Oefenles differentiëren

Oefenles Differentiëren

1 / 28

Slide 1: Tekstslide

WiskundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 6

In deze les zitten 28 slides, met interactieve quizzen en tekstslides.

Lesduur is: 50 min

Onderdelen in deze les

Oefenles Differentiëren

Slide 1 - Tekstslide

9Oefenopdrachten Differentiëren

De vragen die bij de volgende opdrachten horen, krijgen jullie ook op papier. Het is de bedoeling dat jullie de antwoorden in het schrift maken en de uitwerkingen naar mij toe sturen via dit programma. Jullie krijgen van mij via Teams een bericht wanneer de antwoorden er tussen staan.

Aan het einde staan nog een paar quizvragen om het differentiëren te oefenen.

Succes!

Slide 2 - Tekstslide

Opgave 1 Medicijn

In een ziekenhuis wordt door middel van een chemische reactie een medicijn aangemaakt. Voor de hoeveelheid medicijn H (in cm³) na t minuten vanaf het begin van de reactie geldt bij benadering:

H = \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ t + 5 ​}

Slide 3 - Tekstslide

H = \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ t + 5 ​}

a) Wat weet je van de hoeveelheid medicijn als t groot is? Licht je antwoord toe!!

Maak een foto van je antwoord en stuur je antwoord op.

Slide 4 - Open vraag

H = \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ t + 5 ​}

De hoeveelheid medicijn wordt weergegeven met

H = \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ t + 5 ​} \approx \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ t ​} = 20

Als t groot is, nadert H naar

De invloed van 5 wordt dan verwaarloosbaar klein.

Hoeveelheid medicijn nadert naar 20 cm³, maar zal deze nooit bereiken!

Controleer je antwoord (redenering) met de rekenmachine door een grote waarde in te vullen. Op het examen is de redenering belangrijk, dus alleen 20 als antwoord is niet genoeg!

Redenering 1

Slide 5 - Tekstslide

Het kan ook helpen om een schets van de grafiek met de GR te maken.

Slide 6 - Tekstslide

H = \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ t + 5 ​}

De hoeveelheid medicijn wordt weergegeven met

H = \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ t + 5 ​} = 20 \cdot \frac{​ t ​ ​}{​ t + 5 ​}

Als t groot is, wordt

De invloed van 5 wordt dan verwaarloosbaar klein.

\frac{​ t ​ ​}{​ t + 5 ​} \approx \frac{​ t ​ ​}{​ t ​} \to 1

H = \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ t + 5 ​}

nadert dus naar 20 cm³, maar zal deze waarde nooit helemaal bereiken.

Controleer je antwoord (redenering) met de rekenmachine door een grote waarde in te vullen. Op het examen is de redenering belangrijk, dus alleen 20 als antwoord is niet genoeg!

Redenering 2

Slide 7 - Tekstslide

Kijk bij het redeneren altijd naar de formule!

H = \frac{​ 2 0 t ^{​ ​ ​} ​ ​}{​ t + 5 ​} \approx \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ t ​}

Teller ca. 20x zo groot als de noemer. Bij grote waarden van t nadert H naar 20

H = \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ 4 t + 5 ​} \approx \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ 4 t ​}

Teller ca. 5x zo groot als de noemer. Bij grote waarden van t nadert H naar 20/4 = 5

H = \frac{​ 2 0 t ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ t + 5 ​} \approx \frac{​ 2 0 t ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ t ​}

Teller neemt veel sneller toe dan noemer vanwege t², dus H wordt heel groot en gaat naar oneindig.

H = \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ t ^{​ 2 ​ ​} + 5 ​} \approx \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ t ^{​ 2 ​ ​} ​}

Noemer neemt veel sneller toe dan teller vanwege t², dus H wordt heel klein en gaat naar 0.

Wanneer t groot wordt nadert H naar......

(5 is te verwaarlozen bij grote waardes van t.)

Slide 8 - Tekstslide

b) Bereken langs algebraïsche weg hoe groot de reactiesnelheid is bij het begin van de reactie, dat is de snelheid in cm³/minuut waarmee het medicijn in het begin wordt aangemaakt.

En ook na 5 minuten.

Maak de opgave in je schrift, maak een foto van de uitwerkingen en stuur deze op.

Slide 9 - Open vraag

Het gaat om de reactiesnelheid, dus de toename van de hoeveelheid medicijn H (cm³) per tijdseenheid t (min.). Dit betekent dat je de afgeleide moet bepalen, want de afgeleide geeft de toename H per tijdseenheid:

\frac{​ d H ​ ​}{​ d t ​} \to \frac{​ ( c m ) ^{​ 3 ​ ​} ​ ​}{​ m i n ​}

--> Differentiëren met behulp van de quotiëntregel geeft:

H = \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ t + 5 ​}

\frac{​ d H ​ ​}{​ d t ​} = \frac{​ 2 0 \cdot ( t + 5 ) - 1 \cdot ( 2 0 t ) ​ ​}{​ ( t + 5 ) ^{​ 2 ​ ​} ​} = \frac{​ 2 0 t + 1 0 0 - 2 0 t ​ ​}{​ ( t + 5 ) ^{​ 2 ​ ​} ​} = \frac{​ 1 0 0 ​ ​}{​ ( t + 5 ) ^{​ 2 ​ ​} ​}

t = 0

t = 5

invullen geeft:

\frac{​ 1 0 0 ​ ​}{​ ( 0 + 5 ) ^{​ 2 ​ ​} ​} = \frac{​ 1 0 0 ​ ​}{​ 2 5 ​} = 4

Tekst

Reactiesnelheid 4 cm³/min.

