Oefenles Exponentiële groei (3-11)

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

Oefenopdracht Exponentiële groei

De vragen die bij deze opdracht horen, krijgen jullie ook op papier. Het is de bedoeling dat jullie de antwoorden in het schrift maken en de uitwerkingen naar mij toe sturen via dit programma. Jullie krijgen van mij via Teams een bericht wanneer de antwoorden er tussen staan. 

Oefenopgave Exponentiële groei

Reclamemensen proberen steeds vaker met behulp van sociale netwerken de bekendheid van een bepaald merk te vergroten. Een boodschap wordt bij een relatief klein aantal personen uitgezet, die het vervolgens delen met hun vrienden en bekenden en die weer met hun vrienden en bekenden, enzovoort. Op deze manier verspreidt de boodschap zich als een virus. Dit concept heet daarom "virale marketing". 

In de tabel hieronder is te zien hoeveel likes een bepaalde reclameboodschap heeft na de release. 

aantal dagen	5	10	15	20	25
aantal likes	328	1471	6595	29572	132602

In de tabel hieronder is te zien hoeveel likes een bepaalde reclameboodschap heeft na de release.

aantal dagen	5	10	15	20	25
aantal likes	328	1471	6595	29572	132602

1) Laat zien dat hier sprake is van exponentiële groei en geef de groeifactor in twee decimalen nauwkeurig.

​328​​1471​​=4,4847...

​1471​​6595​​=4,4833...

aantal dagen	5	10	15	20	25
aantal likes	328	1471	6595	29572	132602

​6595​​29572​​=4,4840...

​29572​​132602​​=4,4840...

De groeifactor is steeds afgerond 4,48... (steeds hetzelfde per 5 jaar) en dus is er sprake van exponentiële groei.

2)  Bereken met hoeveel procent per dag het aantal likes toeneemt.

      (Je weet wat de groeifactor per 5 dagen is.)

Geef je antwoord in gehele procenten zonder het procentteken.

Per 5 dagen is de groeifactor gemiddeld (afgerond) 4,48

Per dag is de groeifactor 4,48^1/5 = 1,3497... 

De procentuele toename per dag is 35%

1,3497...⋅100−100=34,97..≈35

Wat is de groeifactor per dag?

3) Het aantal Likes dat per dag gegeven wordt kan beschreven worden met de formule :

De groeifactor g is in de vorige opgave berekend. Bereken in deze opgave de beginwaarde b (in gehelen)

L=b⋅g​d​​

L=b⋅g​d​​

d = 1,35 (per dag)

De beginwaarde b is het aantal Likes op t=0. Deze waarde moet nog berekend worden. 

L=b⋅1,35​d​​

Als d = 5 geldt L = 328

Dit invullen geeft                                                  dus

328=b⋅1,35​5​​

b=​1,35​5​​​​328​​=73,128..

Beginwaarde b is 73 likes

De formule wordt dan  

L=73⋅1,35​d​​

Omdat d steeds in stappen van 5 dagen is gegeven in de tabel kun je de beginwaarde b bij t=0 ook vinden door de eerste waarde (onder d=5) te delen door de groeifactor!

328/4,484 = 73,148....

Dus de beginwaarde is 73 likes 

4) Bereken hoe lang het duurt voordat het aantal likes verdubbelt. Geef je antwoord in uren nauwkeurig.

Maak de opgave in je schrift, maak een foto van de uitwerkingen en stuur deze op.

Wat is de verdubbelingstijd van het aantal likes?

Dan geldt 

 

Verdubbelingstijd 2,309.. x 24 = 55,43 uur 

Dus na 55 uur is het aantal likes verdubbeld (2 dagen en 7 uur). 

Via de GR en intersect: y₁ = 1,35^x

                                            y₂ = 2  

2=1,35​d​​​​​

d=​log(1,35)​​log(2)​​=2,309..

5) Neem aan dat de groei zich in dit tempo doorzet. Bereken na hoeveel dagen de grens van één miljoen likes wordt gepasseerd.

Maak de opgave in je schrift, maak een foto van de uitwerkingen en stuur deze op.

L=73⋅1,35​d​​

1000000=73⋅1,35​d​​

Met de GR:

y₁ = 73 ^. 1,35^x

^y₂ ^{= 1000000}

Intersect geeft x = 31,73....

Dus na 32 dagen is het aantal likes meer dan 1000000

6) Een tweede reclamecampagne wordt tegelijkertijd uitgezet bij 500 personen (op dag 0). Deze campagne is minder succesvol dan de eerste. Het aantal likes groeit "slechts" met 20% per dag. Bereken na hoeveel dagen het aantal likes van de eerste campagne voor het eerst die van de tweede overtreft. 

Maak de opgave in je schrift, maak een foto van de uitwerkingen en stuur deze op.

L=500⋅1,20​d​​

y1=73⋅1,35​x​​

Campagne 1:

Campagne 2:

Met GR:

Intersect geeft 

x = 16,336....    

Dus na 16 dagen overtreft de eerste campagne die van de tweede

L=73⋅1,35​d​​

y2=500⋅1,20​x​​

Hoe vond je het  gaan en zijn er onderdelen die je nog lastig vindt?