H3: Meetkunde

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

Goniometrische berekeningen en gelijkvormigheid

Waar gaat dit hoofdstuk over

Goniometrische verhoudingen en gelijkvormige driehoeken

Oppervlakte van vlakke figuren

Rekenregels voor wortels en vergelijkingen met wortels

Bijzondere rechthoekige driehoeken

Sinusregel

Cosinusregel

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt hoeken en lijnstukken berekenen in een rechthoekige driehoek met de sinus, cosinus en tangens

Je kunt aantonen wanneer twee driehoeken gelijkvormig zijn, met o.a. overstaande hoeken, F-hoeken en Z-hoeken

Je kunt berekeningen uitvoeren met gebruikmaking van de gelijkvormigheid van driehoeken

Eerst even ophalen

Gegeven is de driehoek ABC met AB = 6. Het punt D ligt op AB zodat hoek D = 40 graden.

Bereken zijde BC en AC

Goniometrische verhoudingen

SOS:

CAS:

TOA:

tan(∠A)=​aanliggende rechthoekzijde​​overstaande rechthoekzijde​​

sin(∠A)=​schuine zijde​​overstaande rechthoekzijde​​

cos(∠A)=​schuine zijde​​aanliggende rechthoekzijde​​

Gelijkvormigheid

Wanneer zijn 2 driehoeken gelijkvormig?

Gelijkvormigheid

Welke eigenschappen kun je

gebruiken om gelijke hoeken

aan te tonen?

Voorbeeldvraag

Zelf aan de slag

Basisroute: 2, 3, 10, 11

Middenroute: 4, 5, 10, 11

Uitdagende route: 5, 6, 11, 12

Definities en stellingen

Wat ga je vandaag leren?

Je kent de definities ‘raaklijn aan een cirkel’ en ‘afstand van een punt tot een lijn’.

Je kent de volgende stellingen en je kunt deze gebruiken:

          • Stelling van Thales en omgekeerde stelling van Thales.

          • Stelling raaklijn aan een cirkel.

          • Stelling raaklijn in gemeenschappelijke raakpunt.

          • Stelling afstand punt tot raakpunten.

Definities

Raaklijn aan een cirkel: een lijn die 1 punt gemeenschappelijk heeft met de cirkel.

Afstand van een punt tot een lijn: de lengte van het loodlijnstuk dat het punt met de lijn verbindt. 

Stellingen 1.0

Stelling van Thales: als C op de cirkel met middellijn AB ligt, dan is hoek ACB recht.

Omgekeerde stelling van Thales: als hoek C in driehoek ABC recht is, dan ligt C op de cirkel met middellijn ABC. 

Stelling raaklijn aan een cirkel: de raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de verbindingslijn van het middelpunt van de cirkel en het raakpunt. 

Stellingen 2.0

Stelling raaklijn in gemeenschappelijke raakpunt: de raaklijn in het gemeenschappelijk raakpunt van twee elkaar rakende cirkels staat loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten. 

Stelling afstand punt tot raakpunten: als vanuit een punt twee raaklijnen aan een cirkel getrokken worden, dan zijn de afstanden van dat punt tot de twee raakpunten gelijk. 

Zelf aan de slag

Alle routes maken: 19, 20, 21

Oppervlakte van vlakke figuren 

en lengte & oppervlakte

Wat ga je vandaag leren?

Je kent de oppervlakteformules van de basisfiguren: driehoek, parallellogram, trapezium en cirkel

Je kent de (alternatieve) formule voor de oppervlakte van een driehoek: O∆ABC=1/2∙AB∙AC∙sin(∠A)

Je kunt werken met de ‘zijde-hoogte’-methode in driehoeken

Hoe bereken je
de oppervlakte van
een driehoek?

1. ​2​​1​​⋅b⋅b
2. ​2​​1​​⋅b⋅h
3. 2⋅b⋅b
4. 2⋅b⋅h

Hoe bereken je de
oppervlakte van
een parallellogram

1. b⋅h
2. b⋅b
3. 2⋅b⋅h
4. ​2​​1​​⋅b⋅h

Hoe bereken je de
oppervlakte van
een trapezium?