Reactiesnelheid 1 cm³/min.

\frac{​ 1 0 0 ​ ​}{​ ( 5 + 5 ) ^{​ 2 ​ ​} ​} = \frac{​ 1 0 0 ​ ​}{​ 1 0 0 ​} = 1

Slide 10 - Tekstslide

H (t)

r.c. = 4

r.c. = 1

Richtingscoëfficiënt raaklijn geeft reactiesnelheid dH/dt op t=0 en t=5

Slide 11 - Tekstslide

c) Hoe groot wordt de reactiesnelheid op den duur? Licht je antwoord toe.

Maak de opgave in je schrift, maak een foto van de uitwerkingen en stuur deze op.

Slide 12 - Open vraag

\frac{​ d H ​ ​}{​ d t ​} = \frac{​ 1 0 0 ​ ​}{​ ( t + 5 ) ^{​ 2 ​ ​} ​}

Reactiesnelheid:

Wat gebeurt er met de formule als t groot wordt?

Als t groot wordt, wordt de noemer steeds groter en dH/dt dus steeds kleiner. Bij grote waarden van t gaat dH/dt naar 0, dus wordt de reactiesnelheid op den duur 0.

Slide 13 - Tekstslide

d) Bereken langs algebraïsche weg hoeveel minuten na het begin van de reactie er 18 cm³ medicijn is.

Maak de opgave in je schrift, maak een foto van de uitwerkingen en stuur deze op.

Slide 14 - Open vraag

Oplossen:

H = \frac{​ 2 0 t ​ ​}{​ t + 5 ​} = 18

Kruiselings vermenigvuldigen geeft:

20 t = 18 (t + 5)

20 t = 18 t + 90

2 t = 90

t = 45

Na 45 minuten is er 18 cm³ medicijn aangemaakt (klopt met formule en grafiek!)

Slide 15 - Tekstslide

Opgave 2 Investeringen

De totale investeringen T van een bedrijf bestaan uit investeringen in apparatuur en investeringen in gebouwen. De investeringen t jaar na 2010 in apparatuur noemen we A(t) en die in gebouwen G(t), beide in miljoenen euro's.

De volgende formules gelden:

Hiernaast zijn de grafieken getekend

van A, G en T

A (t) = \sqrt ​ t ​ ​ ​

G (t) = \frac{​ 2 ​ ​}{​ t ​}

Bereken langs algebraïsche weg in welk jaar T minimaal is.

Slide 16 - Tekstslide

Bereken langs algebraïsche weg in drie decimalen in welk jaar T minimaal is.

A (t) = \sqrt ​ t ​ ​ ​

G (t) = \frac{​ 2 ​ ​}{​ t ​}

T = A + G

Slide 17 - Open vraag

T (t) = A (t) + G (t) = \sqrt ​ t ​ ​ ​ + \frac{​ 2 ​ ​}{​ t ​}

Minimale waarde T(t) als dT/dt = 0

T (t) = A (t) + G (t) = \sqrt ​ t ​ ​ ​ + \frac{​ 2 ​ ​}{​ t ​} = t + 2 \cdot t^{​ - 1 ​ ​}

1/2

\frac{​ d T ​ ​}{​ d t ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 \sqrt ​ t ​ ​ ​ ​} + - \frac{​ 2 ​ ​}{​ t ^{​ 2 ​ ​} ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 \sqrt ​ t ​ ​ ​ ​} - \frac{​ 2 ​ ​}{​ t ^{​ 2 ​ ​} ​}

Oplossen:

\frac{​ d T ​ ​}{​ d t ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 \sqrt ​ t ​ ​ ​ ​} - \frac{​ 2 ​ ​}{​ t ^{​ 2 ​ ​} ​} = 0

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 \sqrt ​ t ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 2 ​ ​}{​ t ^{​ 2 ​ ​} ​}

Slide 18 - Tekstslide

\frac{​ d T ​ ​}{​ d t ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 \sqrt ​ t ​ ​ ​ ​} - \frac{​ 2 ​ ​}{​ t ^{​ 2 ​ ​} ​} = 0

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 \sqrt ​ t ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 2 ​ ​}{​ t ^{​ 2 ​ ​} ​}

t^{​ 2 ​ ​} = 2 \cdot 2 \sqrt ​ t ​ ​ ​ = 4 \sqrt ​ t ​ ​ ​

Oplossen:

Kruiselings vermenigvuldigen geeft:

Beide zijdes kwadrateren geeft:

t^{​ 4 ​ ​} = 16 t

t^{​ 3 ​ ​} = 16

t = 2.519 dus in juli van het jaar 2012

--> t is de derdemachtswordtel uit 16

Slide 19 - Tekstslide

Wat is de afgeleide van

y = 2 x \sqrt ​ x ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 x ​}

\frac{​ d y ​ ​}{​ d x ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 \sqrt ​ x ​ ​ ​ ​} + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​}

\frac{​ d y ​ ​}{​ d x ​} = \sqrt ​ x ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ x ^{​ 2 ​ ​} ​}

\frac{​ d y ​ ​}{​ d x ​} = 3 \sqrt ​ x ​ ​ ​ - \frac{​ 2 ​ ​}{​ 4 x ^{​ 2 ​ ​} ​}

Slide 20 - Quizvraag

voorbeeld

y = 2 x \sqrt ​ x ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 x ​}

Kettingregel!

