H2 - H4: Kansrekenen - Toetsvoorbereiding

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 2

H4 - Kansrekenen

Lesvoorbereiding voor H4

Voor:

-Extra uitleg

-Extra oefenen

-Controleren of je alles weet

Toetsstof

Mogelijkheden berekenen met:

-Roosterdiagram

-Boomdiagram

-Wegendiagram

Kansen berekenen:

-Met mogelijkheden

-Boomdiagram met frequenties

-Boomdiagram met kansen

Met en zonder terugleggen:

-Is het met of zonder?

-Kansen berekenen met terugleggen

Hoe werkt het?

Per onderdeel komt er eerst uitleg en dan opgaven. Soms zit de uitleg opgesplitst in delen met verschillende opgaven. De uitleg staat op de blauwe slides.

Voor de opgaven zijn 3 kleuren:

-Groen = makkelijk 

-Oranje = gemiddeld

-Rood = uitdagend

Aantal mogelijkheden

Type vragen:

-Op hoeveel manieren...

-Hoeveel mogelijkheden zijn er om...

-Hoe vaak...

Antwoord:

Geheel, positief getal (kan 0 of 1 zijn, maar ook 8 miljoen!)

Variaties:

-Roosterdiagram

-Boomdiagram

-Wegendiagram

Mogelijkheden: Roosterdiagram

Bij een roosterdiagram doe je iets 2 keer. De resultaten ervan gebruik je. Je doet ze bijvoorbeeld plus elkaar (som), min elkaar (verschil), keer elkaar (product) of je deelt ze door elkaar (quotiënt). 

Om dit overzichtelijk te maken zet je het in een tabel. In deze tabel komen dan alle mogelijke uitkomsten te staan. 

Sommige uitkomsten komen meer dan één keer voor, dus die hebben meer mogelijkheden.

Voorbeeld:

Je gooit met 2 normale dobbelstenen.

Je neemt de som van het aantal ogen.

Zoals te zien zijn er 2 manieren om 11 te gooien.

Voor maximaal 5 ogen zijn er meer opties, namelijk de opties voor 2, 3, 4 en 5:

1+2+3+4=10 mogelijkheden

Je gooit met twee dobbelstenen en berekent het verschil tussen het aantal ogen van beide dobbelstenen.
Bereken, met behulp van een roosterdiagram, op hoeveel manieren je een uitkomst krijgt van 0.

Je gooit met twee dobbelstenen en berekent het verschil tussen het aantal ogen van beide dobbelstenen.
Bereken, met behulp van een roosterdiagram, op hoeveel manieren je een uitkomst krijgt van 3 of minder.

Mogelijkheden: Boomdiagram

Bij een boomdiagram heb je meer keuzes, maar niet heel veel. Waar je bij een roosterdiagram maar maximaal 2 keer iets doet, kan dat bij een boomdiagram vaker (bijvoorbeeld 3 of 4 keer). Het aantal keer dat je het doet, is het aantal keer dat de boom zich opsplitst. Het aantal keuzes geeft aan hoeveel takken je boom per splitsing krijgt. 

Schrijf ook bij elke tak welke mogelijkheid erbij hoort. 

Dat helpt voor het beantwoorden van 

de vragen.

Voorbeeld:

Leerlingen kunnen in 3 rondes kiezen tussen verschillende sporten om te spelen.

In een restaurant kun je tijdens het driegangenmenu kiezen uit verschillende
gerechten. Als voorgerechten kun je kiezen uit soep of salade. De mogelijke
hoofdgerechten zijn biefstuk, kipsaté en hamburger. Voor het dessert is de keuze
tussen ijs, chocolademousse en koffie met lekkers. Hoeveel verschillende menu’s
kunnen samengesteld worden?

In een la liggen 8 losse sokken: 4 blauwe sokken, 2 zwarte en 2 witte sokken. Stel dat je zonder kijken drie sokken uit de la pakt.
Bij hoeveel uitkomsten heb je twee (of meer) sokken van dezelfde kleur? (gebruik een boomdiagram)

In een tenniswedstrijd tussen spelers A en B moeten twee sets gewonnen worden om de wedstrijd te winnen.
Teken hierbij een boomdiagram, wat valt je op?

Mogelijkheden: Wegendiagram

Bij een wegendiagram maak je een beperkt aan keer een keuze uit een hoop mogelijkheden. Welke mogelijkheden je hebt, schrijf je bij wegen. Als je veel mogelijkheden hebt, hoef je ze niet allemaal op te schrijven. 

Om het totaal aantal mogelijkheden te bereken, doe je de individuele mogelijkheden keer elkaar.

          Voorbeeld links:

Je hebt 10 sokken, 8 broeken en 6 truien om uit te kiezen. In totaal zijn er: 10⋅8⋅6=480 mogelijke combinaties.