1. a⋅b⋅h
2. b⋅h+a
3. ​2​​1​​(a+b)⋅h
4. (a+b)⋅h

Hoe bereken je
de oppervlakte van
een cirkel?

1. 2πr
2. 0,5πr
3. πr
4. πr​2​​

Welke kende je nog niet?

Zijde * bijbehorende hoogte 

=

andere zijde * bijbehorende hoogte

O(△ABC)=​2​​1​​⋅AB⋅AC⋅sin(∠A)

Bereken de oppervlakte van het blauwe gebied

Zelf aan de slag

Basisroute: 24, 25, 31, 32

Middenroute: 25, 26, 32, 33

Uitdagende route: 25, 26, 33, 34

 

Rekenregels voor wortels

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt wortels vermenigvuldigen of opsplitsen

Je kunt wortels delen of opsplitsen

De rekenregels

Herleid

a)

b)

c)

√​A​​​⋅√​B​​​=√​AB​​​

​√​B​​​​​√​A​​​​​=√​​B​​A​​​​​

√​20a​​​−√​​9​​5​​​​​a

(3a√​2​​​+1)(3a√​2​​​−1)

​√​5​​​−√​2​​​​​12√​2​​​​​

Zelf aan de slag

Basisroute: 37, 38, 39

Middenroute: 38, 39, 40

Uitdagende route: 39, 40, 41

Let op wortel notatie:                                                  

√​5​​​+2x≠√​5+2x​​​

Vergelijkingen met wortels

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt vergelijkingen met wortels oplossen

Aankondiging wiskunde Olympiade

De rekenregels

Los op

√​A​​​⋅√​B​​​=√​AB​​​

​√​B​​​​​√​A​​​​​=√​​B​​A​​​​​

x√​2​​​−3=√​6​​​

x√​2​​​+2x=8

Zelf aan de slag

Alle routes maken 45, 46, 47

Bijzondere rechthoekige driehoeken

Wat ga je vandaag leren?

Je kent de verhoudingen van bijzondere driehoeken

ABC is een gelijkbenige, rechthoekige driehoek

Bereken AC exact, met behulp 

van de stelling van Pythagoras.

De 30 - 60 - 90 driehoek

Bereken PR en QR 

in een 30 - 60 - 90

driehoek waarbij

PQ = 12

Zelf aan de slag

Basisroute: 49, 50, 53, 55

Middenroute: 51, 53, 54, 56

Uitdagende route: 51, 52, 56, 57

Stelling van Pythagoras

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt verhoudingen en de stelling van Pythagoras toepassen in verschillende situaties. 

Voorbeeldvraag

Zelf aan de slag

Iedereen maakt 60, 61, 62

  

Sinusregel en cosinusregel

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt de sinusregel gebruiken in scherpe- en stomphoekige driehoeken

Je kunt de cosinusregel gebruiken in scherpe- en stomphoekige driehoeken

Sinusregel aantonen

Bereken de lengte van zijde AC

Tip: maak gebruik van de

hoogtelijn AD

Sinusregel

Zie figuur

Waarom kun je hier de sinusregel niet gebruiken?

De cosinusregel

Zelf aan de slag

Basisroute: 70, 71, 79, 80

Middenroute: 71, 72, 80, 81

Uitdagende route: 72, 74, 81, 82

Tips voor de toets

Het gereedschap van hoofdstuk 3

SOS, CAS, TOA (of SOL, CAL, TOA)

Stelling van Pythagoras

Gelijkvormige driehoeken

Stelling van Thales en raaklijnen aan cirkels

Bijzondere driehoeken

Sinusregel

Cosinusregel

Laatste tips bij hoofdstuk 3

1. Let goed op of er 'exact' in de vraag staat of niet.

2. Kijk goed of er wel rechte hoeken zijn (dit MOET gegeven of aan te tonen zijn). Je mag geen aannames doen over rechte hoeken. 

3. Als je rekent met gelijkvormige driehoeken, moet je eerst aantonen dat daar sprake van is. 

4. SCHETS, SCHETS, SCHETS. 

5. Teken hulplijnen en maak veelvuldig gebruik van 'x'.