Oefenles Exponentiele groei (H9)

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

Exponentiële groei

Martine zet op 1 januari 2015 een bedrag van 2000 euro op een spaarrekening. De jaarlijkse rente is 2,1%.

Welke formule hoort bij het bedrag B dat na t jaar op de spaarrekening van Martine staat?

1. B=2000⋅2,1​t​​
2. B=2000⋅102,1​t​​
3. B=2,1⋅2000​t​​
4. B=2000⋅1,021​t​​

De bevolking van een land neemt jaarlijks met 0,3% toe. Bereken de verdubbelingstijd in jaren.

Toename per per jaar 0,3% --> groeifactor 1,003

Gevraagd wordt de verdubbelingstijd in dus moet gelden:

 2 = 1,003^t

Met GR: y₁= 1,003^x

                y₂= 2

Optie Intersect geeft x=231,39....... 

dus afgerond 231 jaren.

Een hoeveelheid neemt wekelijks met 2,9% toe. Bereken de verdubbelingstijd in dagen.

Toename per week 2,9% --> groeifactor 1,029

Gevraagd wordt de verdubbelingstijd dus moet gelden:

2 = 1,029^t 

Met GR: y₁= 1,029^x

                y₂= 2

Intersect geeft x=24,246....  x is het aantal weken

Omrekenen naar dagen geeft 24,246... * 7 = 169,725...  

dus afgerond 170 dagen.

Een hoeveelheid neemt elk jaar met 3% af. Bereken de halveringstijd in maanden nauwkeurig. 

Afname per jaar 3% --> groeifactor 0,97

Gevraagd wordt de halveringstijd dus moet gelden:

0,5 = 1 * 0,97^t = 0,97^t

Met GR: y₁= 0,97^x

                y₂= 0,5

Intersect geeft x=22,756....  x is het aantal jaren

Omrekenen naar maanden geeft 22,756... * 12 = 273,081...  

dus afgerond 273 maanden of 22 jaar en 9 maanden.

(Beginwaarde van 1 wordt gehalveerd naar 0,5)

Van een stad is bekend dat de bevolking toeneemt met een verdubbelingstijd van 18 jaar. Bereken de groeifactor per jaar in drie decimalen nauwkeurig.

Verdubbelingstijd is 18 jaar dus 

groeifactor g_18jaar =2

groeifactor g_jaar = 2^1/18= 1,0392...       1,039 

≈

Een hoeveelheid neemt per jaar met 3,2 % toe. Wat is het groeipercentage per maand?

1. 1,032%
2. 1,003%
3. 0,3%
4. 0.03%

Groeipercentage per jaar is 3,2 %

Groeifactor per jaar is (100+3,2)/100=103,2/100 = 1,032%

Groeifactor per maand is 1,032^1/12 = 1,002628...

Groeipercentage per maand is  0,3%

Belangrijk: bij exponentiële groei gaat het omzetten van groeipercentages via groeifactoren.

Een hoeveelheid neemt per dag met 2,1% toe. Wat is het groeipercentage per week? Rond je antwoord af op 1 decimaal (zonder %-teken)

Groeipercentage per dag is 2,1% 

Groeifactor per dag is 1,021

Groeifactor per week is

Groeipercentage per week is 15,7% 

1,021​7​​≈1,15659...

Een hoeveelheid neemt per dag met 14,2% toe. Wat is het groeipercentage per uur? Rond je antwoord af op 2 decimalen.

Groeipercentage per dag is 14,2% 

Groeifactor per dag is 1,142

Groeifactor per uur is

Groeipercentage per uur is 0,56% 

1,142​​24​​1​​​​≈1,0055...

Oefenopgave Exponentiële groei

Reclamemensen proberen steeds vaker met behulp van sociale netwerken de bekendheid van een bepaald merk te vergroten. Een boodschap wordt bij een relatief klein aantal personen uitgezet, die het vervolgens delen met hun vrienden en bekenden en die weer met hun vrienden en bekenden, enzovoort. Op deze manier verspreidt de boodschap zich als een virus. Dit concept heet daarom "virale marketing". 

In de tabel hieronder is te zien hoeveel likes een bepaalde reclameboodschap heeft na de release. 

aantal dagen	5	10	15	20	25
aantal likes	328	1471	6595	29572	132602

In de tabel hieronder is te zien hoeveel likes een bepaalde reclameboodschap heeft na de release.

aantal dagen	5	10	15	20	25
aantal likes	328	1471	6595	29572	132602

1) Laat zien dat hier sprake is van exponentiële groei en geef de groeifactor in twee decimalen nauwkeurig.

​328​​1471​​=4,4847...

​1471​​6595​​=4,4833...

aantal dagen	5	10	15	20	25
aantal likes	328	1471	6595	29572	132602

​6595​​29572​​=4,4840...

​29572​​132602​​=4,4840...

De groeifactor is steeds afgerond 4,48... (steeds hetzelfde per 5 jaar) en dus is er sprake van exponentiële groei.

2)  Bereken met hoeveel procent per dag het aantal likes toeneemt.

      (Je weet wat de groeifactor per 5 dagen is.)

Geef je antwoord in gehele procenten zonder het procentteken.

Per 5 dagen is de groeifactor gemiddeld (afgerond) 4,48

Per dag is de groeifactor 4,48^1/5 = 1,3497... 

De procentuele toename per dag is 35%

1,3497...⋅100−100=34,97..≈35

Wat is de groeifactor per dag?

3) Het aantal Likes dat per dag gegeven wordt kan beschreven worden met de formule :

De groeifactor g is in de vorige opgave berekend. Bereken in deze opgave de beginwaarde b (in gehelen)

L=b⋅g​d​​

L=b⋅g​d​​

d = 1,35 (per dag)

De beginwaarde b is het aantal Likes op t=0. Deze waarde moet nog berekend worden. 

L=b⋅1,35​d​​

Als d = 5 geldt L = 328

Dit invullen geeft                                                  dus

328=b⋅1,35​5​​

b=​1,35​5​​​​328​​=73,128..

Beginwaarde b is 73 likes

De formule wordt dan  

L=73⋅1,35​d​​

Omdat d steeds in stappen van 5 dagen is gegeven in de tabel kun je de beginwaarde b bij t=0 ook vinden door de eerste waarde (onder d=5) te delen door de groeifactor!

328/4,484 = 73,148....

Dus de beginwaarde is 73 likes