H10: Exponenten en logaritmen

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Exponenten en logaritmen

Groeipercentage en groeifactor

Groeipercentage: wat komt erbij (bv 20%)

Groeifactor: waarmee vermenigvuldig je (bv 1,2)

Welke groeifactor hoort er bij

a) een toename van 2%

b) een toename van 200%

c) een afname van 12%

d) een afname van 0,3%

Voorbeeldvraag

In maart 2000 waren er nog 250.000 kievieten in Nederland. Dat aantal neemt elk jaar met 4,5% af. In maart van welk jaar zijn er voor het eerst minder dan 100.000 kievieten in Nederland?

Uitwerking

Stap 1. Bereken de groeifactor: 

Stap 2. Stel de formule op:

Stap 3. Voer de formule en y2 = 100.000 in op de GR.

Stap 4. Optie intersect geeft x = 19,9. Dus in maart 2020.

N=250.000⋅0,955​t​​

​100​​100−4,5​​=0,955

Verdubbelingstijd en halveringstijd

Verdubbelingstijd en halveringstijd

Verdubbelingstijd: hoe lang het duurt voordat een hoeveelheid verdubbelt. 

In formulevorm de 't' waarvoor geldt dat 

Halveringstijd: hoe lang het duurt voordat een hoeveelheid halveert. 

In formulevorm de 't' waarvoor geldt dat 

g​t​​=2

g​t​​=0,5

Bijvoorbeeld

Maike heeft het onkruid in haar tuin behandeld met een bestrijdingsmiddel. Elke week neemt het onkruid met 4% af. 

Na hoeveel weken is de helft van het onkruid weg? 

Na hoeveel weken is er nog maar 10% van het onkruid over?

Groeifactoren omzetten naar een andere tijdseenheid

Groeipercentages omzetten

Als een hoeveelheid elke week met 1,2% toeneemt, wat is dan de toename na 4 weken?

Als een hoeveelheid elk jaar met 8% afneemt, wat is dan de afname per maand?

Formules opstellen bij exponentiële verbanden

Gegeven is een exponentieel verband dat door de punten (4, 12) en (8, 62 gaat). Stel hierbij een formule op.

N=b⋅g​t​​

Exponentieel stappenplan

Stap 1: Bereken de totale groeifactor met 

Stap 2: Bereken de groeifactor per tijdseenheid door 

Stap 3: Vul N, g en t in, in de formule 

Stap 4: Bereken 'b' en rond af op het gegeven aantal decimalen.

​y​a​​​​y​b​​​​

(​y​a​​​​y​b​​​​)​x​b​​−x​a​​​​

N=b⋅g​t​​

Logaritmen

Los exact op

Pak je GR erbij

2​x​​=8

2​x​​=16.384

Grondtallen veranderen

Rekenregel:

Schrijf                                            in de vorm 

log​a​​(g)=​log(a)​​log(g)​​

N=40⋅log​3​​(t)

N=a⋅log(t)

Variabelen vrijmaken bij logaritmen

Maak x vrij

N=log(x−5)−2

y=5+3​x−1​​

Logaritmisch papier

Logaritmisch papier

Bladzijde 133 van het boek

Formule opstellen

Stel de formule op bij de grafiek 

hiernaast.                                               

Rekenregels voor logaritmen

Eerst even ophalen

Bereken (zonder rekenmachine)

log​4​​(16)

log​2​​(​2​​1​​)

log​3​​(√​3​​​)

De rekenregels

Even oefenen

Herleid tot 1 logaritme:

1+2⋅log​3​​(5)

Samenvatting

Wat moet je nu kunnen voor de toets?

Je weet wat een groeifactor en een groeipercentage is en hoe je die in elkaar omzet.

Je kunt groeifactoren gebruiken om een verdubbelingstijd en halveringstijd te berekenen.

Je kunt groeifactoren en groeipercentages omzetten in een andere tijdseenheid.

Je kunt een formule opstellen bij een exponentieel verband.

Je kunt berekeningen uitvoeren met logaritmen.

Je kunt vergelijkingen oplossen met logaritmen.

Je kunt vergelijkingen met logaritmen oplossen (ja, dat is iets anders). 

Je kunt de rekenregels voor logaritmen toepassen en variabelen vrijmaken met en bij logaritmen.

Je kunt een logaritmische schaalverdeling aflezen.

Je kunt een exponentiële formule opstellen bij een lijn op logaritmisch papier.