Modulus Rekenen

• Wiskunde
• Secundair onderwijs

Modulus Rekenen

Nora, Amna, Catharina en Sylvie

Wat is modulus rekenen?

= klokrekenen

Wiskundige notatie: 

20 + 7 = 27  ☰  3 (mod 24)

  

We beginnen gemakkelijk...
Hoe laat is het?

1. 14u10
2. 14u50
3. 10u10
4. 15u10

Hoe laat is het 50 uur na 6 uur?
=> Hoeveel is 56 (mod 24)?

1. 4 uur
2. 19 uur
3. 7 uur
4. 8 uur

Wat is modulus rekenen?

Definitie:

Als voor de gehele getallen a en b en een positief geheel getal m geldt m | (a-b) dan zeggen we dat a en b congruent modulo m zijn.

Schrijfwijze: a ☰ b (mod m) 

Restklasse

= een verzameling modulo getallen

3 (mod 5)  ☰  {...-7, -2, 3, 8, 13, 18, ....}

3 (mod 5) ☰ 3 + k . 5

a en b wisselen

3 (mod 5) ☰ 8

(= 3 + k.5)

8 (mod 5) ☰ 3

( = 8 + k.5)

(k=-2)

Iedereen nog mee?

😒🙁😐🙂😃

Rekenregels

Vb. 9 (mod 4) -> modulus = 4​

​

4 in 9? -> 9/4 = 2,25 -> 2​

9-2*4 = 1​

9 (mod 4) ☰ 1

Rekenregels

• 3 (mod 5) = 3 + k*5, met k ∈ ℤ​
  
• k ∈ ℤ -> k, k₁, k₂...​
  

​

                                    a (mod m) + b (mod m) ☰ (a + b) (mod m)​

​

Regelbewijs:​

a(mod m) + b(mod m) = a + k₁•m + b + k₂•m = a + b + (k₁ + k₂)•m = a + b + k • m ☰ (a + b) (mod m)​

​

Voorbeeld:​

68 (mod 12) + 125 (mod 12) ☰ 193 (mod 12) ☰ 1

Rekenregels

​

                     a (mod m) • b (mod m) ☰ ab (mod m)​

​

Regelbewijs:​

a (mod m) • b(mod m) = (a + k₁•m) • (b + k₂•m) = ab + ak₂m + bk₁m + k₁k₂m² = ab + m • (ak₂ + bk₁+ k₁k₂m)​

​

• geheel aantal keer m​
  
•  k • m​
  
• ab + k• m = ab (mod m)

Rekenregels

​

                           (a (modm)) n ☰ an (mod m)​

​

Regelbewijs:​

(a (mod m))² ☰ (a (modm)) • (a (modm)) ☰ aa (modm) ☰ a² (mod m)​

​

• a³, a⁴, a⁵ ​
  

​

7 (mod 3) + 9 (mod 3)

1. 1
2. 2
3. 0
4. 3

10 (mod 2) + 3 (mod 2)

1. 4
2. 5
3. 0
4. 1

5 (mod 4) * 7 (mod 4)

1. 2
2. 5
3. 4
4. 3

6 (mod 5) * 8 (mod 5)

1. 3
2. 2
3. 4
4. 5

(2 (mod 3))³

1. 2
2. 3
3. 8
4. 7

(4 (mod 5))²

1. 2
2. 0
3. 1
4. 3

Toepassing: Caesarcijfer

= klassieke substitutiemethode

Wat is substitutie?

Toepassing: Caesarcijfer

= klassieke substitutiemethode

• Geheimschrift Julius Caesar

• Caesarrotatie
• Klare tekst ->  rotatie/verschuiving
  

Toepassing: Caesarcijfer

    Met modulair rekenen:
    Voor versleuteling: E_n ( x ) = ( x + n )  mod   26.
    Voor ontsleuteling: D_n ( x ) = ( x − n )  mod   26.

A	1
B	2
...	...
Z	26

Toepassing: Caesarcijfer

• 25 mogelijkheden

• Geen bescherming tegen cryptoanalyse

• Frequentieanalyse

Probeer volgende boodschap nu zelf te kraken:
Nyppmi dmnr ksih fidmk!

Door welke letter is de oorspronkelijke "letter A" vervangen?

1. W
2. Z
3. O
4. X

Toepassing: Caesarcijfer

Boodschap:     Geheime boodschap

Sleutelwoord: WiskundeWiskunde

----------------------------------------

Versleuteld:      DN...

7 + 23 = 30

4e letter: D

4              30  mod 26

Toepassing: Pariteitsbit

1 byte = ....

1. 5 bits
2. 100 bits
3. 8 bits
4. 1000 bits

Toepassing: Pariteitsbit

Mee verstuurt

= som van alles bits mod2

= even of oneven aantal 1en

Foutdetectie bij communicatie

Geen correctie!

Slechts voor 1 fout

Wat gebeurt er als er zich een fout ter hoogte van de pariteitsbit voordoet?

1. Er gebeurt niets.
2. Er wordt een fout gedetecteerd in de communicatie.
3. De fout wordt gecorrigeerd.
4. Er wordt een fout gedetecteerd in de pariteitsbit.

Bankrekeningnummer

12 cijfers

Laatste 2 cijfers = controle

eerste 10 cijfers modulo 97

 = de laatste 2 cijfers

Wat zijn de twee laatste cijfers voor het bankrekeningnummer 2388453047?

1. 26
2. 62
3. 28
4. 82

Paaszondag

• Bereken (jaartal mod 19) + 1
  
• Zoek die waarde in de gegeven tabel op.
  
• Paaszondag = eerste zondag na de datum uit de tabel.
  

Paaszondag

Paaszondag

a = 10

b = 0

c = 1

k = 20

p = 1

q = 5

M         29 

N          5

d          9

e          0

Paaszondag 

= 22 + 9 + 0 maart

= 31 maart

Bedankt om te luisteren