Hoofdstuk 14: Meetkunde toepassen

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 6

Meetkunde toepassen

Waar gaat dit hoofdstuk over?

Zwaartepunten, middelloodlijnen en bissectrices

Raaklijnen en snijpunten met cirkels

Parametervoorstellingen en bewegingsvergelijkingen

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je het zwaartepunt vindt van een verzameling punten

Klein beetje natuurkunde

Aan deze balk zitten 2 even grote (en zware) bollen. Waar zit het zwaartepunt van deze lijn?

En bij deze situatie?

Terug naar wiskunde

In de figuur hiernaast geldt dat 

4*AZ = 3*BZ dus 

a) Toon aan dat geldt dat 

b) Licht toe dat                                  en herleid tot 

AZ=​7​​3​​AB

BZ=​3​​4​​AZ

​z​⃗​​=​a​⃗​​+​7​​3​​(​b​⃗​​−​a​⃗​​)

​z​⃗​​=​7​​1​​(4​a​⃗​​+3​b​⃗​​)

Algemeen

Bijvoorbeeld

De figuur hiernaast is homogeen 

(met gelijk verdeelde massa). Teken

de plaats van het zwaartepunt. 

Aan de slag

Hoofdstuk 14, paragraaf 1

Opdracht 4, 8, 9, (10)

10 maak je alleen als je er tijdens de les tijd voor hebt, het wordt geen huiswerk. 

Werken met middelloodlijnen en bissectrices

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je formules voor bissectrices en middelloodlijnen opstelt en gebruikt

Voorkennis

Middelloodlijn: de verzameling punten met gelijke afstand tot 2 punten. 

Bissectrice: de verzameling punten met gelijke afstand tot 2 lijnen. 

Afstand                          en de lijn ax + by = c is

P(x​p​​,y​p​​)

​√​a​2​​+b​2​​​​​​​​∣​∣​​ax​p​​+by​p​​−c​∣​∣​​​​

Hoe pas je dit toe?

Gegeven is driehoek ABC met 

k de bissectrice van hoek C en

l de middelloodlijn van AC. 

l en k snijden elkaar in S. Bereken

de coördinaten van S. 

Optie 2

ABC punten van een ruit.

Omdat in een ruit geldt dat de zijden even

lang zijn, zijn de diagonalen ook bissectrices,

dus geldt dat 

Hoe kun je deze eigenschap gebruiken bij

een vierhoek die gevormt wordt door

                      en                         ?

​r​p​​​⃗​​=​AB​⃗​​+​AC​⃗​​

​LM​⃗​​=13

​LK​⃗​​=5

Aan de slag

14, 16, 17, 18

15 is prima extra oefening

20 als extra uitdaging

Raaklijnproblemen bij cirkels

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je verschillende raaklijnproblemen met cirkels oplost

Voorkennis

Vergelijking van een cirkel: 

Raaklijn aan een cirkel: staat loodrecht op de straal

Afstand                          en de lijn ax + by = c is

P(x​p​​,y​p​​)

​√​a​2​​+b​2​​​​​​​​∣​∣​​ax​p​​+by​p​​−c​∣​∣​​​​

(x−x​M​​)​2​​+(y−y​M​​)​2​​=r​2​​

Bijvoorbeeld

Gegeven zijn de cirkels

De lijnen        en         zijn gemeenschappelijke 

raaklijnen van        en        . Stel van beide lijnen

een formule op.

c​1​​(x−3)​2​​+(y−1)​2​​=5

c​2​​(x−6)​2​​+y​2​​=20

k​1​​

k​2​​

c​1​​

c​2​​

Aan de slag

24, 26, 28

27 is prima extra oefening

29 als extra uitdaging

Rakende cirkels

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je rekent aan situaties met rakende cirkels

Bijvoorbeeld

Gegeven zijn de cirkels c, d en e. 

De straal van c is 10, en de straal van d is 2,5. 

c en d raken elkaar en raken allebei de y-as en

c raakt de x-as.

Het middelpunt van e ligt op de x-as en e 

raakt cirkels c en d. Stel een formule op van

de formule voor e. 

