Trillingen en golven - Harmonische trilling (VWO)

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 5,6

Trillingen en Golven

Harmonische trilling

De harmonische trilling

Een simpel systeem dat een harmonische trilling maakt heb je al gezien bij de opstelling van het massa-veersysteem. Deze harmonische trilling komt vaker terug in de natuurkunde, van satellieten tot vibraties tussen atomen binnen een molecuul. In het onderstaande (u,t)-diagram is een harmonische trilling weergegeven:

Zoals je kunt zien, ontstaat er een (u,t)-diagram met een sinusvormige grafiek. De formule die bij deze grafiek hoort, wordt gegeven door:

waarin:

u  = uitwijking (m)

A  = amplitude (m)

t   = tijd (s)

T  = trillingstijd (s)

Let erop dat je bij gebruik van deze formule de rekenmachine op radialen zet! 

^{Harmonische trilling in een (u,t)-diagram}

u=Asin(2π​T​​t​​)

Veerconstante bepalen

Elke veer heeft z'n eigen veerconstante C. Deze veerconstante is te bepalen uit meetgegevens wanneer aan een veer meerdere massa's gehangen worden en daarbij de uitwijking u gemeten wordt, zie figuur

hiernaast.

Twee formules zijn hier van
toepassing:

waarin:

F_z = zwaartekracht (N)

m = massa (kg)

g = valversnelling (m/s²)

En voor de veerkracht geldt:

waarin:

F_v = veerkracht (N)

C  = veerconstante (N/m)

u  = uitwijking (m)

Wanneer een massa stil aan de veer hangt, is de snelheid gelijk aan v = 0 m/s. Uit de eerste wet van Newton volgt dan dat de resultante kracht F_res gelijk is aan 0 N. Dat kan alleen als de veerkracht en zwaartekracht aan elkaar gelijk zijn. Dan volgt:

Hiermee kan de veerconstante uitgerekend worden.

F​v​​=Cu

F​z​​=mg

F​v​​=F​z​​→C⋅u=m⋅g

→C=​u​​m⋅g​​

Energie

We willen een formule afleiden voor trillingstijd T die afhankelijk is van de massa m. Dan kunnen we we naar de energieomzetting bij een harmonische trilling. Tijdens de beweging zet het blokje telkens veerenergie om in kinetische energie en andersom. 

Aan de uiteinden van de beweging, dus bij amplitude A, is de snelheid nul. Dat is ook te zien in het (u,t)-diagram wat eerder in deze LessonUp werd getoond. De kinetische energie is hier dus ook nul. Er is hier echter wel een veerenergie, die gelijk is aan:

waarin: 

E_v = veerenergie (J)

C    = veerconstante (N/m)

u   = uitwijking/uitrekking (m)

Omdat de uitwijking hier gelijk is aan de amplitude, vinden we dat de totale energie aan de uiteinden gelijk is aan:

In de evenwichtstand is de uitwijking nul. Er is hier dus geen veerenergie. De snelheid is hier maximaal en als gevolg hebben we hier wel een kinetische energie:

waarin:

E_k  = kinetische energie (J)

m     = massa (kg)

v       = maximale snelheid (m/s)

Met de maximale snelheid v_max door de evenwichtsstand u = 0 m, wordt de kinetische energie:

E​v​​=​2​​1​​Cu​2​​

E​tot​​=​2​​1​​CA​2​​

E​k​​=​2​​1​​mv​2​​

E​tot​​=​2​​1​​mv​max​2​​

Energie

Dit betekent dus dat de energie bij amplitude A wordt omgezet in kinetische energie:

In de evenwichtstand is de uitwijking nul. Er is hier dus geen veerenergie. De snelheid is hier maximaal en als gevolg hebben we hier wel een kinetische energie. In de evenwichtsstand is de totale energie en maximale snelheid dus gelijk aan:

waarin:

E_tot  = totale energie (J)

m     = massa (kg)

v_max = maximale snelheid (m/s)

A      = amplitude (m)

T      = trillingstijd (s)

​2​​1​​CA​2​​=​2​​1​​mv​max​2​​

E​tot​​=​2​​1​​mv​max​2​​

v​max​​=​T​​2πA​​

E​tot, begin​​=E​tot, eind​​

​2​​1​​CA​2​​=​2​​1​​mv​max​2​​

/         /

CA​2​​=mv​max​2​​

Trillingstijd

Met behulp van de tweede wet van Newton en de gedifferentieerde sinusfunctie voor een trilling kan je aantonen dat voor elke harmonische trilling de volgende formule voor de trillingstijd geldt:

waarin: 