Voorbeeld rechts:

Je maakt een code met 2 letters

en vervolgens 5 keer een cijfer. Dit geeft:

26⋅26⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10=67,6 miljoen mogelijkheden

Je gooit met een dobbelsteen, een munt en daarna nogmaals met een dobbelsteen. Teken een wegendiagram bij deze situatie. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Een sterk wachtwoord bestaat uit een combinatie van letters, cijfers en/of
leestekens en is minstens 8 tekens lang.
Als je uitgaat van 26 letters (hoofdletters én kleine letters) en 10 cijfers en een
wachtwoord wil maken van 8 tekens, hoeveel wachtwoorden zijn dan mogelijk?

Een sterk wachtwoord bestaat uit een combinatie van letters, cijfers en/of
leestekens en is minstens 8 tekens lang. Naast letters en cijfers zijn vaak ook een aantal leestekens toegestaan. Stel dat er
ook 20 leestekens gebruikt kunnen worden, hoeveel mogelijke wachtwoorden van 8 tekens kun je dan maken?

Kansen: de basis

Een kans geeft aan hoe waarschijnlijk het is dat iets gebeurd. Denk bijvoorbeeld aan het weer: er is 40% kans op regen. Of in een loterij kan je een kans van 1 op 100.000 hebben dat je wint. Maar ook met een muntstuk, dan is er 1/2 of 0,5 kans op het gooien van kop.

Kansen schrijf je als een verhouding, breuk, decimaal getal of procent. Bij decimale getallen is het zo dat hoe dichter bij 1 hoe waarschijnlijker het is. De kans kan nooit groter zijn dan 1.

Kansen: met mogelijkheden

Om kansen te berekenen kan je het aantal mogelijkheden gebruiken. Je deelt het aantal gunstige uitkomsten door het totaal aantal mogelijkheden.

De kans op met een dobbelsteen 6 te gooien is 1/6, want er is 1 mogelijkheid op 6 (de gunstige uitkomst) en 6 mogelijkheden in totaal (1 tot en met 6). 

Soms kan je het aantal gunstige en totale mogelijkheden uit je hoofd berekenen, soms moet je er een rooster-, boom- of wegendiagram voor maken.

Voorbeeld:

Je gooit 2 keer achter elkaar een muntstuk op. Hoe groot is de kans dat je een keer kop en een keer munt gooit?

In het roosterdiagram kan je zien dat er 2 mogelijkheden zijn voor kop, munt en 4 mogelijkheden in totaal. De kans is dus 2/4 = 1/2.

Een set speelkaarten bestaat uit 52 kaarten, die onderverdeeld worden in vier
soorten, namelijk schoppen, harten, klaveren en ruiten. Elke soort bestaat uit 13 kaarten: 2 tot en met 10, boer, vrouw, heer en aas. Stel dat je willekeurig één kaart trekt.
Hoe groot is de kans dat je de harten aas trekt?

Een set speelkaarten bestaat uit 52 kaarten, die onderverdeeld worden in vier
soorten, namelijk schoppen, harten, klaveren en ruiten. Elke soort bestaat uit 13 kaarten: 2 tot en met 10, boer, vrouw, heer en aas. Stel dat je willekeurig één kaart trekt. Hoe groot is de kans dat je een ruiten kaart trekt? En hoe groot dat je een 2 trekt?

Hoe groot is de kans dat je 14 of meer gooit met een 20-zijdige dobbelsteen?

Kansen: met boomdiagram

Om ingewikkeldere kansen te berekenen, is het handig om een boomdiagram te tekenen. Bij de mogelijkheden heb je al geleerd hoe je dat kan doen, alleen hier werkt het net iets anders.

In plaats van takken te maken voor álle mogelijkheden, maak je enkel takken voor interessante mogelijkheden. Ben je geïnteresseerd in 6 gooien met een dobbelsteen, dan maak je 2 takken: '6' en niet 'ander getal'. Wil je de rode opties wel, maak je 2 takken: 'rood' en 'andere kleuren'. Vaak is het overzichtelijk om ook de uitkomst erbij te zetten.

Voorbeeld:

Boomdiagram voor 6 of hoger 

bij een achtzijdige dobbelsteen.

De getallen geven de 'frequenties' aan.

Boomdiagram met frequenties

Zodra je een boomdiagram hebt, kan je aangeven hoe vaak elke tak voor kan komen. Dit aantal heet de 'frequentie'. 

Om van de frequenties naar het aantal mogelijkheden te gaan, moet je de mogelijkheden van elke tak keer elkaar doen. 

Voor het totaal aantal mogelijkheden, tel je alle individuele mogelijkheden bij elkaar op. Hiermee kan je de kans berekenen.

Voorbeeld:

Zelfde voorbeeld als net, maar nu met de 

mogelijkheden erbij.

