel?

Best handig, zo'n logaritmentabel,  astronomen en anderen die wiskunde gebruikten konden zo veel sneller werken, maar hoe maak je zo'n tabellenboek?

Napier was 20 jaar (!) bezig met het maken van zijn tabellen.

Briggs gebruikte de zogenaamde eindige differentie methode, ook een zeer tijdrovend en ingewikkeld karwei.

Handmatig logaritmen berekenen

In 1748 publiceerde Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum. Hierin legt Euler een aantal manieren uit om handmatig logaritmen te berekenen. 

Een van deze methoden is eenvoudig (maar langdradig) algoritme, waarbij geen kennis van hogere wiskunde nodig is.

Algoritme van Euler

Euler's algoritme maakt gebruik van het feit dat de meeste wiskundigen in zijn tijd vrij goed handmatig wortels konden uitreken en dat uit de rekenregels voor logaritmen volgt dat:

Algoritme van Euler

Ook legt Euler uit dat je eerst kan kijken tussen welke twee gehele getallen de exacte waarde van een logaritme zit, en je vervolgens dit interval steeds kleiner kan maken, zodat je steeds een betere benadering van de exacte waarde van de logaritme kan vinden.

Laten we dit algoritme doorlopen met een voorbeeld.

De wortels laten we voor het gemak door de rekenmachine uitrekenen, wil je weten hoe dit met de hand moet, kijk dan eens op 

http://www.fisme.science.uu.nl/nwd/nwd2013/handouts/INGEVULDE%20VERSIE%20HANDMATIG%20WORTELTREKKEN.pdf

Algoritme van Euler

Algoritme van Euler

Algoritme van Euler

Algoritme van Euler

Je kan je voorstellen dat dit aardig wat schrijfwerk is, gelukkig hebben wij een rekenmachine! We doorlopen het algoritme, maar maken gebruik van de Storage optie op onze rekenmachine.

Algoritme van Euler

Algoritme van Euler

Werk verder met dit algoritme, wie komt het snelst bij Z?

Tot welke letter ben je gekomen, wat is de waarde van deze letter en de bijbehorende log?
(je kan een foto van je schrift als antwoord geven)

Algoritme van Euler

Als we de stappen van het algoritme 

blijven doorlopenzie je dat we aardig 

dicht in de buurt van onze gevraagde

waarde komen.

Euler werkte met getallen in de linker 

kolom tot 6 decimalen (en hij sloeg 

sommige letters over) en in de rechter kolom tot 7 decimalen. We kunnen dus zeggen dat:

Afgerond op 7 decimalen is dat precies het antwoord dat je rekenmachine geeft!

Nogmaals de lesdoelen

Na deze les kan je:

- gebruik maken van een logaritmen tabel

- logaritmen met de hand uitrekenen tot een gewenst aantal decimalen

- dankbaar zijn voor jouw rekenmachine

Is dat gelukt?