T  = trillingstijd (s)

m = massa aan de veer (kg)

C  = veerconstante (N/m)

Voor de veerkracht geldt:

waarin:

F_v = veerkracht (N)

C  = veerconstante (N/m)

u  = uitwijking (m)

T=2π√​​C​​m​​​​​

F​v​​=−Cu

Opgaven

Opgave 1

Marloes heeft een wieg gekocht voor haar baby. De wieg hangt aan een veer en kan zachtjes op en neer trillen. De veerconstante is 1,3 kN/m en de massa van de wieg is 12,2 kg.

a. Bereken hoe ver de veer is uitgerekt als de wieg stil aan de veer hangt.

b. Marloes legt haar baby van 3,2 kg in de wieg. Als zij de wieg een klein beetje naar beneden duwt en dan loslaat, gaat de wieg met de baby erin een trilling uitvoeren. Bereken eerst de trillingstijd en dan de frequentie van deze trilling. 

c. Marloes heeft gelezen dat baby's gemakkelijker in slaap vallen als de frequentie van het trillen kleiner is. Noem twee aanpassingen aan de wieg die Marloes zou kunnen doen om de frequentie van de wieg kleiner te maken. Licht je antwoord toe.

Opgave 2

Finn staat op een duikplank. De plank zakt 30 cm in als Finn aan het uiteinde staat. De massa van Finn is 54 kg.

a. Bereken de veerconstante van de duikplank.

b. Als Finn beweegt brengt hij zichzelf en de duikplank in trilling. Bereken de trillingstijd.

c. Als Finn met meer kracht heen en weer beweegt blijkt zijn amplitude wel toe te nemen, maar de trillingstijd hetzelfde te blijven. Leg uit hoe dit komt.

Opgaven

Opgave 3

Voor de maximale snelheid die tijdens een harmonische trilling bereikt wordt geldt de formule zoals die in de tekst en in BINAS T35B1 staat. Een massa aan een veer voert een trilling uit die in de grafiek hiernaast staat weergegeven.

a. Op welke tijdstippen is de snelheid maximaal?

b. Bereken de grootte van de maximale snelheid met behulp van de formule.

c. Laat zien dat de snelheid die volgt uit het tekenen van een raaklijn correspondeert met het antwoord op vraag b.

Opgave 3 (vervolg)

Opgaven

Opgave 4

In het molecuul waterstofjodide (HI) is een klein waterstofatoom gebonden aan een groter jodiumatoom. De evenwichtsafstand tussen de twee atomen is 1,609·10^-10 m. Als deze afstand groter of kleiner wordt, zorgt de binding voor een terugdrijvende kracht die in eerste benadering zorgt voor een harmonische trilling.

a. De trillingsfrequentie van dit massa-veersysteem is 

6,92·10¹³ Hz. Bereken hiermee de veerconstante van deze trilling.

Opgave 4 (vervolg)

b. Bij een bepaalde temperatuur bedraagt de trillingsenergie van het waterstofatoom 6,0·10^-20 J. Bereken hiermee de maximum snelheid van het waterstofatoom.

c. Bereken de maximale afstand tussen de atomen tijdens het trillen.

d. Het waterstofatoom bevindt zich vaker rond de maximale uitwijkingen van de beweging dan rond de evenwichtsstand. Leg uit hoe dit komt.

Opgaven

Opgave 3

In het molecuul waterstofjodide (HI) is een klein waterstofatoom gebonden aan een groter jodiumatoom. De evenwichtsafstand tussen de twee atomen is 1,609·10^-10 m. Als deze afstand groter of kleiner wordt, zorgt de binding voor een terugdrijvende kracht die in eerste benadering zorgt voor een harmonische trilling.

a. De trillingsfrequentie van dit massa-veersysteem is 

6,92·10¹³ Hz. Bereken hiermee de veerconstante van deze trilling.

Opgave 3 (vervolg)

b. Bereken de maximale afstand tussen de atomen tijdens het trillen.

c. Het waterstofatoom bevindt zich vaker rond de maximale uitwijkingen van de beweging dan rond de evenwichtsstand. Leg uit hoe dit komt.