Aan de slag

32, 33, 34, 35

Let op, bij 35b fout in de uitwerkingen: -4r - 8 moet zijn -4r + 8

Ligging van een lijn t.o.v. een cirkel

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je bepaalt op een lijn een cirkel raakt of snijdt

3 situaties, 2 oplossingen

Er zijn 2 manieren om te bepalen met welke situatie je te maken hebt. Kunt je er 1 (of 2) bedenken?

Optie 1: met de discriminant

Gegeven is de lijn                                   en de cirkel 

2x - y = 3 geeft y = 2x - 3. Invullen in de formule van c geeft:

D > 0 dus er zijn 2 snijpunten

k:2x−y=3

c:x​2​​+y​2​​−4x+2y−20=0

x​2​​+(2x−3)​2​​−4x+2(2x−3)−20=0

5x​2​​−12x−17=0

D=484

Optie 2: met de afstandsformule

                                                                    geeft 

Middelpunt (2, -1) en straal 5

d(M, k) < de straal dus er zijn 2 snijpunten

c:x​2​​+y​2​​−4x+2y−20=0

c:(x−2)​2​​+(y+1)​2​​=25

d(M,k)=​√​2​2​​+(−1)​2​​​​​​​∣2⋅2−1⋅−1−3∣​​=​√​5​​​​​2​​=​5​​2​​√​5​​​

Aan de slag

40, 42, 43

Opdracht 39 voor extra oefening

Opdracht 44 als extra uitdaging

Snijdende cirkels

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je de snijpunten vindt van 2 elkaar snijdende cirkels

Bijvoorbeeld

Gegeven zijn de cirkels 

en 

De cirkels snijden elkaar in 2 punten.

Wat zijn de coördinaten van deze

2 punten?

x​2​​+y​2​​=10

x​2​​+y​2​​−8x−4y+10=0

Aan de slag

46, 47, 48, 49

Parametervoorstelling van een cirkel

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je van een cirkelvergelijking een parametervoorstelling maakt (en waarom je dat zou willen)

Wat weet je al

De parametervoorstelling van een cirkel wordt gegeven door

Daarnaast: 

{​x(t)=cos(t)​y(t)=sin(t)​​

(sin(t))​2​​+(cos(t))​2​​=1

Gebruiken

Gegeven is de parametervoorstelling 

Dat geeft:

x=−2+3cos(t)∧y=4+3sin(t)

x−2=3cos(t)∧y−4=3sin(t)

(x−2)​2​​+(y−4)​2​​=(3cos(t))​2​​+(3sin(t))​2​​

(x−2)​2​​+(y−4)​2​​=9(cos(t))​2​​+9(sin(t))​2​​

(x−2)​2​​+(y−4)​2​​=9((cos(t))​2​​+(sin(t))​2​​)

(x−2)​2​​+(y−4)​2​​=9((cos(t))​2​​+(sin(t))​2​​)

(x−2)​2​​+(y−4)​2​​=9

In het algemeen

Van een cirkel met vergelijking 

is

de parametervoorstelling

(x−x​M​​)​2​​+(y−y​M​​)​2​​=r​2​​

x=x​M​​+rcos(t)∧y=y​M​​+rsin(t)

Waarom (wanneer) wil je dit?

Aan de slag

54, 55, 56

Opdracht 52 & 53 om de vaardigheid te oefenen (laat dan 56 achterwege)

Plaats, snelheid en versnelling

Wat ga je vandaag leren?

Ophalen van plaatsvector, snelheidsvector en versnellingsvector

Parameterkrommen

Plaatsvector:                                          Snelheidsvector: 

De baansnelheid is de lengte van de snelheidsvector

De baanversnelling is de afgeleide van de baansnelheid

Hoek tussen vectoren:

​r​⃗​​(t)=(​x(t)​y(t)​​)

​v​⃗​​(t)=(​x​′​​(t)​y​′​​(t)​​)

cos(ϕ)=​∣​a​⃗​​∣⋅∣​b​⃗​​∣​​​a​⃗​​⋅​b​⃗​​​​

Bijvoorbeeld

Gegeven is de parametervoorstelling 

Bereken de coördinaten van de punten waarop de raaklijn horizontaal is. 

{​x(t)=cos(2t)+sin(t)​y(t)=sin(2t)​​

Bonusvraag

Gegeven is dat 

Toon aan dat 

sin(t)=​4​​1​​

cos(t)=​4​​1​​√​15​​​

Aan de slag

61, 62, 63, 64