Slide 21 - Tekstslide

Bereken de afgeleide van

y = \sqrt ​ 2 x^{​ 2 ​ ​} + 3 ​ ​ ​

\frac{​ d y ​ ​}{​ d x ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 \sqrt ​ 2 x ^{​ 2 ​ ​} + 3 ​ ​ ​ ​}

\frac{​ d y ​ ​}{​ d x ​} = \frac{​ 2 x ​ ​}{​ \sqrt ​ 2 x ^{​ 2 ​ ​} + 3 ​ ​ ​ ​}

\frac{​ d y ​ ​}{​ d x ​} = \frac{​ 4 x ​ ​}{​ \sqrt ​ 2 x ^{​ 2 ​ ​} + 3 ​ ​ ​ ​}

Slide 22 - Quizvraag

y = \sqrt ​ 2 x^{​ 2 ​ ​} + 3 ​ ​ ​

Kettingregel!

Slide 23 - Tekstslide

Bereken de afgeleide van

y = (x + 1) \cdot \sqrt ​ 2 x^{​ 2 ​ ​} + 3 ​ ​ ​

\frac{​ d y ​ ​}{​ d x ​} = 1 + \frac{​ 2 x ​ ​}{​ \sqrt ​ 2 x ^{​ 2 ​ ​} + 3 ​ ​ ​ ​}

\frac{​ d y ​ ​}{​ d x ​} = \sqrt ​ 2 x^{​ 2 ​ ​} + 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 2 x ​ ​}{​ \sqrt ​ 2 x ^{​ 2 ​ ​} + 3 ​ ​ ​ ​}

\frac{​ d y ​ ​}{​ d x ​} = \sqrt ​ 2 x^{​ 2 ​ ​} + 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 2 x ( x + 1 ) ​ ​}{​ \sqrt ​ 2 x ^{​ 2 ​ ​} + 3 ​ ​ ​ ​}

Slide 24 - Quizvraag

y = (x + 1) \cdot \sqrt ​ 2 x^{​ 2 ​ ​} + 3 ​ ​ ​

Productregel toepassen:

Uit de vorige opgave weten we:

Antwoord C

Slide 25 - Tekstslide

Bereken de afgeleide van

y = \frac{​ x ​ ​}{​ x ^{​ 2 ​ ​} + 1 ​}

\frac{​ d y ​ ​}{​ d x ​} = \frac{​ 1 - x ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ ( x ^{​ 2 ​ ​} + 1 ) ^{​ 2 ​ ​} ​}

\frac{​ d y ​ ​}{​ d x ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 x ​}

\frac{​ d y ​ ​}{​ d x ​} = (x^{​ 2 ​ ​} + 1) + 2 x^{​ 2 ​ ​}

Slide 26 - Quizvraag

y = \frac{​ x ​ ​}{​ x ^{​ 2 ​ ​} + 1 ​}

Quotiëntregel toepassen:

Antwoord A

Slide 27 - Tekstslide

Hoe vond je het gaan en wat vind je nog lastig?

Slide 28 - Open vraag

Oefenles differentiëren

Onderdelen in deze les

Slide 1 - Tekstslide

Slide 2 - Tekstslide

Slide 3 - Tekstslide

Slide 4 - Open vraag

Slide 5 - Tekstslide

Slide 6 - Tekstslide

Slide 7 - Tekstslide

Slide 8 - Tekstslide

Slide 9 - Open vraag

Slide 10 - Tekstslide

Slide 11 - Tekstslide

Slide 12 - Open vraag

Slide 13 - Tekstslide

Slide 14 - Open vraag

Slide 15 - Tekstslide

Slide 16 - Tekstslide

Slide 17 - Open vraag

Slide 18 - Tekstslide

Slide 19 - Tekstslide

Slide 20 - Quizvraag

Slide 21 - Tekstslide

Slide 22 - Quizvraag

Slide 23 - Tekstslide

Slide 24 - Quizvraag

Slide 25 - Tekstslide

Slide 26 - Quizvraag

Slide 27 - Tekstslide

Slide 28 - Open vraag

Meer lessen zoals deze

Hoofdstuk 4 1,2,3

Les 5

2.1 Afschrijvingen

H5 WA Hfst 9.4C

Hoofdstuk 2.4 Omzet – kosten – winst

2.2 Renteberekening

Hoofdstuk 2.8 Indexcijfers

Examentraining