Inducción
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Slide 1: Vidéo
pre-calculusTertiary Education
Cette leçon contient 20 diapositives, avec diapositives de texte et 1 vidéo.
La durée de la leçon est: 50 minÉléments de cette leçon
Slide 1 - Vidéo
Inducción matemática
¿El método que acabamos de ver funciona para todos los números? ¿Cómo podemos comprobarlo?
Slide 2 - Diapositive
Método de Inducción matemática
- Comprobar que funciona para el primer valor posible
- Obtener el valor de f(n+1)
- Obtener el valor de f(n) y probar la condicional "si funciona para n, entonces funciona para n+1".
Slide 3 - Diapositive
Suma de naturales de gauss
1+2+3+...+n=2n(n+1)
Paso 1 - Probar que la fórmula funciona con el primer valor
n=11=21(1+1)
n=11=22=1
Slide 4 - Diapositive
Suma de naturales de gauss
1+2+3+...+n=2n(n+1)
Paso 2 - Calcular f(n+1)
n=n+1f(n+1)=2(n+1)(n+2)
Slide 5 - Diapositive
Suma de naturales de gauss
Paso 3 - A la fórmula original aplicarle las operaciones necesarias para llegar a f(n+1)
f(n)=1+2+...+n=2n(n+1)
f(n+1)=1+...+n+(n+1)=2n(n+1)+(n+1)
1+2+3+...+n=2n(n+1)
Slide 6 - Diapositive
Suma de naturales de gauss
Paso 3 - A la fórmula original aplicarle las operaciones necesarias para llegar a f(n+1)
f(n+1)=2n(n+1)+(n+1)
f(n+1)=2n(n+1)+2(n+1)
1+2+3+...+n+(n+1)=2(n+1)(n+2)
Slide 7 - Diapositive
Suma de naturales de gauss
Paso 3 - A la fórmula original aplicarle las operaciones necesarias para llegar a f(n+1)
f(n+1)=2n(n+1)+2(n+1)
f(n+1)=2(n+1)(n+2)
1+2+3+...+n+(n+1)=2(n+1)(n+2)
Slide 8 - Diapositive
Suma de naturales de gauss
Paso 3 - A la fórmula original aplicarle las operaciones necesarias para llegar a f(n+1)
f(n+1)=2n(n+1)+2(n+1)
f(n+1)=2(n+1)(n+2)
1+2+3+...+n+(n+1)=2(n+1)(n+2)
Slide 9 - Diapositive
Suma de naturales de gauss
Funciona con el primer valor (1). Y comprobamos que si funciona para un valor "n" debe de funcionar para un valor "n+1"
¡Entonces!
Probamos que si funciona para 1, funciona para 2.
Como funciona para 2, va a funcionar para 3
Como funciona para 3, va a funcionar para 4
¡Funciona siempre!
1+2+3+...+n=2n(n+1)
Slide 10 - Diapositive
Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica
i=0∑nri=r0+r1+r2+...rn=r−1rn+1−1
Slide 11 - Diapositive
Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
i=0∑nri=r0+r1+r2+...rn=r−1rn+1−1
Paso 1: Probar con el primer valor de n
i=0∑0ri=r0=r−1r0+1−1
i=0∑0ri=1=r−1r−1=1
Slide 12 - Diapositive
Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
i=0∑nri=r0+r1+r2+...rn=r−1rn+1−1
Paso 2: Calcular el valor de n+1
i=0∑n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r−1rn+1+1−1
i=0∑n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r−1rn+2−1
Slide 13 - Diapositive
Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"
i=0∑n+1ri=i=0∑nri+rn+1=r−1rn+1−1+rn+1
i=0∑n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r−1rn+2−1
Slide 14 - Diapositive
Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"
r−1rn+1−1+rn+1=r−1rn+1−1+rn+1(r−1)
i=0∑n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r−1rn+2−1
Slide 15 - Diapositive
Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"
r−1rn+1−1+rn+1=r−1rn+1−1+rn+1(r−1)
i=0∑n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r−1rn+2−1
r−1rn+1−1+rn+1=r−1rn+1−1+rn+2−rn+1
Slide 16 - Diapositive
Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"
i=0∑n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r−1rn+2−1
r−1rn+1−1+rn+1=r−1−1+rn+2
r−1rn+1−1+rn+1=r−1rn+1−1+rn+2−rn+1
Slide 17 - Diapositive
Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"
i=0∑n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r−1rn+2−1
r−1rn+1−1+rn+1=r−1rn+2−1
r−1rn+1−1+rn+1=r−1−1+rn+2
Slide 18 - Diapositive
Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica
i=0∑nri=r0+r1+r2+...rn=r−1rn+1−1
Probamos que funciona para el primer valor (cero)
Como funciona para 0 funciona para 1
Como funciona para 1 funciona para 2
Y seguirá siendo verdad, hasta el infinito y más allá.
Slide 19 - Diapositive
¿Dudas?
Slide 20 - Diapositive
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