Het totaal aantal mogelijkheden is:

27+45+45+75+45+75+75+125 = 512.

De kans op 3 keer 6 of hoger is:

27/512 = 0.053

Uit een set speelkaarten trek je drie kaarten met terugleggen en je kijkt hoe vaak je een schoppen kaart trekt.
Hoeveel mogelijkheden zijn er om géén schoppen kaart te trekken? (Teken boomdiagram)

Uit een set speelkaarten trek je drie kaarten met terugleggen en je kijkt hoe vaak je een schoppen kaart trekt.
Hoeveel mogelijkheden zijn er om precies twee schoppen kaarten te trekken? (Teken boomdiagram)

Boomdiagram met kansen

In plaats van de frequenties in de boomdiagram zetten en met de mogelijkheden de kans berekenen, kan je ook gelijk de kansen erbij zetten. Het voordeel hiervan is dat je niet bij alle takken de mogelijkheden hoeft te berekenen.

Als je alle kansen zou berekenen en bij elkaar op zou tellen, dan zou je op 1 uitkomen.

Voorbeeld:

Hoe groot is de kans dat je 2 keer 6 

gooit met een normale onderdeel?

Zoals te zien in de boomdiagram is dat 1/36.

Uit een set speelkaarten trek je twee kaarten met terugleggen en je kijkt hoe vaak je een heer trekt.
Teken een boomdiagram en bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans om geen heer te trekken.

Uit een set speelkaarten trek je twee kaarten met terugleggen en je kijkt hoe vaak je een heer trekt.
Teken een boomdiagram en bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans om precies één heer te trekken.

In een toets staan vier meerkeuzevragen. Bij elke meerkeuzevraag kan uit drie
antwoorden gekozen worden, waarvan er telkens één goed is. Je kijkt steeds of het gegeven antwoord goed of fout is.
Bereken in drie decimalen de kans dat iemand het antwoord bij alle vier de
vragen goed gokt. (Teken boomdiagram)

In een toets staan vier meerkeuzevragen. Bij elke meerkeuzevraag kan uit drie
antwoorden gekozen worden, waarvan er telkens één goed is. Je kijkt steeds of het gegeven antwoord goed of fout is.
Bereken in drie decimalen de kans dat iemand het antwoord van twee vragen
goed gokt. (Teken boomdiagram)

Met en zonder terugleggen

In plaats van de frequenties in de boomdiagram zetten en met de mogelijkheden de kans berekenen, kan je ook gelijk de kansen erbij zetten. Het voordeel hiervan is dat je niet bij alle takken de mogelijkheden hoeft te berekenen.

Als je alle kansen zou berekenen en bij elkaar op zou tellen, dan zou je op 1 uitkomen.

Voorbeeld:

Hoe groot is de kans dat je 2 keer 6 

gooit met een normale onderdeel?

Zoals te zien in de boomdiagram is dat 1/36.

Je gooit 3 keer achter elkaar met een achtzijdige dobbelsteen en wilt de kans berekenen dat je drie keer zeven ogen gooit.

1. Met terugleggen
2. Zonder terugleggen

Je pakt twee keer achter elkaar een bonbon uit een doosje en je wilt de kans berekenen dat je twee witte chocoladebonbons pakt. Er zitten zes witte en zes pure chocoladebonbons in het doosje.

1. Met terugleggen
2. Zonder terugleggen

Je pakt in het donker twee sokken uit de kast en wilt berekenen wat de kans is dat ze beide blauw zijn.

1. Met terugleggen
2. Zonder terugleggen

Met terugleggen: berekenen

In plaats van de frequenties in de boomdiagram zetten en met de mogelijkheden de kans berekenen, kan je ook gelijk de kansen erbij zetten. Het voordeel hiervan is dat je niet bij alle takken de mogelijkheden hoeft te berekenen.

Als je alle kansen zou berekenen en bij elkaar op zou tellen, dan zou je op 1 uitkomen.

Voorbeeld:

Hoe groot is de kans dat je 2 keer 6 

gooit met een normale onderdeel?

Zoals te zien in de boomdiagram is dat 1/36.

In een vaas zitten 7 rode en 5 blauwe ballen. Je pakt willekeurig met terugleggen 2 ballen uit de vaas.
Bereken de kans op twee rode ballen. (Teken een boomdiagram)

In een vaas zitten 7 rode en 5 blauwe ballen. Je pakt willekeurig met terugleggen 2 ballen uit de vaas.
Bereken de kans op precies één blauwe bal. (Teken een boomdiagram)

Je draait 2 keer aan dit rad.
Bereken de kans dat je 2 keer oranje draait. (Gebruik een boomdiagram)

Je draait 2 keer aan dit rad.
Bereken de kans dat je precies één keer blauw draait. (Gebruik een boomdiagram)