H8: Differentiaalrekening

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Van grafiek naar toenamediagram

Wat ga je vandaag leren

Wat een toenamediagram is

Hoe je een toenamediagram tekent bij een grafiek

Maak een toenamediagram met 

Δx=0,5

Afspraken toenamediagram

1. Je kijkt altijd naar het verschil tussen 2 opvolgende x-waarden.

2. Het bolletje staat rechts van het interval.

3. Op de y-as staat 

Δy

Zelf aan de slag

Opdracht 2, 3 en 5 van paragraaf 1

Voorkennis naar behoefte zelfstandig

Van toenamediagram naar grafiek

Wat ga je vandaag leren

Hoe je een mogelijke grafiek tekent bij een toenamediagram

Grafiek bij toenamediagram

Dit toenamediagram geeft informatie over

het aantal konijnen in een natuurgebied. 

t = 0 op 1 januari 2020. Op 1 april 2020 zijn

er 850 konijnen.

a) Teken hierbij een mogelijke grafiek

b) Natuurbosbeheer zegt dat het aantal 

konijnen 1 keer minimaal was, in februari. 

Zou dat kunnen kloppen?

Zelf aan de slag

Opdracht 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Je hebt 2 lessen om dit af te maken, morgen komt er geen nieuwe theorie.

Gemiddelde verandering

Wat ga je vandaag leren

Hoe je een gemiddelde verandering uitrekent en noteert

Wat vind jij?

Stijn heeft een overzicht gemaakt van de 

toename in de Nederlandse bevolking in

miljoen van de afgelopen 180 jaar.

Hij zegt dat de toename sinds 1840 is

afgenomen. Wat vind jij?

Gemiddelde verandering

​Δt​​ΔN​​=​t​b​​−t​a​​​​N​b​​−N​a​​​​

Kwam het je bekend voor?

Gemiddelde verandering

= 

Differentiequotiënt

=

Helling

=

Richtingscoëfficiënt

Voorbeeld (opdr 23), a en c

Zelf aan de slag

Opdracht 18, 21, 22b, 26

Hellinggrafieken

Wat ga je deze les leren?

Je kunt een hellinggrafiek schetsen bij een gegeven grafiek

Je kunt bij een hellinggrafiek een oorspronkelijke grafiek schetsen.

Vraag

Femke Bol wint de race door haar 400 meter te lopen in 49,44 seconden.

a) Wat is haar gemiddelde snelheid over deze 400 meter? 

De tweede helft loopt ze in 23,60 seconden.

b) Wat is haar gemiddelde snelheid over de tweede helft?

Iemand wil weten met welke snelheid Bol over de finish komt. Hoe kun je deze snelheid benaderen? 

Hellinggrafiek

Wat is het?

Welke grafiek is de hellinggrafiek van de ander?

Zelf aan de slag

Opdracht 39, 40, 41, 42, 43

Afgeleide

Wat ga je deze les leren?

Wat de afgeleide is

Wat de basisregels zijn voor het berekenen van de afgeleide

Hellinggrafieken en afgeleiden

Teken 3 lijnen in je schrift:                 ,                       en 

Teken hieronder / hiernaast de hellinggrafiek van deze 3 lijnen. Wat valt je op? 

y=2

y=2x

y=x​2​​

De afgeleide algemeen

geeft

geeft

geeft

geeft

Voorbeeld

geeft

f(x)=a

f(x)=ax

f(x)=x​2​​

f​′​​(x)=0

f​′​​(x)=a

f​′​​(x)=a⋅2x

f(x)=−4x​2​​−3x+17

f​′​​(x)=−8x−3

f(x)=ax​n​​

f​′​​(x)=n⋅ax​n−1​​

Nu zelf: bereken de afgeleide

f(x)=2x​4​​−3x​3​​+x​2​​−9x+7

Zelf aan de slag

Opdracht 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55

Je hebt 2 lessen om dit af te maken. Op maandag komt er weer nieuwe stof

Notaties voor de afgeleide

Afgeleide met gebroken en negatieve exponenten

Wat ga je deze les leren?

Leren wat 'differentiëren naar' betekent en hoe je dit noteert

Herhalen rekenregels voor machten met gebroken en negatieve exponenten

Afgeleide berekenen bij machten met gebroken en negatieve exponenten

Wat hebben we al gezien?

geeft

geeft

geeft

geeft

f(x)=a

f(x)=ax

f(x)=x​2​​

f​′​​(x)=0

f​′​​(x)=a

f​′​​(x)=a⋅2x

f(x)=ax​n​​

f​′​​(x)=n⋅ax​n−1​​

Maar hoe doe je dat bij?

of

f(x)=​3​​√​x​​​

g(x)=​x​3​​​​2​​

Rekenregels voor machten

en

​p​​√​a​q​​​​​=a​​p​​q​​​​

​a​p​​​​1​​=a​−p​​

Dus:

f(x)=​3​​√​x​​​

g(x)=​x​3​​​​2​​

Differentiëren naar

Gegeven is de formule 

a) Differentieer naar a

b) Bereken 

R=5a​2​​−3ab​3​​−5abc+5a−3

​db​​dR​​

Zelf aan de slag

Opdracht 61, 62, 63, 64, 65, 66

Kettingregel

Wat ga je deze les leren?

Afgeleide berekenen van samengestelde functies

Hoe zou je dit doen?

Bereken de afgeleide van

f(x)=(3x+5)​4​​

Kettingregel

Algemeen                                                        

dan

k(x)=f(g(x))

k​′​​(x)=f​′​​(g(x))⋅g​′​​(x)

a) Wat is f(u) en wat is g(x) hier?

b) Wat zijn de afgeleides daarvan?

c) Wat is de afgeleide van h(x) dan?

h(x)=(2x​2​​−4x)​5​​

Zelf aan de slag

Opdracht 68, 69, 70

Extreme waarden berekenen

Wat ga je deze les leren?

Hoe je de afgeleide gebruikt om een extreme waarde te berekenen

Plot de grafiek 

a) Hoeveel extreme waarden heeft deze grafiek? 

b) Welke helling heeft de grafiek in de extreme waarden?

c) Bereken de afgeleide. Hoe zou je deze kunnen gebruiken om de extreme waarden te vinden? 

f(x)=−x​3​​+4x

Zelf aan de slag

Opdracht 73, 74, 75, 76, 77

Functies met een parameter

Wat ga je deze les leren?

Hoe je maximaliseringsproblemen met een parameter oplost.

Wat weet je nog van voor de vakantie?

De maandelijkse winst van een bedrijf wordt gegeven door de formule 

Hierin is W de winst in euro's en q de productie in duizendtallen. 

Bij welke productie is de winst maximaal?

W(q)=−0,01q​3​​+1,5q​2​​−48q−200

Vandaag

Bij de productie van mobiele telefoonhoesjes is de opbrengst gegeven door de formule:

Hierin is R de opbrengst in euro's en q de productie in 1000 stuks. a is een constante die afhangt van de complexiteit van het design.

Voor welke q is R maximaal?

R=aq​2​​+40q

Zelf aan de slag

Opdracht 79, 80, 81, 82, 83